基于貝葉斯估計(jì)的小波圖像降噪

1、基于貝葉斯估計(jì)的小波圖像降噪劉玉振 儀科3班一、二維多分辨率分析二維多分辨率分析與一維類似，二維多分辨率分析的尺度函數(shù)為x,y=x(y)，其中x和(y)是一維中的尺度函數(shù)。設(shè)(x)是x對(duì)應(yīng)的一維小波函數(shù)，則有1x,y=x(y)2x,y=x(y)3x,y=x(y)x,y、1x,y、2x,y、3x,y都是二維多分辨率分析的小波函數(shù)。由于1x,y、2x,y、3x,y都至少包含一個(gè)帶通的x和(y)，所以它們都是帶通的，反映的是細(xì)節(jié)信息。分別用小波函數(shù)x,y、1x,y、2x,y、3x,y對(duì)二維離散信號(hào)進(jìn)行小波變換，可以將它分解為各層各個(gè)分辨率上的近似分量cAj，水平方向細(xì)節(jié)分量cHj，垂直方向細(xì)節(jié)分量c

2、Vj，對(duì)角方向細(xì)節(jié)分量cDj，其二層小波圖像分解過(guò)程如圖1.1所示。圖1.1 二維小波圖像分解過(guò)程假設(shè)二維離散信號(hào)X(512,512)，對(duì)其用二維離散小波進(jìn)行小波變換，得到的小波系數(shù)如圖所示，A、H、V、D都是系數(shù)矩陣。A2、H2、V2、D2的尺寸為128*128，H1、V1、D1的尺寸為256*256。如果進(jìn)行三層分解，則A3、H3、V3、D3的尺寸為64*64,H2、V2、D2的尺寸還是128*128，H1、V1、D1的尺寸還是256*256。圖1.2 二維小波重構(gòu)圖像過(guò)程二層小波重構(gòu)過(guò)程正好相反，基于小波變換的圖像處理，是通過(guò)對(duì)圖像分解過(guò)程中所產(chǎn)生的近似分量和細(xì)節(jié)分量系數(shù)的調(diào)整，使重構(gòu)圖

3、像滿足特定條件，實(shí)現(xiàn)圖像處理，具體過(guò)程如圖1.2所示。二、小波圖像降噪在獲取和傳輸圖像的過(guò)程中，不可避免地會(huì)混有噪聲，所以在處理和傳輸時(shí)，就必須對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理，以提高圖像的質(zhì)量。由于小波變換具有良好的局部特性，因此作為一種信號(hào)和圖像處理的工具得到了廣泛應(yīng)用。圖像去噪的一般方法是：1、圖像的小波分解。選擇合適的小波函數(shù)以及適合的分解層數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行分解。2、對(duì)分解后的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值處理。對(duì)分解的每一層，選擇合適的閾值對(duì)該層的水平、垂直和斜線三個(gè)方向的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理。3、重構(gòu)圖像。根據(jù)小波分解的低頻系數(shù)和經(jīng)閾值量化處理后的高頻系數(shù)進(jìn)行圖像重構(gòu)。三、基于Bayes估計(jì)的小波去噪3.1

4、Bayes估計(jì)小波閾值1995年，Donoho首次提出了小波閾值的概念。小波閾值是一種非線性的方法，它是在小波域內(nèi)通過(guò)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理來(lái)達(dá)到去除噪聲的目的。其理論前提是，認(rèn)為圖像的小波系數(shù)是服從廣義高斯分布的，且絕對(duì)幅值較大的小波系數(shù)主要是由原始信號(hào)變換后得到的，而絕對(duì)幅值較小的小波系數(shù)則主要是由噪聲變換后得到的，這樣就可以通過(guò)設(shè)定閾值將較小的噪聲系數(shù)去除來(lái)達(dá)到去除噪聲的目的。閾值處理有軟閾值函數(shù)(soft threshold)和硬閾值函數(shù)(hard threshold)兩種2，其中，軟閾值函數(shù)(也稱作收縮shrink函數(shù))為nx=sgnx*max(x-T, 0)其中，x是小波系數(shù)，T是閾值

5、，軟閾值函數(shù)是先讓小波系數(shù)x和T進(jìn)行比較，然后根據(jù)比較結(jié)果，讓x向0收縮。硬閾值函數(shù)為nx=x, x>T0, 其他 其中，x是小波系數(shù)，T是閾值，硬閾值函數(shù)是使絕對(duì)幅值大于T的小波系數(shù)保留，其他系數(shù)則為0。軟閾值和硬閾值處理的區(qū)別，這里選擇軟閾值方法。小波系數(shù)經(jīng)過(guò)閾值處理后，由小波逆變換得到重建圖像f。通過(guò)閾值來(lái)進(jìn)行去噪，最佳閾值T大小的確定是一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題。Chang1等人根據(jù)圖像小波系數(shù)分布的特點(diǎn)，提出了一種基于Bayes準(zhǔn)則的圖像去噪方法Bayes shrink去噪法，其最佳閾值T為T=n2/x其中，n2是噪聲信號(hào)方差n2的估計(jì)，x2是圖像信號(hào)方差x2的估計(jì)。假設(shè)圖像表示為Xi,j

6、 ; i,j=1,2,N，其中Xi,j表示圖像在(i,j)處的灰度值。因此，含有噪聲的圖像就可以表示成Zi,j=Xi,j+ni,j ; i,j=1,2,N其中，噪聲ni,jN(0, 2)，屬于正態(tài)分布，與圖像信號(hào)相互獨(dú)立。經(jīng)過(guò)小波變換后，有Wz=Wx+Wn其中，Wz表示含有噪聲圖像的小波系數(shù)，Wx表示原始圖像的小波系數(shù)，Wn表示噪聲的小波系數(shù)。根據(jù)Chang提出的方法，噪聲信號(hào)小波系數(shù)的方差估計(jì)Wn2可以由下式得到Wns,J=Median(|Wz(s)|)/C其中，s表示不同方向上的小波系數(shù)，Wz(1)表示水平方向上的小波系數(shù)，Wz(2)表示垂直方向上的小波系數(shù)，Wz(3)表示對(duì)角方向上的小波

7、系數(shù)；C為常數(shù)，取0.6745；J=1,2,N，N表示小波分解的層數(shù)。由于Wz服從高斯分布，所以混合信號(hào)Z的小波系數(shù)的方差Wz2s,J=1N2(J)i,j=1NWz2(s)由Wz2=Wx2+Wn2，可得到原始信號(hào)小波系數(shù)方差的估計(jì)Wxs,J=sqrt(Wz2s,J-Wn2s,J)這樣就得到Bayes shrink的閾值表達(dá)式Ts,J=Wn2s,JWxs,J3.2 Bayes估計(jì)小波系數(shù)采用無(wú)偏最小方差估計(jì)準(zhǔn)則對(duì)不同尺度空間和不同方向上信號(hào)的小波系數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)，以后驗(yàn)概率的平均值作為小波系數(shù)的估計(jì)，然后對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換得到去噪后的圖像。對(duì)于一個(gè)被噪聲污染的信號(hào)Z=X+n。當(dāng)信號(hào)X無(wú)法

8、直接測(cè)量時(shí)，通常采用估計(jì)法根據(jù)觀察值Z對(duì)信號(hào)X進(jìn)行估計(jì)，無(wú)偏最小方差估計(jì)是一種最優(yōu)的Bayes估計(jì)準(zhǔn)則，它同時(shí)滿足無(wú)偏和估計(jì)方差最小兩個(gè)條件。根據(jù)貝葉斯法則，滿足無(wú)偏最小方差的最優(yōu)估計(jì)為后驗(yàn)概率(條件概率)的均值4。X=EXZ=XfXZdXfXZ=f(Z|X)f(X)f(Z|X)f(X)dX=f(n)f(X)f(n)f(X)dX因此，要求解X就必須知道噪聲的概率密度函數(shù)和原始信號(hào)的概率密度函數(shù)。由概率論的知識(shí)可知，兩個(gè)服從高斯分布的信號(hào)疊加后，其分布依然近似服從高斯分布，且高斯分布的均值對(duì)應(yīng)概率分布曲線的最大值處的自變量值，由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，通過(guò)令概率分布密度函數(shù)的一階微分為0，可以求得高斯

9、分布的均值。當(dāng)噪聲信號(hào)服從零均值，n2方差的高斯分布，且信號(hào)服從零均值，x2方差的高斯分布時(shí)，由數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，可得X=x2x2+n2Z本文中圖像的噪聲服從高斯分布，而圖像的小波系數(shù)也服從廣義的高斯分布。所以，可對(duì)不同分解層數(shù)，不同方向(水平、垂直、對(duì)角)上的圖像高頻小波系數(shù)進(jìn)行Bayes估計(jì)3，具體形式如下Wx(s,J)=Wx2s,JWx2s,J+Wn2s,JWz(s,J)由于無(wú)法直接得到噪聲小波系數(shù)的方差值，所以需要對(duì)Wn2s,J進(jìn)行估計(jì)，得到估計(jì)值Wn2s,J，具體的估計(jì)公式為Wns,J=Median(|Wz(s)|)/C其中，s表示不同方向上的小波系數(shù)，Wz(1)表示水平方向上的小波系數(shù)

10、，Wz(2)表示垂直方向上的小波系數(shù)，Wz(3)表示對(duì)角方向上的小波系數(shù)；C為常數(shù)，取0.6745；J=1,2,N，N表示小波分解的層數(shù)。Wz2為混合信號(hào)Z的小波系數(shù)的方差，由Wz2=Wx2+Wn2，可得到原始信號(hào)小波系數(shù)的方差估計(jì)Wx2s,J=Wz2s,J-Wn2s,J將Wx2s,J和Wns,J代入小波系數(shù)的Bayes估計(jì)公式得原始信號(hào)的小波系數(shù)最優(yōu)估計(jì)Wx(s,J)。最后，對(duì)Wx(s,J)進(jìn)行小波逆變換，得到去噪后的信號(hào)。四、圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)圖像的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)主要有最小均方誤差MSE和信噪比SNR兩個(gè)性能。最小均方誤差的計(jì)算公式為MSE=1n2i=1nj=1n(Fi,j-Xi,j)2其中，F(xiàn)i

11、,j表示重建恢復(fù)后的圖像像素的灰度值，Xi,j表示原始圖像各點(diǎn)的灰度值。信噪比的計(jì)算公式為SNR=10*lg(f2MSE)其中，表示重建后的圖像f的灰度值的方差。五、MATLAB仿真本文選取一幅大小為512*512的圖像'qiushi_gray.jpg'，即原始圖像X。圖5.1 原始圖像在Matlab中，對(duì)X進(jìn)行加噪處理，得到混合信號(hào)ZZ = imnoise(X, 'gaussian', 0, 0.01);圖5.2 加噪圖像經(jīng)計(jì)算，MSE=594.28，SNR=9.10對(duì)混合信號(hào)Z，通過(guò)小波變換對(duì)其進(jìn)行N=2層分解，小波選擇wavelet ='db1&#

12、39;。c, s = wavedec2(Z, 2, wavelet);圖5.3 二層小波分解系數(shù)矩陣通過(guò)detcoef2和appcoef2函數(shù)從c中提取出系數(shù)矩陣A2 H2 V2 D2 H1 V1 D1。c為1*5122的數(shù)組，存儲(chǔ)的是小波系數(shù)；s的形式為圖5.4 參數(shù)s具體內(nèi)容圖5.5 參數(shù)c和參數(shù)s的對(duì)應(yīng)s存儲(chǔ)的是系數(shù)矩陣的大小，可以看到A2的大小為128*128，H2、V2、D2的大小為128*128，H1、V1、D1的大小為256*256，512*512是圖像Z的大小。第J層不同方向上的小波系數(shù)記為W(s,J)，即W(1,1)=H1，W(2,1)=V1，W(3,1)=D1，W(1,2)

13、=H2，W(2,2)=V2，W(3,2)=D2。下面詳細(xì)展示本文提到的兩種基于貝葉斯估計(jì)的圖像去噪方法。(1) Bayes閾值去噪根據(jù)公式，計(jì)算第J層s方向上的閾值，并對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行軟閾值變換。得到新的小波系數(shù)c2。函數(shù)waverec2(c2, s, wavelet)對(duì)c2進(jìn)行逆小波變換，得到消噪后的圖像K。圖5.6 圖像K其中，MSE=231.69，SNR=13.19。(2) Bayes估計(jì)根據(jù)公式，計(jì)算Wns,J和Wxs,J，得到貝葉斯估計(jì)系數(shù)。經(jīng)過(guò)變換，得到新的小波系數(shù)c3，函數(shù)waverec2(c3, s, wavelet)對(duì)c3進(jìn)行逆小波變換，得到消噪后的圖像L。圖5.7 圖像L其中

14、，MSE=234.35，SNR=13.14。六、結(jié)論通過(guò)MATLAB對(duì)兩種基于Bayes估計(jì)的小波圖像降噪方法進(jìn)行仿真，可以看到，降噪處理得到的圖像對(duì)比加噪圖像，最小均方誤差分別下降了61%和60%，信噪比則分別提升了45%和44%。可以說(shuō)，本文提到的這兩種基于Bayes估計(jì)的小波圖像去噪方法對(duì)于混有噪聲的圖像信號(hào)具有較好的去噪效果。七、參考文獻(xiàn)1 Chang S G, Yu B, Vetterli M. Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compressionJ. IEEE transactions on image processing, 2000, 9(9): 1532-1546.2 查宇飛, 畢篤彥. 基于小波變換的自適應(yīng)多閾值圖像去噪J. 中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào): A 輯, 2005, 10(5): 567-570.3 Simoncelli