大學概率論二維正態(tài)分布

1、上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布4.34.3第四章 正態(tài)分布上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回定義定義 設(shè)二維隨機變量),(YX的聯(lián)合概率密度為),(yxf,e12122222)()(2)()1(212yyyxyxxxyyxrxryxr則稱二維隨機變量),(YX服從二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布， 記作),(YX),(22rNyxyx其中) 1(,0,0,rryxyx是分布參數(shù).4.3 二維正態(tài)分布 上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回x-10-50510y-10-50510z0.0000.0050.0100.015

2、二維正態(tài)分布f(x,y) 12xy1 2exp121 2xx2x22x xxyyyyy2y2x 0y 0 x 10y 10 0.54.3 二維正態(tài)分布 上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回 定理定理1 設(shè)二維隨機變量),(YX服從二維正態(tài)分布, ),(22rNyxyx則X與Y的邊緣分布都是正態(tài)且無論參數(shù)) 1(rr為何值， 都有, ),(2xxNX. ),(2yyNY證：證：X的邊緣概率密度)(xfX,e121),(2dyryxuyx分布，4.3 二維正態(tài)分布 其中),(yxu22222)()(2)()1(21yyyxyxxxyyxrxr上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四

3、版）目錄結(jié)束返回設(shè),)(112xxyyxryrt則)(xfXdttxxxx2)2()(222ee21.e21)2()(22xxxx由此可得，, ),(2xxNX同理，. ),(2yyNY4.3 二維正態(tài)分布 由定理1可知：, )(XEx, )(YEy,)(XDx. )(YDy,)()1 (212)(2222xxyyxxxryrx上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回,e121),(),(2dxdyyxrYXRyxuyyxxyx 化為二次積分，得,)(e121),()2()(222dxxIxrYXRxxxxxyx4.3 二維正態(tài)分布 ,e)(22)()1 (21dyyxIxxyy

4、xryryy設(shè) ,)(112xxyyxryrt則得其中 定理定理2 則設(shè)),(),(22rNYXyxyx.),(rYXR證：證：上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回dtxrrtrxItxxy22e)(11)(22dtrxrdttrtxxyty222222e1)(e)1 (, )1(2)(2rxrxxy4.3 二維正態(tài)分布 所以),(YXR,e)(2)2()(222dxxrxxxxxx設(shè), txxx得),(YXRdttrt22e22. r上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回 定理定理3 , ),(),(22rNYXyxyx設(shè)則X與Y. 0r獨立的充要條件是證：

5、證：必要性：若隨機變量X與Y相互獨立， 則.0r充分性：,0r若則二維正態(tài)分布的聯(lián)合密度可化為：4.3 二維正態(tài)分布 ),(yxf2)()( 212222eyyxxyxyx)2()(2122exxxx)2()(2122eyyyy. )()(yfxfYX所以,隨機變量 與 相互獨立.XY上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回例例1 設(shè)隨機變量X與Y相互獨立， 都服從標準正態(tài)分.22的概率密度求隨機變量函數(shù)YXZ, ) 1 ,0(N布解：解：因為隨機變量X與Y相互獨立， 且已知,e21)(22xXxf,e21)(22yYyf所以，.e21)()(),(2)(22yxYXyfxfyx

6、f4.3 二維正態(tài)分布 )(zFZ)(zZP. )(22zYXP的分布函數(shù)為22YXZ由分布函數(shù)定義，上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回當0z時， 有)(zFZdxdyzyxyx22222)(e21ddz02202e21.e12z4.3 二維正態(tài)分布 所以，Z的分布函數(shù) ,0,e1)(2zZzF;0z.0z當0z時， 顯然有;0)(zFZ上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回4.3 二維正態(tài)分布 ,0,e)(2zZzf21;0z.0z的概率密度由此得Z上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回1. 二維正態(tài)分布的邊緣分布為正態(tài)分布：若),(YX)

7、,(22rNyxyx則, ),(2xxNX. ),(2yyNY且, )(XEx, )(YEy,)(XDx,)(YDy.),(rYXR4.3 二維正態(tài)分布 小小 結(jié)結(jié)2.),(YX若),(22rNyxyx則與XY相互獨立. 0r上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回思考題思考題1. 設(shè)二維隨機變量),(YX服從二維正態(tài)分布， 已知,0)()(YEXE,16)(XD,25)(YD,12),(covYX求),(YX的聯(lián)合概率密度.解：解：已知,0yx,416 x,525 yX于是與Y的相關(guān)系數(shù)為,53251612),(YXRr4.3 二維正態(tài)分布 ,12),(covYX上一頁下一頁概

8、率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回第四章 正態(tài)分布正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的分布正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的分布4.44.4上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回 定理定理11 設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布, ),(2N則X的線性函數(shù)bXaY)0( b也服從正態(tài)分布：).,(22bbaNbXaY證：證：Y的分布函數(shù)為)(yFY)(yYP).(ybXaP若0b則有)(yFY)(bayXP),(bayFX4.4 正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的分布)(yfY )(bayFX)(1bayfbX,e212222)(bbayb所以).,(22bbaNY當0b時類似地可證.由分布函數(shù)定義，求導(dǎo)得上一頁

9、下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回定理1表明：正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)仍然是正態(tài)隨機變量.4.4 正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的分布推論推論設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布, 則標準化的隨機變量).1 ,0(*NXX在定理1中，設(shè),a1b即得結(jié)論.上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回 定理定理22 設(shè)隨機變量X與Y獨立， 并且都服從正態(tài)分布：, ),(2xxNX, ),(2yyNY則它們的和也服從正態(tài)分布， 且有).,(22yxyxNYXZ證：證： 已知X與Y的概率密度分別是,e21)(222)(xxxxXxf,e21)(222)(yyyyYyf4.4 正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的

10、分布上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回則隨機變量YXZ的概率密度dxzfyyxxxzxyxZ)()(212222e21)(,e21)2(2dxcbxaxyx其中, )11(2122yxa4.4 正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的分布, )(2122yyxxzb,)(212222yyxxzc上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回不難計算積分得dxcbxax)2(2e,e)(2abaca于是.e21)()(2)(22222yxyxzyxZzf由此可見，Z服從正態(tài)分布).,(22yxyxN4.4 正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的分布dxzfcbxaxyxZ)2(2e21)(定理2表

11、明：獨立正態(tài)隨機變量的和仍是正態(tài)隨機變量.上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回 定理定理33 設(shè)隨機變量nXXX,21相互獨立， 且都服從正態(tài)分布：),(2iiiNX,2 ,1ni的線性組合niiiXc1也服從正態(tài)分布，且有iniiXc1),(2121iniiiniiccN其中nccc,21為常數(shù).4.4 正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的分布由定理1及定理2 還可得下面更一般的結(jié)論.則它們上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回思考題思考題1.設(shè)隨機變量X與Y獨立， 且X服從均值為,1標準差為2的正態(tài)分布， 而Y服從標準正態(tài)分布， 試求隨機解：解： 已知X與Y獨立， 且

12、, ) 1 ,0(, )2 ,1 (NYNX所以).9 ,2(2NYXW又因為隨機變量, 3WZ4.4 正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的分布).9 ,5(332NWYXZ由此可知，Z的概率密度為,e231)(18)5(2zZzf.z32YXZ的概率密度.變量于是上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回042Xyy無實根的概率為,5 . 0則._解：解： 方程042Xyy無實根就是,0416X即, 4X按題意,有,5 . 0)4(XP即. 5 . 0)4(XP已知, ),(2NX4.4 正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的分布2.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布,),(2N且二次方程),4()4()4(XPX

13、P從而，,5 . 0)4(因為,5 . 0)0(所以應(yīng)有,04由此得. 4所以上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回1.，若),(2NXbXaY).,(22bbaN特別： ).1 ,0( NX2. 隨機變量X與Y相互獨立， 且),(2xxNX),(2yyNY則).,(22yxyxNYX小小 結(jié)結(jié)推廣： 設(shè)nXXX,21相互獨立， 且),(2iiiNX,2 ,1ni則).,(21211iniiiniiiniiccNXc4.4 正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的分布時，則當0b上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回補充例題補充例題設(shè)YX ,是兩個相互獨立的服從同一正態(tài)分布)2

14、1( ,0(2N的隨機變量， 則隨機變量YX 的數(shù)學期望._)(YXE設(shè),YXZ由正態(tài)隨機變量的線性性質(zhì)知, ) 1 ,0( NYXZ于是Z的概率密度為.,e21)(22zzfzZ解解: :4.4 正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的分布上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回4.4 正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的分布dzzz202e22.2所以，dzzZEz22e21)(dzzz22e21上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回第四章 正態(tài)分布中心極限定理中心極限定理4.54.5上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回則怎么求和nXXXX21的分布?問題：能否利用極限

15、的方法進行近似處理？在很一般條件下,和的極限分布就是正態(tài)分布.在一定條件下,大量獨立隨機變量的和的極限分布為正態(tài)分布的一系列定理統(tǒng)稱為中心極限定理中心極限定理.4.5 中心極限定理設(shè)nXXX,21為隨機變量，上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回定理定理1（萊維定理萊維定理）設(shè)獨立隨機變量,21nXXX服從相同分布，并且數(shù)學期望和方差都存在：,)(iXE, 0)(2iXD,2 ,1 ni 4.5 中心極限定理服從標準正態(tài)分布。nnXXDXEXYniiniininiiin1111)()(當n時，則它們的和的標準化變量ninX1上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回

16、即它的分布函數(shù)xYPxFnn)(4.5 中心極限定理,e2122dtxtxnnXPxFniinnn1lim)(lim.是任意實數(shù)其中x滿足)(x上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回由萊維定理可得如下的近似公式：nXXX,21設(shè) 獨立同分布，,)(iXE, 0)(2iXD,2 ,1ni則當n充分大時，4.5 中心極限定理推論推論且211znnXznii),()(12zzP.,21是任意實數(shù)其中zz上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回例例1解：解： 設(shè)隨機變量iX表示第i個加數(shù)的取整誤差， 則iX在區(qū)間5 . 0 ,5 . 0上服從均勻分布， 并且有,0)(iX

17、E,121)(iXD.300,2 ,1i4.5 中心極限定理 計算機進行加法計算時,把每個加數(shù)取為最接近于它的整數(shù)來計算.設(shè)所有的取整誤差是相互獨立的隨機變量,并且都在區(qū)間 上服從均勻分布,求300個數(shù)相加時誤差總和的絕對值小于10的概率.5 . 0 , 5 . 0上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回于是所求的概率為1)2(2.9544. 04.5 中心極限定理)()(12211zzznnXzPnii0)(iXE121)(iXD)2()2()10(3001iiXP)(21213003001iiXP上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回定理定理2（棣莫弗棣莫弗-

18、拉普拉斯定理拉普拉斯定理）設(shè)在獨立試驗序列中，A事件 在各次試驗中發(fā)生的概率為, ) 10( pp隨機變量nY表示事件A在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)， 則有xnpqnpYPnnlim)(e2122xdtxt其中z是任何實數(shù)，. 1 qp4.5 中心極限定理上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回證證： 設(shè)隨機變量iX表示事件A在第 次試驗中發(fā)生 i的次數(shù)),2 ,1( ni 則這些隨機變量相互獨立，服從相同的 10 分布分布， 并且有數(shù)學期望及方差：,)(pXEi,)(pqXDi.,2 ,1 ni 顯然，事件A在n次試驗中發(fā)生的次數(shù),1niinXY所以， 按列維定理可知， 等式成立.4.5 中心極限定理上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）目錄結(jié)束返回由定理可以推知：由