2020高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(人教版理)：圓的方程

1、 第三節(jié)圓的方程 2019 考綱考題考情 廠基礎(chǔ)截椅理1 知識(shí)必備固根畢 JICHIUWEISIIUI-I - - 1.圓的定義 (1) 在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫圓。 (2) 確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑。 2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (xa)2+ (y b)2 = r2(r 0)，其中(a, b)為圓心坐標(biāo)，j 為半 徑。 3. 圓的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey+ F = 0 表示圓的充要條件是 D2+ E2 4F 0, 卄亠、“ D E七宀 /D2+ E2 4F 其中圓心為2，2/半徑 r- 2 - 。 4. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種。 圓的

2、標(biāo)準(zhǔn)方程(x a)2 + (y b)2 = r2,點(diǎn) M(x, y), (1) 點(diǎn)在圓上： (XQ a)2 + (y 0 b)2=2。 (2) 點(diǎn)在圓外：(XQ a)2 + (yo b)2 r2。 (3) 點(diǎn)在圓內(nèi)： (xo- a)?+ (yo- h v f。 常記結(jié)論 1. 圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為 r 的圓的方程為 x2 + y2= r2 2. 以 Ag yi), Bg y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x xi)(x 】，學(xué)件的疋團(tuán)的幾何於芾學(xué)瞬間的標(biāo)阡ti亓 2IS tMlc II ” r 冊(cè)的TfW) 20】八 企國務(wù)Hl丁昭刪的占履) ZM7江蘇高考丁 M戦們池序) 鈾15空國蕃J 丁腫方

3、羯、 1. 陽的方弄 2. 核心索乍z讓觀愚墩 轉(zhuǎn)村同扣 win利 微知識(shí)卜題練 X2)+ (yyi)(y y2)= 0。 3. 二元二次方程表示圓的條件 對(duì)于方程 x2+ y2+ Dx + Ey+ F = 0 表示圓時(shí)易忽視 D2+ E2 4F0 這一條件。 -題組徽熱身- TIZl WEIRESHEN 一、走進(jìn)教材 1. (必修 2P124A組 Ti改編)圓 x2 + y2 4x+ 6y= 0 的圓心坐標(biāo) 是() A . (2,3) B . ( 2,3) C. ( 2, 3) D. (2, 3) 解析 圓的方程可化為(x 2)2 + (y+ 3)2= 13,所以圓心坐標(biāo) 是(2, 3)。故

4、選 D。 答案 D 2. (必修 2Pi20例 3 改編)過點(diǎn) A(1, 1), B( 1,1),且圓心 在直線 x+ y 2 = 0 上的圓的方程是( ) A . (x 3)2+ (y+ 1)2 = 4 B. (x+ 3)2+ (y 1)2= 4 C. (x 1)2+ (y 1)2= 4 D. (x+1)2+ (y+ 1)2=4 解析 設(shè)圓心 C 的坐標(biāo)為(a, b),半徑為 r，因?yàn)閳A心 C 在 直線 x+ y 2 = 0 上，所以 b= 2 a。因?yàn)?|CA|2= |CB|2,所以(a 1)2 + (2 a + 1)2 = (a + 1)?+ (2 a 1)?。所以 a= 1, b =

5、1。所 以 r = 2。所以方程為(x 1)1 2+ (y_1)3 4= 4。故選 C 解析：因?yàn)?A(1 , 1), B( 1,1)，所以 AB的中垂線方程為 x= 1, 得 所以圓心坐標(biāo)為(1,1), r y= 1, 4. (2016 天津高考)已知圓 C 的圓心在 x 軸的正半軸上，點(diǎn) M(0, 5)在圓 C 上，且圓心到直線 2x y= 0 的距離為 譽(yù)，則 圓 C 的方程為 _ 。 解析 設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,0)(a0)，根據(jù)題意得|2?=勒5, =. 1 1 2+ 1+ 1 2= 2。則圓的方程為(x 1)2+ (y1)2= 4 答案 C 二、走近高考 2 2 3. (2015 全

6、國卷I )一個(gè)圓經(jīng)過橢圓 命+ 4 = 1 的三個(gè)頂點(diǎn), 且圓心在 x 軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ 。 解析 設(shè)圓心為(t,0)(t0)，則半徑為 4 t，所以 4+ t2= (4 x+ y 2= 0, y= x。由 ly=x, t)2，解得 t=2，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 :x-3f+y2=25 答案 0;錯(cuò)用 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判定；忽視圓的方程中變量的取值范圍。 5. 若方程 x2 + y2 + mx 2y+ 3 = 0 表示圓，則 m 的取值范圍 是() A .(汽2)U ( .2,+ ) B . ( 一 OO, 2 2) U (2 2, + O ) C. (-O, 3)U ( 3

7、, +O ) D . (一 oo, 2 3) U (2 3, + o ) 解析 將 x2 + y2 + mx 2y+ 3 = 0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得 x+才 2 2+ (y1)2= 4 2。由其表示圓可得 m2 2。 答案 B 6. 若點(diǎn)(1,1)在圓(x a)2+ (y+ a)2 = 4 的內(nèi)部，則實(shí)數(shù) a 的取 值范圍是( ) A. 1v av 1 B. Ov av 1 C. a 1 或 av 1 D. a= 4 解析 因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓內(nèi)，所以(1 a)2+ (1 + a)2v4,即一 1 v av 1。故選 A。 答案 A 7. _ 已知實(shí)數(shù) x, y 滿足(x 2)2+ y2= 4，

8、則 3x2 + 4y2的最大值 為 _ 。 解析 由(x 2)2 + y2= 4,得 y2 = 4x x20,得 0 w xW 4,所 2 2 2 2 2 2 以 3x + 4y = 3x + 4(4x x ) = x + 16x = (x 8) +2 4 20,解得 m 2 2 或 64(00)，因?yàn)辄c(diǎn) A(4,1), (4 a)2 + ( 1 - b)2= r2, b- 1 B(2,1)在圓上，故 2 2 2 又因?yàn)?=-1, 1(2 a)2 + ( 1-b)2= r2, a-2 解得 a= 3, b= 0, r = 2,故所求圓的方程為(x- 3)2 + y2= 2。 設(shè)圓的方程為 x2

9、+ y2+ Dx+ Ey+ F= 0(D2+ E2-4F0)，將 f2D -4E F = 20, P,Q 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得 又令 y= 0, 13D - E+ F = - 10。 微琴點(diǎn)-人課議 得 x2 + Dx + F = 0。設(shè) Xi, X2是方程的兩根，由|xi-X2| = 6, 得 D2-4F = 36，聯(lián)立，解得 D = -2, E=-4, F =-8, 或 D = - 6, E=- 8, F = 0。故所求圓的方程為 x2 + y2-2x-4y 8= 0 或 x2+ y2 6x- 8y= 0。 答案 (1)(x-3)2+ y2= 2 (2)X2+ y2- 2x- 4y-8 =

10、 0 或 x2 + 2 y 6x- 8y= 0 求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程. 一般來說， 求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出 圓的基本量。確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：圓心 在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上； 圓心在任一弦的中垂線上； 兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線。(2 )代數(shù)法：即設(shè) 出圓的方程，用待定系數(shù)法求解。 【變式訓(xùn)練】(1)(2019 珠海聯(lián)考)已知圓 C 與直線 x-y= 0 及 x- y-4 = 0 都相切，圓心在直線 x+ y= 0 上，則圓 C 的標(biāo)準(zhǔn) 方程為( ) A. (x+1)2+ (y- 1)2=2 B. (x

11、-1)2+ (y+ 1)2= 2 C. (x-1)2+ (y- 1)2= 2 D. (x+1)2+ (y+ 1)2=2 (2)(2019 河南豫西五校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，以 點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線 x-by+ 2b+ 1 = 0 相切的所有圓中，半徑 最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為() A . x2 + (y 1)2= 4 B. x2 + (y 1)2= 2 C. x2 + (y 1)2 = 8 D. x2 + (y1)2= 16 |a ( a)| 解析 (1)由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(a, a),則有一-2= |a a 4| - 二2 - 即|a|= |a 2|,解得 a = 1。故圓心

12、坐標(biāo)為(1, 1), 半徑 r = $亍 2，所以圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 1)2+ (y+ 1)2= 2。 故選 B。 (2)直線 x by+ 2b+ 1 = 0 過定點(diǎn) P( 1,2)，如圖。所以圓與 直線 x by+ 2b+ 1 = 0 相切于點(diǎn) P 時(shí)，圓的半徑最大，為.2, 考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的軌跡問題 【例 2】 已知圓 x2 + y2 = 4 上一定點(diǎn) A(2,0), B(1,1)為圓內(nèi) 一點(diǎn)，P, Q 為圓上的動(dòng)點(diǎn)。 (1) 求線段 AP中點(diǎn)的軌跡方程； (2) 若/ PBQ = 90求線段 PQ 中點(diǎn)的軌跡方程。 解(1)設(shè) AP 的中點(diǎn)為 M(x, y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，

13、P 點(diǎn)坐標(biāo)為(2x 2,2y)。 因?yàn)?P 點(diǎn)在圓 x2 + y2= 4 上， 所以(2x 2)2+ (2y)2 = 4。 故線段 AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x 1)2+ y2= 1, (XM 2)。 (2)設(shè) PQ 的中點(diǎn)為 N(x, y)。 在 RtPBQ 中，|PN|= |BN|。 設(shè) 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接 ON,貝 U ON1PQ, 所以 |OP|2= |ON|2+ |PN|2= |ON|2+ |BN|2, 所以 x2 + y2 + (x 1)2+ (y 1)2= 4。 整理得 x2 + y2 x y 1 = 0, 故線段 PQ 中點(diǎn)的軌跡方程為 2 2 x + y 一 x 一 y 一 1

14、 = 0。 求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)， 根據(jù)題設(shè)條件的不同，常采用以 下方法： 1. 直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程。 2. 定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程。 3. 幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程。 4. 代入法： 找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系， 代入已知點(diǎn)滿足 的關(guān)系式等。 【變式訓(xùn)練】 自圓 C： (x 3)2 + (y+ 4)2= 4 外一點(diǎn) P(x, y) 引該圓的一條切線，切點(diǎn)為 Q, PQ 的長度等于點(diǎn) P 到原點(diǎn) O 的 距離，則點(diǎn) P 的軌跡方程為( ) A . 8x 6y 21= 0 C. 6x+ 8y 21 = 0 解析 由題意得，圓心 C 的坐標(biāo)為(3, 4),半徑

15、r = 2,如 圖。因?yàn)?|PQ|= |P0|,且 PQJCQ，所以 |P0|2+ r2=|PC|2，所以 x2 + y2 + 4= (x 3)2+ (y+ 4)2, 即卩 6x 8y 21 = 0,所以點(diǎn) P 的軌跡 答案 D 考點(diǎn)三 與圓有關(guān)的最值問題 微點(diǎn)小專題 方向 1:借助幾何性質(zhì)求最值 【例 3】 已知實(shí)數(shù) x, y 滿足方程 x2 + y2 4x+ 1 = 0,則丫 x 的最大值和最小值分別為 _ 和 _ ; (2) y x 的最大值和最小值分別為 _ 和 _ ; (3) x2 + y2的最大值和最小值分別為 _ 和 _ 。 解析 原方程可化為(x 2)2+ y2= 3,表示以(

16、2,0)為圓心,.3 B. 8x+ 6y 21 = 0 D. 6x 8y 21 = 0 為半徑的圓 (i)y 的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)k, 即 y= kx。當(dāng)直線 y= kx 與圓相切時(shí)(如圖),斜率 k 取最大值或最 |2k 0| y 小值，此時(shí) 2 = 3,解得 k= 3。所以 x 的最大值為 3, 屮2+ 1 x 最小值為，3。 令 y x= b,則 y x可看作是直線 y=x+ b 在 y 軸上的截 距。如圖所示，當(dāng)直線 y=x+ b 與圓相切時(shí)，縱截距 b 取得最大 值或最小值，此時(shí) 寫嚴(yán)=73,解得 b = 26，所以 y x (3)x2 + y2表示圓上的一點(diǎn)

17、與原點(diǎn)距離的平方。 由平面幾何知 的最大值為一 2+ 6 識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值。 又圓心到原點(diǎn)的距離為 2,所以 x2 + y2的最大值是(2 + . 3)2= 7 + 4 3, x2+ y2 的最小值是(2 - 3)2= 7 -4,3。 答案(1) 3 - 3 (2) - 2 + 6 - 2 - 6 (3)7+ 4 3 7-4 3 方法犒翡 借助幾何性質(zhì)求與圓有關(guān)的最值問題，根據(jù)代數(shù)式的幾何意 義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解。 1. 形如 尸y-b形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的 x- a 最值問題或轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題。 2. 形如 t = ax + by

18、形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的 最值問題或轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題。 3. 形如(x-a)2+ (y- b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到 定點(diǎn)的距離的平方的最值問題。 方向 2:建立函數(shù)關(guān)系求最值 【例 4】(2019 廈門模擬)設(shè)點(diǎn) P(x, y)是圓：x2 + (y- 3)2 =1 上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn) A(2,0), B(- 2,0)，則 PA PB 的最大值為 解析 由題意，知 PA= (2-x,-y), PB= (-2-x, - y),所 以 PAPB = x2 + y2-4,由于點(diǎn) P(x, y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足 方程 x2 + (y-3)2= 1,故 x2=- (y- 3)

19、2 + 1，所以 PA PB =- (y- 3)2 + 1 + y? 4 = 6y 12。由圓的方程 x? + (y 3)? = 1，易知 2W yw 4,所以，當(dāng) y= 4時(shí)，PA 的值最大，最大值為 6X 4- 12= 12 答案 12 根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式， 再根據(jù)函數(shù)知識(shí)或基 本不等式求最值。 【題點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】 1. (方向 1)已知兩點(diǎn) A(0, 3), B(4,0)，若點(diǎn) P是圓 C: X2 + y2 2y= 0 上的動(dòng)點(diǎn)，則 ABP 的面積的最小值為( ) 11 B.乙 21 D. 兀 解析 x2 + y2 2y= 0 可化為 x2 + (y 1)2= 1,則圓 C 為

20、以(0,1) 為圓心，1 為半徑的圓。如圖，過圓心 C 向直線 AB 作垂線交圓 于點(diǎn) P,連接 BP, AP,這時(shí)ABP 的面積最小，直線 AB 的方程 X y 為；+ = 1，即 3x 4y 12= 0,圓心 C 到直線 AB 的距離 d = 4 3 16 1 5，又|AB| = ；32 + 42 = 5，所以 ZVKBP 的面積的最小值為 2 Q6 、11 x 5 x - 1 = 了。 5 丿 2 C. 8 答案 B2. (方向 2)已知實(shí)數(shù) x,y 滿足(x- 2)2+ (y- 1)2= 1,則 z= 呼 ZV 的最大值與最小值分別為 y +1 解析 由題意，得 表示過點(diǎn) A(0,-

21、1)和圓(x- 2)2 + (y x -1)2= 1 上的動(dòng)點(diǎn)(x, y的直線的斜率。當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切 時(shí)，直線的斜率分別取得最大值和最小值。設(shè)切線方程為 y= kx -1, 即卩 kx- y- 1 = 0,則崔旦=1,解得 k=呼，所以 Zmax 屮2+ 1 3 4+A/7 4V? 答案丁 T 3. (方向 2)已知圓 O: x2 + y2= 9,過點(diǎn) C(2,1)的直線 I與圓 O 交于 P,Q 兩點(diǎn)，當(dāng)厶 OPQ 的面積最大時(shí)，直線 I的方程為( ) A . x- y-3= 0 或 7x- y-15= 0 B. x+ y+ 3= 0 或 7x+ y- 15= 0 C. x+ y- 3

22、= 0 或 7x- y+ 15= 0 D. x+ y-3= 0 或 7x+ y-15= 0 解析 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，l 的方程為 x= 2,則 P, Q 1 的坐標(biāo)為(2, 5), (2,- 5),所以 SA)PQ = 2 X 2X 2 5 = 2 5。 1) 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè) l 的方程為 y1 = k(x-2)卡工 Q 丿，則 圓心到直線 PQ 的距離 d = 綱，由平面幾何知識(shí)得|PQ| = 1 + k2 2 9-d2, SOPQ = 2 |PQ| d = 1 2 ,9-d2 d = ； 9- d2 d2 9 9 =2，當(dāng)且僅當(dāng) 9 d = d，即卩 d = 9 時(shí)

23、，SSPQ取 9 9 9 9 4k 4k +1 得最大值9。因?yàn)?2 50)的焦點(diǎn)為 F，直線 y 5 =4 與 y 軸的交點(diǎn)為 P,與 C 的交點(diǎn)為 Q,且|QF| = ；|PQ|。 (1)求拋物線 C 的方程； 過 F 的直線 I與 C 相交于 A, B 兩點(diǎn)，若 AB 的垂直平分 線丨與 C 相交于 M , N 兩點(diǎn)，且 A, M , B, N 四點(diǎn)在同一圓上， 求 l 的方程。 8 【解】(1)設(shè) Q(X ,4)，代入 y2= 2px,得 X0=p,又 P(0, 4), p 所以 |pQ|=8。又 |QF|=2+x0=p+p,且 |QF|=4|PQ|,所以 p+8= 5 8 4 8,解得 p= 2(p = 2 舍去),所以，拋物線 C 的方程為 y2 = 4x 泌放E思維* 開啟心智o 因?yàn)?A, M , B, N 四點(diǎn)在同一圓上，弦 AB