2020高考理數(shù)(人教A版)總復習教學案第10章第5節(jié)n次獨立重復試驗與二項分布

1、1 第五節(jié) n 次獨立重復試驗與二項分布 考綱傳真1. 了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念 2.理解 n 次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單問題 P(B|A)=古廠為在事件 A 發(fā)生的條件 (2)如果 B 和 C 是兩個互斥事件，則 P(BU C|A)= P(B|A) + P(C|A) 2. 事件的相互獨立性 (1) 定義：設(shè) A，B 為兩個事件，如果 P(AB)= P(A) P(B)，則稱事件 A與事件 B 相互獨立. (2) 性質(zhì)：若事件 A與 B 相互獨立，則 P(B|A)= P(BJ，P(A|B)= PA). 如果事件 A與 B 相互獨立，那么 A 與B，AA

2、與 B，AA與B 也相互獨立. 3. 獨立重復試驗與二項分布 (1) 獨立重復試驗 在相同條件下重復做的 n 次試驗稱為 n 次獨立重復試驗，其中 Ai(i= 1, 2， n)是第 i 次試驗結(jié)果，則 P(A1A2A3An) = P(A1) )P(A2) )P(A3) )P(An). (2) 二項分布 在 n 次獨立重復試驗中，用 X 表示事件 A 發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件 A發(fā) 生的概率為 p，則 P(X = k)= Cnpk(1 p)k(k= 0, 1,2，n)，此時稱隨機變量 X 服從二項分布，記作 XB(n，p),并稱 p 為成功概率. 基礎(chǔ)自測 1. (思考辨析) )判斷下列結(jié)論

3、的正誤.( (正確的打“V”，錯誤的打“x” ) (1) 相互獨立事件就是互斥事件.( ( ) ) (2) 若事件 A，B 相互獨立，則 P(B|A)= P(B).( ) 知識全通關(guān) 夯實基礎(chǔ)*掃除盲點 條件概率的定義 條件概率的性質(zhì) 設(shè) A, B 為兩個事件，且 P(A)0,稱 (1)0 P(B|A) 1; 2 (3) 公式 P(AB)= P(A)P(B)對任意兩個事件都成立.( ( ) )3 二項分布是一個概率分布列，是一個用公式 p( (x = k)= cnpk(1 P) )nk, k= 0,1, 2,，n 表示的概率分布列，它表示了 n 次獨立重復試驗中事件 A發(fā)生的 次數(shù)的概率分布.

4、( ( ) ) 答案 x (2) V (3)x V 2 .設(shè)隨機變量 XB 6, 2，貝 y P(X 二 3)等于( ( ) ) A 5 3 5 3 d 屁 B.屁 C. 8 D. 3 6 A XB 6, ，二 P(X = 3) = C3 1 =來.故選 A. 1 3 3.已知 P(B|A) = 2，P(AB)二 8,則 P( (A)等于( 3 13 3 1 A A 16 B.拆 c. 4 D. 1 3 1 C 由 P(AB)= P(A)P(B|A)，得 8= 2P(A)， 3 -P(A) = 4. 4. 某人射擊，一次擊中目標的概率為 0. 6， 經(jīng)過 3 次射擊，此人至少有兩次擊 中目標的

5、概率為 _ . 18215 P = c3o. 620. 4+ C30. 63=125. 5. 天氣預報，在元旦假期甲地降雨概率是 0. 2,乙地降雨概率是 0. 3.假設(shè)在這 段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概 率為 _ . 0. 38 設(shè)甲地降雨為事件 A,乙地降雨為事件 B,則兩地恰有一地降雨為 AE + AB, P(A + AA B) = P(AB )+ P(云 B) =P(A)P( B) + P( A )P(B) =0. 2X 0. 7 + 0. 8X 0. 3= 0. 38. 4 課堂 題型全突破 考點全面方法簡潔 5 條件概率 題型丄 _ 1 從

6、1, 2, 3, 4, 5 中任取 2 個不同的數(shù)，事件 A=“取到的 2 個數(shù)之和為偶數(shù)”， 事件B=“取到的 2 個數(shù)均為偶數(shù)”，則 P(B|A)=( ) C3+ C2 4 2 C2 1 B 法一：P(A) = C C2 = 10 = 5，P(AB) = C C5= 10.由條件概率計算公式,得 P(AB) 10 1 p(B|A)= ppAB =礦 1. 5 法二：事件 A包括的基本事件：( (1, 3), (1, 5), (3, 5), (2, 4)共 4 個. 事件 AB 發(fā)生的結(jié)果只有(2, 4)一種情形，即 n(AB) = 1. 故由古典概型概率P(BIA)=4. 2某校組織由 5

7、 名學生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學生 A 和 B 都不是第一個出場，B 不是最后一個出場”的前提下，學生 C 第一個出 場的概率為( ( ) ) A 因為“A和 B 都不是第一個出場，B 不是最后一個出場”的安排方法中，另 1 外 3 人中任何一個第一個出場的概率相等，故“C 第一個出場”的概率是 3. (2019 運城模擬) )有一批種子的發(fā)芽率為 0. 9,出芽后的幼苗成活率為 0. 8, 在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為 _ . 0. 72 設(shè)種子發(fā)芽”為事件 A,種子成長為幼苗”為事件 AB(發(fā)芽，又成活為 幼苗).出芽后的幼苗成活率為 P

8、(B|A) = 0.8, P(A)= 0.9，根據(jù)條件概率公式得 P(AB) = P(B| A) (A) = 0.8 X). 9 = 0.72 ,即這粒種子能成長為幼苗的概率為 0. 72. 1 利用定義,分別求 PA和 P AB ,得 P BA = 件概率的通法. 4 一 2 D. 2 一 5 G 4一 4 B 3 一20 D. 4- 9 G 4 一 5 規(guī)律方6 2 借助古典概型概率公式,先求事件 A包含的基本事件數(shù) nA ,再求事件 A 與 事件 B 的交事件中包含的基本事件數(shù) n AB，得 P B|A = . 相互獨立事件的概率 121 _ 【例 11 某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運

9、動員參加某運動會的單打資格選 拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況.規(guī)定一名運動員出線記 1 分， 未出線記 0 分.假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為 3, 4, 5 他們出線與未出線 是相互獨立的. (1) 求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率； (2) 記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員的得分之和為隨機變量 E,求隨機 變量E的分布列. 解記“甲出線”為事件 A, “乙出線”為事件 B, “丙出線”為事件 C, “甲、乙、丙至少有一名出線”為事件 D, 112 29 則 P(D) = 1 P( A B C )= 1 4X 子 30. (2)由題意可得，E的所有可能取值為

10、 0, 1, 2, 3, 112 1 則 P(E 0)= P( A B C)二 3X 4X 滬 30； 2 12 13 2 1 P(= 1)= P(A B C) + P( A B C)+ P( A B C) = 3X 4X 5 + -X 4 X? + X 1X 3= 10； 232213133 9 P(E= 2) = P(AB C )+ P(A B C) + P( A BC) = 3X4X5 + 3X4Xg+XX5 = ； P(E= 3) = P(ABC) = fx |X 5 =席 所以E的分布列為 E 0 1 2 3 P 丄 13 _9 衛(wèi) 30 60 20 10 7 規(guī)律方法1.求復雜事件

11、的概率，要正確分析復雜事件的構(gòu)成，先將復雜事件 轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件或轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積 事件，再求概率 2. 求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法： 1 利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解 2 直接計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算 跟蹤練習 設(shè)某人有 5 發(fā)子彈，他向某一目標射擊時，每發(fā)子彈命中目標的概 率為 3.若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完. (1) 求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率； (2) 求他所耗用的子彈數(shù) X 的分布列. 解記“第 k 發(fā)子彈命中目標”為事件 Ak(k= 1, 2, 3, 4, 5)，則 Ai,

12、A2, A3, 2 1 A4， A5 相互獨立，且 P(Ak) = 3， P( Ak ) = 3. (1)法一：他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為 P(A1 A2)+ P( A?A2)=P(A1)P( A2) )+p(禹) )pg) )=fx 4. 法二：由獨立重復試驗的概率計算公式知，他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為 P 12 14 =C 沙 3X1=9. (2)X 的所有可能取值為 2, 3, 4, 5. 2 2 115 P(X = 2)= P(A1A2)+ P( A1 A2 ) = 3X3+ 3X3=9， 2 2 2 1 12 2 P(X = 3)= P(A1 A2 AS )+ P( A1 A

13、2A3) = 3X 3 + X 3 =-， 3 3 2 1 1 2 10 P(X = 4)= P(A1 A2 ASA4)+ P( A1 A2 AS A4 )= 3 X3+ - X-=茁, 8 P(X = 5)= 1-P(X = 2)- P(X = 3)- P(X = 4) = 8. 綜上，X 的分布列為8 X 2 3 4 5 P 5 r 2 10 8 9 9 81 81 獨立重復試驗與二項分布 題蟻 _ 【例 2 (2019 佛山模擬) )某企業(yè)對新擴建的廠區(qū)進行綠化，移栽了銀杏、垂柳 3 2 兩種大樹各 2 株假定銀杏移栽的成活率為 3 垂柳移栽的成活率為 2,且各株 大樹是否成活互不影響.

14、 (1) 求兩種大樹各成活 1 株的概率； (2) 設(shè)E為兩種大樹成活的株數(shù)之和，求隨機變量 E的分布列. 解 (1)記“銀杏大樹成活 1 株”為事件 A, “垂柳大樹成活 1 株”為事件 B, 則“兩種大樹各成活 1 株”為事件 AB. 1 3 1 3 1 2 1 4 由題可知 P(A)=C1 33 4= 8，P(B)=C1 3 3=9， 由于事件 A與 B 相互獨立， 1 所以 P(AB) = P(A) P(B)=孑 (2)由題意知E的所有可能取值為 0, 1, 2, 3, 4. 1 144； 所以E的分布列為 2 p( ( = 1) )二 C2-3 + C1 2 1 - 1- .1 P(

15、 = 2)二 6 + 1 3 1 P( (=3) )=C2 4 4 2 2 +C12 1 -4 5 = 12； PC 4) = 3 - 2 1 4. 9 0 1 2 3 4 P 1 5 37 5 1 144 72 144 12 4 規(guī)律方法獨立重復試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略 1 在求 n 次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生 k 次的概率時，首先要確定好 n 和 k 的值，再準確利用公式求概率. 2在根據(jù)獨立重復試驗求二項分布的有關(guān)問題時， 關(guān)鍵是理清事件與事件之間 的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù) n 和變量的概率，求得概率. 跟蹤練習 某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽

16、取該流 水線上的 40 件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量( (單位：克) )，質(zhì)量的分組區(qū)間為 (490, 495, (495, 500,(510, 515.由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖. (1) 根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過 505 克的產(chǎn)品數(shù)量； (2) 在上述抽取的 40 件產(chǎn)品中任取 2 件，設(shè) X 為質(zhì)量超過 505 克的產(chǎn)品數(shù)量，求 X的分布列； (3) 從該流水線上任取 2 件產(chǎn)品， 設(shè) Y 為質(zhì)量超過 505 克的產(chǎn)品數(shù)量， 求 Y 的分 布列. 解 質(zhì)量超過 505 克的產(chǎn)品的頻率為 5X 0. 05 + 5X 0. 01 = 0. 3, 所以質(zhì)量超過 505 克的產(chǎn)品數(shù)量

17、為 40 X 0. 3= 12(件). (2)重量超過 505 的產(chǎn)品數(shù)量為 12 件，則重量未超過 505 克的產(chǎn)品數(shù)量為 28 件, X 的取值為 0, 1, 2, X 服從超幾何分布. 10 P(X = 0)= C28 c4o= 63 130， 11 11 130, X 的分布列為 3 10. 從流水線上任取 2 件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成 2 次獨立重復試驗，質(zhì)量超過 505 克的件數(shù) Y 的可能取值為 0, 1, 2,且 YB 2,嚅, 2 k P(X 二 k)二 c幻汀嚅)， 2 所以 P(Y= 0) = C1 2 -10 二而， P(Y = 1)=c2 工 Z=21 P(Y !

18、) C2 10 10 50， 2 P(Y = 2) = c210 = 100. 1 (2015 全國卷I )投籃測試中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通過測試.已 知某同學每次投籃投中的概率為 0. 6,且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學 通過測試的概率為( ( ) ) A. 0. 648 B. 0. 432 C. 0. 36 D. 0. 312 X 0 1 2 P 63 28 11 130 65 130 (3)根據(jù)樣本估計總體的思想 ,取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過 12 505 克的概率為 40 P(X = 1)= C12C28 C 12 二 Y 的分布列為 Y 0 1 2 P 49 21 9 100 50 100 A 3 次投籃投中 2 次的概率為 P(k= 2) = C2X 0. 62X (1 0. 6)，投中 3 次的概率 為 P(k= 3) = 0. 63,所以通過測試的概率為 P(k= 2)+ P(k= 3)= C3X 0. 62X (1 3 0. 6)