第五定積分習(xí)題課學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第五第五(d w) 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課第一頁(yè)，共39頁(yè)。二、內(nèi)容提要(ni rn t yo) 1 定積分(jfn)的定義定義(dngy)的實(shí)質(zhì)幾何意義 物理意義2 可積和 可積的兩個(gè)條件3 定積分的性質(zhì)線性性 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(可加性 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(若若0)( xf， 則則0)( dxxfba )(ba 非負(fù)性第第2頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第1頁(yè)/共39頁(yè)第二頁(yè)，共39頁(yè)。比較定理 若若)()(xgxf ， 則則dxxfba )( dxxgba )( )(ba 估值定理(dngl) )(xf在在區(qū)區(qū)間間,

2、ba 上上的的最最大大值值及及最最小小值值， )()()(abMdxxfabmba . 積分(jfn)中值定理如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間, ba上上連連續(xù)續(xù)，則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間, ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 積分(jfn)中值公式若M 和 m 是第第3頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第2頁(yè)/共39頁(yè)第三頁(yè)，共39頁(yè)。 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 如如果果)(

3、xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). 第第4頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第3頁(yè)/共39頁(yè)第四頁(yè)，共39頁(yè)。.)()(babaxFdxxf 牛頓(ni dn)萊布尼茨公式定積分定積分(jfn)(jfn)的計(jì)算法的計(jì)算法（1）換元法）換元法 dtttfdxxfba )()()(換元積分(jfn)公式（2）分部積分法）分部積分法 bababavduuvudv分部積分公式微積分基本公式 如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，則則 )()()(aFbFdxx

4、fba 第第5頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第4頁(yè)/共39頁(yè)第五頁(yè)，共39頁(yè)。廣義廣義(gungy)積分積分(1)無(wú)窮限的廣義無(wú)窮限的廣義(gungy)積分積分 adxxf)( babdxxf)(lim bdxxf)( baadxxf)(lim(2)無(wú)界函數(shù)的廣義積分無(wú)界函數(shù)的廣義積分 badxxf)( badxxf )(lim0 badxxf)( badxxf)(lim0第第6頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第5頁(yè)/共39頁(yè)第六頁(yè)，共39頁(yè)。 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0三、典型(dinxng)例題例例1 1.cossinsin20 dxx

5、xx求求解解,cossinsin20 dxxxxI由由,cossincos20 dxxxxJ設(shè)設(shè),220 dxJI則則 20cossincossindxxxxxJI 20cossin)sin(cosxxxxd. 0 ,22 I故得故得.4 I即即第第7頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第6頁(yè)/共39頁(yè)第七頁(yè)，共39頁(yè)。例2廣義(gungy)積分中值定理設(shè)f(x) 在 a ,b上連續(xù)(linx)， g(x) 在 a ,b上可積，且不變號(hào)，則 babadxxgfdxxgxfba)()()()(, 使使證因f(x) 在 a ,b上連續(xù)(linx)，故f(x) 在 a ,b上必取得 最大值M和最小值m，Mxfm )(

6、又g(x) 在 a ,b上不變號(hào)故不妨設(shè)0)( xg badxxg0)()()()()(xMgxgxfxmg bababadxxgMdxxgxfdxxgm)()()()(第第8頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第7頁(yè)/共39頁(yè)第八頁(yè)，共39頁(yè)。若0)( badxxg則由上式知 badxxgxf0)()( babadxxgfdxxgxf)()()()( 可取(kq)a ,b內(nèi)任一點(diǎn)若 babadxxgdxxg0)(, 0)(則Mdxxgdxxgxfmbaba )()()(由介值定理(dngl) babadxxgdxxgxffba)()()()(, 使使 babadxxgfdxxgxf)()()()( 第第9頁(yè)頁(yè)

7、/共共39頁(yè)頁(yè)第8頁(yè)/共39頁(yè)第九頁(yè)，共39頁(yè)。例3證明(zhngmng)01lim10 dxxxnn證一nnxxx 10 101010dxxdxxxnn11 n由由夾夾逼逼定定理理得得令令, n01lim10 dxxxnn由廣義(gungy)積分中值定理11111111010 ndxxdxxxnn 011lim, 1|11| nn有界有界 01lim10 dxxxnn證二第第10頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第9頁(yè)/共39頁(yè)第十頁(yè)，共39頁(yè)。dxxxInn 101記記dxIxxnn 10111則則 10111ndxxIInnn由夾逼定理得由夾逼定理得令令, n01lim10 dxxxnn例4求極限(jx

8、in)12111lim)1(nnnnn nnnn!lnlim)2( nnII 1112 nnnIIInIn21 證三第第11頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第10頁(yè)/共39頁(yè)第十一頁(yè)，共39頁(yè)。解 11211111limnnnnIn nninin111lim1 1010)1ln(11xdxx 2ln )21ln(1limnnnnnIn nninin1)ln(lim1 101lnxdx第第12頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第11頁(yè)/共39頁(yè)第十二頁(yè)，共39頁(yè)。如果(rgu)能把數(shù)列的通項(xiàng)寫成)1(1)(111 nininifnnifn或的形式(xngsh)就可以(ky)利用)(1lim1 ninnifn或)1(1lim1

9、 ninnifn把數(shù)列極限問題轉(zhuǎn)化為定積分 10)(dxxf的計(jì)算問題與數(shù)列的極限有著密切聯(lián)系由以上兩例可見，連續(xù)函數(shù) f ( x ) 的定積分第第13頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第12頁(yè)/共39頁(yè)第十三頁(yè)，共39頁(yè)。.2sinln40 xdx求求解解,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdx 402sinlnxdxI 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxI22ln4 . 2ln4 I例例 5 5第第14頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第13頁(yè)/共39頁(yè)第十四頁(yè)，共39頁(yè)。.

10、,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函數(shù)是偶函數(shù),dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx. 2ln232 例例 6 6第第15頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第14頁(yè)/共39頁(yè)第十五頁(yè)，共39頁(yè)。證明(zhngmng)Cauchy-Schwarz不等式 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(222證,Rt 0)()(2 xgxtf badxxgxtf0)()(2 bababadxxgdxxgxftdxxft0)()()(2)(222 bababadxxgdxxfdxxgxf0)()(4)()(4222 bababadxxgd

11、xxfdxxgxf)()()()(222例7第第16頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第15頁(yè)/共39頁(yè)第十六頁(yè)，共39頁(yè)。記 xaxaxadttgdttfdttgtfxF)()()()()(222 則 xaxaxadttfxgdttgxfdttgtfxgxfxF)()()()()()()()(2)(2222 0)()()()()()()()(22222 dtxgtftgxftgtfxgxfxa單單調(diào)調(diào)減減)(xF0)()()( aFxFbF bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(222即即另證第第17頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第16頁(yè)/共39頁(yè)第十七頁(yè)，共39頁(yè)。定積分定積分(jfn)不等式的證明

12、方法不等式的證明方法輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法將一個(gè)積分限換成變量，移項(xiàng)使一端為將一個(gè)積分限換成變量，移項(xiàng)使一端為 0另一端即為所求作的輔助另一端即為所求作的輔助(fzh)函數(shù)函數(shù) F ( x ) 判定單調(diào)性，與端點(diǎn)的值進(jìn)行判定單調(diào)性，與端點(diǎn)的值進(jìn)行(jnxng)比較即得證比較即得證)(xF 求求第第18頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第17頁(yè)/共39頁(yè)第十八頁(yè)，共39頁(yè)。例8設(shè) 0)0(, 0)0(,)( ffxf連續(xù)連續(xù)求 xxxdttfxdttf0200)()(2lim解 xxxfxdttfxxxfI0220)()(2)(2lim xxxxfdttfxf020)()(2)(2lim)()(3)(4lim20

13、 xfxxfxfxx )(0)0()(3)(4lim20 xfxfxfxfx 1)0()0(3)0(4 fff第第19頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第18頁(yè)/共39頁(yè)第十九頁(yè)，共39頁(yè)。1sinlim020 xbxdttatxx這是 型未定式的極限(jxin)解由LHospital法則(fz)1)cos(lim20 xaxbxIx0lim20 xx0)cos(lim0 xaxbx0) 1( ab00a = 0 或 b =1將 a = 0 代入知不合(bh)題意故b =14, 12)cos1(lim20 aaxaxxx例9 試確定 a , b 的值使第第20頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第19頁(yè)/共39頁(yè)第二十頁(yè)，共3

14、9頁(yè)。0)(, 1 , 0)( xfxf上連續(xù)上連續(xù)在在證明(zhngmng) 1010)(ln)(lndxxfdxxf證一由定積分(jfn)的定義)(ln1lim)(ln101nifndxxfnin ninnifn1)(1lnlim（ 因 f ( x ) 是凸函數(shù)） ninnifn1)(1limlndxxf 10)(ln證二記 adxxf 10)(則a 0例10 設(shè)第第21頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第20頁(yè)/共39頁(yè)第二十一頁(yè)，共39頁(yè)。xyln 上凸故其上任(shng rn)一點(diǎn)的切線都在曲線的上方在 x = a 處的切線(qixin)方程為)(1lnaxaay )(1ln)(ln),(atfaa

15、tftfx 有令 101010)(1ln)(lndtatfaadtdttf 101)(1lndttfaaaln 證三易證明(zhngmng)當(dāng) t 0 時(shí)有 1ln tt或teet 10)()(dxxfxft令又曲線第第22頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第21頁(yè)/共39頁(yè)第二十二頁(yè)，共39頁(yè)。1)()()(ln)(ln1010 dxxfxfdxxfxf01)()()(ln)(ln10101010 dxxfdxxfdxxfdxxf 1010)(ln)(lndxxfdxxf例11設(shè) f ( x ) 在 a , b 上連續(xù)(linx)且 f ( x ) 0 證明 baabdxxfdxxfdxxfba)(21)(

16、)(, 使使第第23頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第22頁(yè)/共39頁(yè)第二十三頁(yè)，共39頁(yè)。令 xadttfxF)()(則 F ( x ) 在 a , b 上連續(xù)(linx)，在( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)0)()( xfxF即 F( x ) 單調(diào)(dndio)增設(shè))(),(bFMaFm 則 badxxfMm)(, 0 babaMdxxfdxxfm)()(210由介值定理(dngl)得 badxxfFba)(21)(, 使使即 baadxxfdxxf)(21)( babbaadxxfdxxfdxxfdxxf)(21)()()( 證第第24頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第23頁(yè)/共39頁(yè)第二十四頁(yè)，共39頁(yè)。 10)(,

17、1 , 0)(Adxxfxf上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè) 101)()(xdyyfxfdx計(jì)算計(jì)算解 101)()(xdxdyyfxfI xxdttfddyyf0101)()(dxxfdttfdttfdyyfxxx)()()()(1001010 xxdttfddttfdxxfdttf01001010)()()()(2)(212210Adttf 例12第第25頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第24頁(yè)/共39頁(yè)第二十五頁(yè)，共39頁(yè)。例例13 設(shè)設(shè) f ( x ) 在在 0 , 1 上連續(xù)上連續(xù)(linx)，且單調(diào)不增，且單調(diào)不增證明證明(zhngmng) 對(duì)任何對(duì)任何有有 1 , 0 010)()(dxxfdxxf證一

18、證一 1 , 0 1001)()()( dxxfdxxfdxxf由積分由積分(jfn)中值定理中值定理 1010)()(fdxxf1)1)()(212 fdxxf再由再由f ( x )單調(diào)不增單調(diào)不增得得及及21 第第26頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第25頁(yè)/共39頁(yè)第二十六頁(yè)，共39頁(yè)。)()(21 ff 1001)()()( dxxfdxxfdxxf)1)()(21 ff)1)()(11 ff)(1 f 0101)()()(dxxffdxxf證二證二 010)()(1)(dxxfdxxfF記記則則F(1)=020)()()( dxxffF再由再由f ( x )單調(diào)單調(diào)(dndio)不增不增第第27頁(yè)

19、頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第26頁(yè)/共39頁(yè)第二十七頁(yè)，共39頁(yè)。 00)()()(fdxfdxxf0)( F單調(diào)減單調(diào)減得得)( F0)1()( FF 100)()( dxxfdxxf即即證三證三 010)()(dxxfdxxf 001)()()(dxxfdxxfdxxf 01)()()1(dxxfdxxf0)()1()()1( ff證四證四tx 令令 010)()(dttfdxxf第第28頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第27頁(yè)/共39頁(yè)第二十八頁(yè)，共39頁(yè)。 10)( dttf )()(tftf 證五證五由由f ( x )單調(diào)單調(diào)(dndio)不增不增)1 ( )()(1 fdxxf 1)(11)( dxxff

20、 10)(1)()( dxxffdxxfdxxfdxxf 01)()()1( 001)()()(dxxfdxxfdxxfdxxf 10)( 第第29頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第28頁(yè)/共39頁(yè)第二十九頁(yè)，共39頁(yè)。例例14 計(jì)算計(jì)算(j sun) 0sin xdxxJmm解一解一 01sinsinxdxxxJmm 01)(cossinxdxxm 0101sincoscossindxxxxxxxmm= 0dxxxxmxxmmcossin) 1(sincos201 0220)sin1 (sin) 1(sin1dxxxxmxmmm= 0第第30頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第29頁(yè)/共39頁(yè)第三十頁(yè)，共39頁(yè)。 002

21、sin) 1(sin) 1(xdxxmdxxxmmm21 mmJmmJ 0202xdxJ 01sinxdxxJ 奇奇數(shù)數(shù)偶偶數(shù)數(shù)mmmmmmJm 531) 1(6422642) 1(5312第第31頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第30頁(yè)/共39頁(yè)第三十一頁(yè)，共39頁(yè)。解二解二由定積分換元法知由定積分換元法知 00)(sin2)(sindxxfdxxxfmmIJ2 21 mmImmI210 II 奇奇數(shù)數(shù)偶偶數(shù)數(shù)mmmmmmJm 531) 1(6422642) 1(5312第第32頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第31頁(yè)/共39頁(yè)第三十二頁(yè)，共39頁(yè)。例例15 為滿足為滿足設(shè)設(shè)naaa10,的實(shí)常數(shù)的實(shí)常數(shù)01210 n

22、aaan證明證明(zhngmng) 方程方程010 nnxaxaa在在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少內(nèi)至少(zhsho)有一根有一根證證 xnndttataaxF010)()(記記則則 F(x) 在在 0,1 上連續(xù)上連續(xù)(linx)，在，在 (0,1) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)0)0( F 1010)() 1 (dttataaFnn01210 naaan第第33頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第32頁(yè)/共39頁(yè)第三十三頁(yè)，共39頁(yè)。由由 Rolle 定理定理(dngl)0)()1 , 0( F使使nnxaxaaxF 10)(而而010 nnxaxaa故故方方程程在在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少內(nèi)至少(zhsho)有一根

23、有一根例例16 已知周期已知周期(zhuq)為為L(zhǎng)的函數(shù)在的函數(shù)在2,2LL 上是連續(xù)的奇函數(shù)，證明上是連續(xù)的奇函數(shù)，證明 xadttf)(也是以也是以L為周期的函數(shù)為周期的函數(shù)證一證一 xadttfxF)()(記記)()()(xGdttfLxFLxa 第第34頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第33頁(yè)/共39頁(yè)第三十四頁(yè)，共39頁(yè)。)()(xfxF )()()(xfLxfxG CxFxG )()(CxFLxF )()(得得令令2Lx 22)()()2()2(LaLadttfdttfLFLFC 220)(LLdttf)()(xFLxF 對(duì)稱(duchn)區(qū)間上奇函數(shù)的積分第第35頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第34頁(yè)/共39頁(yè)第三十五頁(yè)，共39頁(yè)。證二證二dttfxFLxFLxx )()()( LxLLLLx2222 xLLxLduufLutdttf22)()()(令令 220)()()(LLdttfxFLxF)()(xFLxF 即即第第36頁(yè)頁(yè)/共共39頁(yè)頁(yè)第35頁(yè)/共39頁(yè)第三十六頁(yè)，共39頁(yè)。例例18 設(shè)設(shè) f ( x ) , g ( x ) 在在 a , b