數(shù)學(xué)建模GDP預(yù)測(cè)

1、GDP是衡量國(guó)家經(jīng)濟(jì)實(shí)力，經(jīng)濟(jì)規(guī)模的重要指標(biāo)，是國(guó)家制定宏觀調(diào)控政策的重要依據(jù)。人均GDP是最能體現(xiàn)一個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)實(shí)力、發(fā)展水平和生活水準(zhǔn)的綜合指標(biāo)，它不僅考慮了經(jīng)濟(jì)總量的大小，而且結(jié)合了人口多少的因素，在國(guó)際上被廣泛用于評(píng)價(jià)和比較一個(gè)國(guó)家和地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平。本文利用線性自回歸模型研究我國(guó)人均GDP數(shù)據(jù)的建模預(yù)測(cè)問題，得到以下結(jié)果：1應(yīng)用線性自回歸模型對(duì)我國(guó)人均GDP進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，建模中采用最小二乘估計(jì)方法進(jìn)行擬合，用最佳預(yù)測(cè)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。關(guān)鍵詞：中國(guó)人均GDP；AR模型；最小二乘估計(jì)利用AR模型進(jìn)行人均GDP預(yù)測(cè)1、 AR模型AR模型是一種常見的時(shí)間序列模型。在這個(gè)模型中，時(shí)間序列的現(xiàn)在值

2、是用該序列過去數(shù)值的線性組合加上一個(gè)白噪聲擾動(dòng)項(xiàng)來(lái)表示。白噪聲是滿足某些特定統(tǒng)計(jì)意義的時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)變量，如用來(lái)表示，對(duì)于所有，必須滿足: E()=0 (1) Var()=2 (2) COV(,-k)=COV(-i,-k-i)=0(對(duì)所有i，k，ik)(3)其中為常數(shù)。對(duì)于時(shí)間序列Y,如果滿足:Y=1Y-1+2Y-2+nYn+ (4)就稱模型(4)為n階自回歸模型,式(4)中，1，2n都是未知參數(shù)，是相應(yīng)的白噪聲序列。因此，使用滯后算子表達(dá)式可以將式(4)寫為：QnLY= (5)式中： QnL=1-1L-nLn (6)式(6)稱作滯后算子三的n階AR多項(xiàng)式。Qn(L)=0稱為模型的特征方程。特征

3、方程的n個(gè)根i，i=l，2，n，稱為模型的特征根。如果n個(gè)特征根都在單位圓外，即： i>1 i=1，2，n 則稱模型是穩(wěn)定的，故式(7)又稱為平穩(wěn)性條件。AR(n)模型與多元回歸模型不同，多元回歸模型是一種靜態(tài)數(shù)學(xué)模型，它描述的只是一個(gè)變量與另外一組變量在同一時(shí)刻的靜態(tài)相關(guān)。由于AR模型不存在其它的自變量，不受模型變量“相互獨(dú)立”假定條件的約束。因此，用AR模型及其原理可以構(gòu)成多種模型以消除或改進(jìn)普通回歸預(yù)測(cè)中由于自變量選擇，多重共線性，序列相關(guān)等原因所造成的困難。此外，在AR模型中，各種因素對(duì)預(yù)測(cè)目標(biāo)的影響是通過它們?cè)跁r(shí)間過程中的總和體現(xiàn)被考慮的，是將序列歷史觀察值作為諸因素影響與作用

4、的結(jié)果用于建立其本身的歷史序列線性回歸模型的，因此，用普通最小二乘法就可以對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)和求解。在許多實(shí)際問題中，我們得到的量測(cè)數(shù)據(jù)序列顯然不能近似看作是平穩(wěn)的，某些序列并不是穩(wěn)定在同一水平上，而是具有明顯的增長(zhǎng)或減少趨勢(shì)。由于建立時(shí)間序列模型通常是要求該序列具有平穩(wěn)性，因此，對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列則要先將觀測(cè)到的時(shí)間序列進(jìn)行差分運(yùn)算，化為平穩(wěn)時(shí)間序列，再使用AR模型對(duì)這個(gè)差分序列建模預(yù)測(cè)。2、 數(shù)據(jù)的的平穩(wěn)性檢驗(yàn)與平穩(wěn)化處理采用逆序檢驗(yàn)法判定處理后的時(shí)間序列是否平穩(wěn):逆序檢驗(yàn)法的一般步驟:第一步，由時(shí)間序列求出一個(gè)大致不相關(guān)的均值或方差的序列。具體地可以將整個(gè)序列分成M段，然后求出每段數(shù)據(jù)按時(shí)間

5、平均的均值和方差，設(shè)所得序列為y1，y2，ym。第二步，計(jì)算均值序列(或方差序列)的逆序總數(shù)。對(duì)于yi(i=1，2，m一1)來(lái)說，若后邊有一個(gè)值大于它，即yj(j>i)，則稱為一個(gè)逆序，記yi的逆序數(shù)為Ai(即它后面有Ai個(gè)值大于它)，逆序總數(shù)為A=i=1m-1Ai第三步，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)可以證明，一個(gè)隨機(jī)序列的逆序總數(shù)A具有以下的期望和方差:E(A)=14m(m-1)D(A)=m(2m2+3m-5)72其中，m為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，并且統(tǒng)計(jì)量Z=A+12-E(A)D(A)漸近服從于N(0，1)分布。因此對(duì)于均值(或方差序列)y1,y2,ym可以依據(jù)以上三式求出統(tǒng)計(jì)量Z的值，在顯著水平=0.

6、05情況下，Z<1.96，則認(rèn)為序列無(wú)明顯的趨勢(shì)，否則認(rèn)為序列是非平穩(wěn)的。3、 AR(n)模型參數(shù)的估計(jì)建立自回歸模型之前，我們僅僅只是掌握了大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)。因此在進(jìn)行動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)預(yù)處理后，必須先從這些樣本數(shù)據(jù)中估計(jì)出模型參數(shù)，而采用不同的估計(jì)方法會(huì)帶來(lái)不同的誤差，其大小直接影響了模型的精度。我們先在階數(shù)給定的情形下，即假設(shè)自回歸階數(shù)n已知時(shí)，為已經(jīng)進(jìn)行過零均值化的觀測(cè)數(shù)據(jù)y1，y2，yN建立一個(gè)AR(n)模型 Y=j=1njY-j+ 0 (7)先討論此模型的參數(shù)估計(jì)，然后再討論模型階數(shù)的估計(jì)。AR模型的最小二乘估計(jì)理論最小二乘估計(jì)是線性模型中最常用的估計(jì)方法，它有計(jì)算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。如果d1,

7、d2,dn是自回歸系數(shù)1,2,n的估計(jì)，白噪聲j的估計(jì)定義為: j=yi-(d1yj-1+d2yj-2+dnyj-n) p+1jN (8)通常稱j, p+1jN為殘差。如果d1,d2,dn是自回歸系數(shù)1,2,n的較好估計(jì)，殘差的方差不應(yīng)當(dāng)很大。于是，合理的估計(jì)量d1,d2,dn應(yīng)當(dāng)使得殘差平方和 S(d1,d2,dn)=j=p+1Nyi-(d1yj-1+d2yj-2+dnyj-n)(9)的取值比較小。另一方面，在考慮用yj-1,yj-2,yj-n的線性組合d1yj-1+d2yj-2+dnyj-n對(duì)yi進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，合理的估計(jì)量d1,d2,dn也應(yīng)當(dāng)使得預(yù)測(cè)誤差的平方和取值較小?；谝陨显颍覀?/p>

8、把由(9)定義的S(d1,d2,dn)最小值點(diǎn)稱為自回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)。引入列向量和矩陣Y=yp+1yp+2yN， X=ypyp-1y1yp+1ypy2yN-1yN-2yN-p， d=d1d2dn可以把函數(shù)S(d1,d2,dn)寫成(N-p)維歐氏空間中距離的形式 S(d1,d2,dn)=|Y-Xd|2根據(jù)垂直距離最短的道理，S(d1,d2,dn)的最小值點(diǎn)d應(yīng)當(dāng)使得(Y-Xd)和X的每個(gè)列向量正交，也就是d使得 XTY-Xd=0 (10)實(shí)際上，若d是(10)的解，則對(duì)任一個(gè)p維列向量c=(c1,c2,cp)T，有 Sc1,c2,cp=Y-Xd2=Y-Xd-Xc-d2 =|Y-Xd|2+

9、|X(c-d)|2+2Xc-dT(Y-Xd) =|Y-Xd|2+|X(c-d)|2 |Y-Xd|2于是，線性方程組(10)的任一解是自回歸系數(shù)(1,2,n)的最小二乘估計(jì)。特別當(dāng)p×p對(duì)稱矩陣XTX正定時(shí)，自回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)是唯一的，由 (1,2,n)=(XTX)-1XTY給出。白噪聲方差2的最小二乘估計(jì)為 2=1N-pS(1,2,n)BI C定階準(zhǔn)則 BIC(k)=logk2+klnNNBIC中符號(hào)的意義與AIC相同。我們將BIC(k)在(0,1,2,p0)中的第一個(gè)最小值點(diǎn)p稱為AR(n)模型的BIC定階。但是當(dāng)N不是很大時(shí)，用BIC定階有時(shí)會(huì)低估階數(shù)P，造成模型的較大失真

10、。所以在實(shí)際問題中，特別當(dāng)樣本量不是很大時(shí)，BIC定階效果并不如AIC。本文將選取BIC定階準(zhǔn)則確定AR模型的階數(shù)。參數(shù)估計(jì)是在給定階次的情況下進(jìn)行的，由于事先無(wú)法判斷模型的階次，因此在建模過程中應(yīng)先給定模型的階次，然后再按上面所述的最小二乘法估計(jì)出AR模型的參數(shù)，得到各階模型，最后取BIC(k)值最小的階次作為模型的最佳階次，同時(shí)也確定了AR模型參數(shù)。人均GDP的AR預(yù)測(cè)建模(1) 原始數(shù)據(jù)下面將對(duì)我國(guó)和美國(guó)的人均GDP采用AR模型進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)。表2-1是1956年-2012年我國(guó)人均GDP的原始數(shù)據(jù)，以年份來(lái)統(tǒng)計(jì)，一共57個(gè)數(shù)據(jù)，它們是等間距的時(shí)間序列，在本文的研究中將數(shù)據(jù)分為兩個(gè)部分，

11、第一部分是從1956年-2009年，第二部分是從2009年一2012年。將第一部分的數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，用于對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)，第二部分的數(shù)據(jù)則作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用以檢驗(yàn)預(yù)測(cè)的正確性，即前54個(gè)數(shù)據(jù)用于估計(jì)，后3個(gè)數(shù)據(jù)用于預(yù)測(cè)。中國(guó)1956-2012歷年人均GDP單位：元年份人均GDP年份人均GDP年份人均GDP年份人均GDP19561661971290198696320018,6221957168197229419871,11220029,3981958200197331019881,366200310,5421959216197431119891,519200412,3361960218197532

12、919901,644200514,1851961185197631819911,893200616,5001962173197734119922,311200720,1691963181197838119932,998200823,7081964208197941919944,044200925,6051965240198046319955,046201029,7481966255198149219965,846201133,9891967236198252819976,420201238,3541968223198358319986,7961969244198469519997,159197

13、0276198585820007,858美國(guó)1956-2012歷年人均GDP單位：美元建模和預(yù)測(cè)分析在對(duì)我國(guó)人均GDP數(shù)據(jù)樣本建立線性自回歸模型，建模之前需要對(duì)數(shù)掘進(jìn)行平穩(wěn)化處理，根據(jù)19562012年數(shù)據(jù)自身特點(diǎn)及建模的需要，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換和差分運(yùn)算。即Y=2lnA，其中是差分算子，A表示第年的人均GDP總量，在對(duì)我國(guó)19562012年人均GDP的數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行對(duì)數(shù)變換和差分運(yùn)算進(jìn)行平穩(wěn)化處理，處理后的數(shù)據(jù)序列如圖22，并對(duì)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行逆序檢驗(yàn)，檢驗(yàn)處理后的數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)。設(shè)Y為我國(guó)人均GDP的數(shù)據(jù)序列，則樣本Y1,Y2,Y54是1956年-2012年的人均GDP數(shù)據(jù)序列，現(xiàn)采用逆序檢驗(yàn)法對(duì)其進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)：運(yùn)用上述數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)和平穩(wěn)化處理方法，我們將對(duì)人均GDP數(shù)據(jù)分成M=7段，得出每段數(shù)據(jù)的方差序列為： ，且逆序總數(shù)A=