創(chuàng)新推動(dòng)課程改革全面提高教育質(zhì)量

1、創(chuàng)新推動(dòng)課程改革創(chuàng)新推動(dòng)課程改革全面提高教育全面提高教育質(zhì)量質(zhì)量一、一、課改的背景和面臨的任務(wù)課改的背景和面臨的任務(wù) 教教育育改改革革是是社會(huì)發(fā)展改革整體中的有機(jī)組社會(huì)發(fā)展改革整體中的有機(jī)組成部分成部分，以，以國家社會(huì)發(fā)展改革為背景，要國家社會(huì)發(fā)展改革為背景，要結(jié)合國家社會(huì)發(fā)展與改革的需要來思考結(jié)合國家社會(huì)發(fā)展與改革的需要來思考。 國家治理最根本的著眼點(diǎn)是深化綜合改革，國家治理最根本的著眼點(diǎn)是深化綜合改革，理順各方面的關(guān)系理順各方面的關(guān)系。教育。教育改革也要抓住改革也要抓住“深化深化”、“綜合綜合”的要求而持續(xù)推進(jìn)。的要求而持續(xù)推進(jìn)。五中全會(huì)精神五中全會(huì)精神 十八屆五中全會(huì)公報(bào)中，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新、協(xié)

2、調(diào)、十八屆五中全會(huì)公報(bào)中，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開放、共享的發(fā)展理念綠色、開放、共享的發(fā)展理念。 堅(jiān)持創(chuàng)新發(fā)展，必須把創(chuàng)新擺在國家發(fā)展堅(jiān)持創(chuàng)新發(fā)展，必須把創(chuàng)新擺在國家發(fā)展全局的核心位置，不斷推進(jìn)理論創(chuàng)新、制全局的核心位置，不斷推進(jìn)理論創(chuàng)新、制度創(chuàng)新、科技創(chuàng)新、文化創(chuàng)新等各方面創(chuàng)度創(chuàng)新、科技創(chuàng)新、文化創(chuàng)新等各方面創(chuàng)新，讓創(chuàng)新貫穿黨和國家一切工作，讓創(chuàng)新，讓創(chuàng)新貫穿黨和國家一切工作，讓創(chuàng)新在全社會(huì)蔚然成風(fēng)。新在全社會(huì)蔚然成風(fēng)。 推動(dòng)物質(zhì)文明和精神文明協(xié)調(diào)發(fā)展，加快推動(dòng)物質(zhì)文明和精神文明協(xié)調(diào)發(fā)展，加快文化改革發(fā)展，加強(qiáng)社會(huì)主義精神文明建文化改革發(fā)展，加強(qiáng)社會(huì)主義精神文明建設(shè)，建設(shè)社會(huì)主義文化強(qiáng)國，加

3、強(qiáng)思想道設(shè)，建設(shè)社會(huì)主義文化強(qiáng)國，加強(qiáng)思想道德建設(shè)和社會(huì)誠信建設(shè)，增強(qiáng)國家意識(shí)、德建設(shè)和社會(huì)誠信建設(shè)，增強(qiáng)國家意識(shí)、法治意識(shí)、社會(huì)責(zé)任意識(shí)，倡導(dǎo)科學(xué)精神，法治意識(shí)、社會(huì)責(zé)任意識(shí)，倡導(dǎo)科學(xué)精神，弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)美德弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)美德。 開放發(fā)展，提高教育質(zhì)量，推動(dòng)義務(wù)教育開放發(fā)展，提高教育質(zhì)量，推動(dòng)義務(wù)教育均衡發(fā)展，普及高中階段教育，逐步分類均衡發(fā)展，普及高中階段教育，逐步分類推進(jìn)中等職業(yè)教育免除學(xué)雜費(fèi)，率先從建推進(jìn)中等職業(yè)教育免除學(xué)雜費(fèi)，率先從建檔立卡的家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生實(shí)施普通高中檔立卡的家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生實(shí)施普通高中免除學(xué)雜費(fèi)，實(shí)現(xiàn)家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生資助免除學(xué)雜費(fèi)，實(shí)現(xiàn)家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生資助全覆蓋。全覆

4、蓋。提高教育質(zhì)量提高教育質(zhì)量 “全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹人全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，加強(qiáng)社會(huì)主義核心價(jià)值觀教育，根本任務(wù)，加強(qiáng)社會(huì)主義核心價(jià)值觀教育，培養(yǎng)德智體美全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者培養(yǎng)德智體美全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人。深化教育改革，把增強(qiáng)學(xué)生社和接班人。深化教育改革，把增強(qiáng)學(xué)生社會(huì)責(zé)任感、創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力作為重點(diǎn)會(huì)責(zé)任感、創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力作為重點(diǎn)任務(wù)貫徹到國民教育全過程。任務(wù)貫徹到國民教育全過程?！?“推動(dòng)義務(wù)教育均衡發(fā)展，全面提高教育推動(dòng)義務(wù)教育均衡發(fā)展，全面提高教育教學(xué)質(zhì)量教學(xué)質(zhì)量?！?我國教育的規(guī)模問題已經(jīng)解決。我國教育的規(guī)模問題已經(jīng)解決。20

5、10年教年教育發(fā)展與改革的中長(zhǎng)期規(guī)劃綱要中提出，育發(fā)展與改革的中長(zhǎng)期規(guī)劃綱要中提出，我國教育面臨的主要任務(wù)是解決內(nèi)涵質(zhì)量我國教育面臨的主要任務(wù)是解決內(nèi)涵質(zhì)量的問題，解決育人模式改革的問題。這就的問題，解決育人模式改革的問題。這就需要在已有課改的基礎(chǔ)上深化改革，而我需要在已有課改的基礎(chǔ)上深化改革，而我們面臨的問題錯(cuò)綜復(fù)雜，許多都是兩難問們面臨的問題錯(cuò)綜復(fù)雜，許多都是兩難問題，因此改革具有綜合性，需要整體考慮題，因此改革具有綜合性，需要整體考慮。二、二、數(shù)學(xué)課改的主要任務(wù)數(shù)學(xué)課改的主要任務(wù) 十八大提出的十八大提出的“教育的根本任務(wù)在于立德教育的根本任務(wù)在于立德樹人樹人”就是整個(gè)教育改革的核心任務(wù)就

6、是整個(gè)教育改革的核心任務(wù)。 如何如何把這個(gè)要求把這個(gè)要求在在數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)教育中中落實(shí)下來落實(shí)下來，在在教學(xué)中體現(xiàn)教學(xué)中體現(xiàn)出來出來，在課堂中，在課堂中實(shí)施下去實(shí)施下去？ 要要把把“立德樹人立德樹人”的要求具體化，體現(xiàn)在的要求具體化，體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程中，轉(zhuǎn)化為一種可操教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程中，轉(zhuǎn)化為一種可操作的行動(dòng)，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)育人的作的行動(dòng)，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)育人的具體具體措施措施。 從教育部的頂層設(shè)計(jì)看，數(shù)學(xué)學(xué)科的從教育部的頂層設(shè)計(jì)看，數(shù)學(xué)學(xué)科的“立德樹立德樹人人”目標(biāo)，首先體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)目標(biāo)，首先體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)上上。 義教課標(biāo)中義教課標(biāo)中提出提出了了八八個(gè)個(gè)“核心概念核心概念

7、”：數(shù)感、：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想；思想； 高中高中課標(biāo)修訂組進(jìn)一步提煉了六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核課標(biāo)修訂組進(jìn)一步提煉了六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。 數(shù)學(xué)課改的數(shù)學(xué)課改的核心核心任務(wù)任務(wù)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，心素養(yǎng)，要有具體措施要有具體措施，要要把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育落實(shí)在養(yǎng)的培育落實(shí)在數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)。

8、各個(gè)環(huán)節(jié)。三、三、提升提升學(xué)生核心學(xué)生核心素養(yǎng)的思考點(diǎn)素養(yǎng)的思考點(diǎn) “學(xué)科育人學(xué)科育人”要依靠學(xué)科的內(nèi)在力量要依靠學(xué)科的內(nèi)在力量。 “數(shù)學(xué)育人數(shù)學(xué)育人”要在數(shù)學(xué)內(nèi)部挖掘育人資源，要在數(shù)學(xué)內(nèi)部挖掘育人資源，并使它們?cè)跀?shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)中發(fā)揮作并使它們?cè)跀?shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)中發(fā)揮作用用。 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的、別的學(xué)科不能替代的育學(xué)科獨(dú)特的、別的學(xué)科不能替代的育人功能到底在人功能到底在哪里哪里？ 數(shù)學(xué)是思維數(shù)學(xué)是思維的的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維是至關(guān)重?cái)?shù)學(xué)對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維是至關(guān)重要的。要的。 數(shù)學(xué)學(xué)科育人的獨(dú)特功能，主要在培養(yǎng)學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的獨(dú)特功能

9、，主要在培養(yǎng)學(xué)生的思維特別是邏輯思維上，要使學(xué)生學(xué)生的思維特別是邏輯思維上，要使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，特別是學(xué)會(huì)會(huì)思考，特別是學(xué)會(huì)“有邏輯地思考有邏輯地思考”，使生成為善于認(rèn)識(shí)問題、使生成為善于認(rèn)識(shí)問題、善于善于解決問題的解決問題的人才。人才。 從從數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得數(shù)學(xué)對(duì)象的研究數(shù)學(xué)對(duì)象的研究數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用這三個(gè)方面（階段），數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用這三個(gè)方面（階段），從數(shù)學(xué)從數(shù)學(xué)思維的思維的角度角度全面、綜合地思考全面、綜合地思考核心核心素養(yǎng)培育素養(yǎng)培育點(diǎn)。點(diǎn)。具體如何做？具體如何做？ 數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得，要注重?cái)?shù)學(xué)對(duì)象的獲得，要注重?cái)?shù)學(xué)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間與現(xiàn)實(shí)之間的的聯(lián)系聯(lián)系，也要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后一致

10、、邏輯連貫性，從這也要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后一致、邏輯連貫性，從這兩個(gè)方面發(fā)現(xiàn)和提出問題，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想兩個(gè)方面發(fā)現(xiàn)和提出問題，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng)；象等素養(yǎng)； 對(duì)對(duì)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)象的對(duì)象的研究研究，要注重通過數(shù)學(xué)的推理、論證，要注重通過數(shù)學(xué)的推理、論證獲得結(jié)論（定理、性質(zhì)等）的過程，提升推理、運(yùn)獲得結(jié)論（定理、性質(zhì)等）的過程，提升推理、運(yùn)算等素養(yǎng)；算等素養(yǎng)； 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，要注重利用數(shù)學(xué)概念原理要注重利用數(shù)學(xué)概念原理分析實(shí)際問題分析實(shí)際問題，體現(xiàn)建模的全過程體現(xiàn)建模的全過程，學(xué)會(huì)分析數(shù)據(jù)學(xué)會(huì)分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中挖掘信息等從數(shù)據(jù)中挖掘信息等。 在知識(shí)學(xué)習(xí)的不同在

11、知識(shí)學(xué)習(xí)的不同階段階段，突出，突出培育培育和提升核心素養(yǎng)和提升核心素養(yǎng)的重點(diǎn)的重點(diǎn)?！皟蓚€(gè)過程兩個(gè)過程”的合理性的合理性 從數(shù)學(xué)從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學(xué)生知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加強(qiáng)思考，這是落實(shí)思維過程的合理性上加強(qiáng)思考，這是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)。 前前一個(gè)的核心是數(shù)學(xué)的學(xué)科思想問題，后一個(gè)的核心是數(shù)學(xué)的學(xué)科思想問題，后一個(gè)是學(xué)生的思維規(guī)律、認(rèn)知特點(diǎn)問題一個(gè)是學(xué)生的思維規(guī)律、認(rèn)知特點(diǎn)問題。四四、教師專業(yè)發(fā)展的三大基石、教師專業(yè)發(fā)展的三大基石理解數(shù)學(xué)理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解學(xué)生理解教學(xué)理解教學(xué) 特別是，特別是，“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想

12、方法內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解水平?jīng)Q定了理解數(shù)學(xué)的高度，同時(shí)的理解水平?jīng)Q定了理解數(shù)學(xué)的高度，同時(shí)也決定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。也決定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。五五、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn) 知識(shí)的意蘊(yùn)就是知識(shí)所蘊(yùn)含的理性內(nèi)涵，包括知識(shí)的意蘊(yùn)就是知識(shí)所蘊(yùn)含的理性內(nèi)涵，包括知識(shí)的價(jià)值、知識(shí)的精神、知識(shí)的情感等，它知識(shí)的價(jià)值、知識(shí)的精神、知識(shí)的情感等，它是知識(shí)的精義和主旨所在。是知識(shí)的精義和主旨所在。 數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)與數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、美育價(jià)值數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)與數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、美育價(jià)值有著天然聯(lián)系。有著天然聯(lián)系。 只有只有感知和領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)，才能理解感知和領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)

13、的意蘊(yùn)，才能理解數(shù)學(xué)的基本思想，才能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的奧秘，數(shù)學(xué)的基本思想，才能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的奧秘，才能把握數(shù)學(xué)的基本方法。所以，理解數(shù)學(xué)知才能把握數(shù)學(xué)的基本方法。所以，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的前提識(shí)的意蘊(yùn)是形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的前提。 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是啟動(dòng)、維持與深化認(rèn)識(shí)活動(dòng)知識(shí)的意蘊(yùn)是啟動(dòng)、維持與深化認(rèn)識(shí)活動(dòng)的原動(dòng)力，是推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在根本力的原動(dòng)力，是推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在根本力量。所以，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，使學(xué)生感悟量。所以，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題和數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題和解決問題能力的根基所在解決問

14、題能力的根基所在。 從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā)從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā), ,應(yīng)緊緊圍繞應(yīng)緊緊圍繞“數(shù)量關(guān)數(shù)量關(guān)系系”、“空間形式空間形式”、“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”和和“公理化思想公理化思想”這四條主線這四條主線, ,讓讓學(xué)生學(xué)生有機(jī)會(huì)有機(jī)會(huì)體會(huì)和認(rèn)識(shí)一些數(shù)學(xué)本源性問題，例如引體會(huì)和認(rèn)識(shí)一些數(shù)學(xué)本源性問題，例如引發(fā)某個(gè)數(shù)學(xué)分支創(chuàng)立的基本問題發(fā)某個(gè)數(shù)學(xué)分支創(chuàng)立的基本問題, ,創(chuàng)立過程創(chuàng)立過程中出現(xiàn)的瓶頸和突破的關(guān)鍵思想中出現(xiàn)的瓶頸和突破的關(guān)鍵思想, ,以及從定以及從定性到精確定量的基本過程等。性到精確定量的基本過程等。 數(shù)學(xué)對(duì)象是怎么抽象出來的；有哪些問題數(shù)學(xué)對(duì)象是怎么抽象出來的；有哪些問題值得研究，如何構(gòu)建研究

15、路徑，如何得到值得研究，如何構(gòu)建研究路徑，如何得到研究方法；如何用已有知識(shí)去解決問題，研究方法；如何用已有知識(shí)去解決問題，發(fā)展新知識(shí)；等等。發(fā)展新知識(shí)；等等。例例 幾個(gè)幾個(gè)“簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單”概念的理解概念的理解 “位置位置”是宇宙空間的最基本要素，位置是宇宙空間的最基本要素，位置用用“點(diǎn)點(diǎn)”表示；表示； 直線段是連接兩點(diǎn)的最短通路，兩個(gè)點(diǎn)的直線段是連接兩點(diǎn)的最短通路，兩個(gè)點(diǎn)的位置差異用有向線段的長(zhǎng)度表示；位置差異用有向線段的長(zhǎng)度表示； 兩個(gè)兩個(gè)“方向方向”的差異用角度表示；的差異用角度表示； 直線的直線的“直直”用點(diǎn)與直線之間的位置關(guān)系用點(diǎn)與直線之間的位置關(guān)系刻畫；刻畫； 平面的平面的“平平”用點(diǎn)、

16、直線、平面之間的位用點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系來刻畫。置關(guān)系來刻畫。理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界 知其然知其然 知其所以然知其所以然 何由以知其所以然何由以知其所以然 啟發(fā)啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道耳！學(xué)生，示以思維之道耳！六六、數(shù)學(xué)思維再認(rèn)識(shí)、數(shù)學(xué)思維再認(rèn)識(shí) 思維是指理性認(rèn)識(shí)，或指理性認(rèn)識(shí)的過程，思維是指理性認(rèn)識(shí)，或指理性認(rèn)識(shí)的過程，它是人腦對(duì)客觀事物能動(dòng)的、間接的和概它是人腦對(duì)客觀事物能動(dòng)的、間接的和概括的反映，包括邏輯思維和形象思維，但括的反映，包括邏輯思維和形象思維，但通常是指邏輯思維。通常是指邏輯思維。 思維的工具是語言；思維的工具是語言； 思維的形式是概念、判斷、推理

17、等；思維的形式是概念、判斷、推理等； 思維的方法是抽象、歸納、演繹、分析和思維的方法是抽象、歸納、演繹、分析和綜合等。綜合等。一個(gè)結(jié)構(gòu)一個(gè)結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物的的基本結(jié)構(gòu)：定義概念基本結(jié)構(gòu)：定義概念推導(dǎo)性質(zhì)推導(dǎo)性質(zhì)建立聯(lián)系建立聯(lián)系實(shí)踐應(yīng)用。實(shí)踐應(yīng)用。 先從數(shù)、形的角度抽象事物的本質(zhì)屬性，先從數(shù)、形的角度抽象事物的本質(zhì)屬性，定義概念從而明確數(shù)學(xué)對(duì)象；探索對(duì)象的定義概念從而明確數(shù)學(xué)對(duì)象；探索對(duì)象的要素與要素、要素與環(huán)境等之間的關(guān)系和要素與要素、要素與環(huán)境等之間的關(guān)系和相互作用而獲得性質(zhì)；建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)相互作用而獲得性質(zhì)；建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系而形成知識(shí)體系；應(yīng)用所得知識(shí)解決數(shù)系而形成知

18、識(shí)體系；應(yīng)用所得知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題，并深化認(rèn)識(shí)、拓展新知。學(xué)內(nèi)外的問題，并深化認(rèn)識(shí)、拓展新知。這是一個(gè)螺旋上升、逐漸深入的過程。這是一個(gè)螺旋上升、逐漸深入的過程。兩個(gè)方向（方面）兩個(gè)方向（方面） 數(shù)學(xué)思維有兩個(gè)相輔相成的方向或方面數(shù)學(xué)思維有兩個(gè)相輔相成的方向或方面歸歸納和演繹。在對(duì)某一數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)ο蟮奶剿髡J(rèn)納和演繹。在對(duì)某一數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)ο蟮奶剿髡J(rèn)知過程中，一方面要從具體事例的實(shí)驗(yàn)、分析知過程中，一方面要從具體事例的實(shí)驗(yàn)、分析中歸納其本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)猜想、命題等；另一中歸納其本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)猜想、命題等；另一方面又要用邏輯推理、數(shù)理分析去研討業(yè)已認(rèn)方面又要用邏輯推理、數(shù)理分析去研討業(yè)已認(rèn)知的本質(zhì)

19、，證明猜想，發(fā)現(xiàn)新的性質(zhì)，認(rèn)知相知的本質(zhì)，證明猜想，發(fā)現(xiàn)新的性質(zhì)，認(rèn)知相關(guān)概念的聯(lián)系性和一致性，直至形成不同學(xué)科關(guān)概念的聯(lián)系性和一致性，直至形成不同學(xué)科統(tǒng)一性的認(rèn)知。數(shù)學(xué)思維中，歸納和演繹的配統(tǒng)一性的認(rèn)知。數(shù)學(xué)思維中，歸納和演繹的配合，往往能相互為用、相得益彰，產(chǎn)生意想不合，往往能相互為用、相得益彰，產(chǎn)生意想不到的效果。到的效果。三種語言三種語言 數(shù)學(xué)思維的工具數(shù)學(xué)思維的工具：符號(hào)語言、圖形語言和符號(hào)語言、圖形語言和普通文字語言。普通文字語言。 數(shù)學(xué)有自己的符號(hào)體系和表達(dá)方式，它使數(shù)學(xué)有自己的符號(hào)體系和表達(dá)方式，它使人們能方便、簡(jiǎn)捷地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和成果。人們能方便、簡(jiǎn)捷地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和成果。數(shù)

20、學(xué)符號(hào)是內(nèi)涵豐富的數(shù)學(xué)符號(hào)是內(nèi)涵豐富的“信息塊信息塊”，因而，因而成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的理想載體。另外，數(shù)成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的理想載體。另外，數(shù)學(xué)符號(hào)語言能縮短數(shù)學(xué)思維過程，使之變學(xué)符號(hào)語言能縮短數(shù)學(xué)思維過程，使之變得簡(jiǎn)約、精練。得簡(jiǎn)約、精練。四種形式四種形式 數(shù)學(xué)思維的基本形式數(shù)學(xué)思維的基本形式：邏輯推理邏輯推理代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算幾何直觀幾何直觀數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合邏輯推理邏輯推理 邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是從一邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是從一些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、定理出發(fā)，依據(jù)邏輯些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、定理出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出結(jié)論的思維過程。規(guī)則推出結(jié)論的思維過程。 認(rèn)識(shí)問題的要點(diǎn)在于把認(rèn)識(shí)問題的

21、要點(diǎn)在于把握握好本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問好本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問題；解決問題的任務(wù)是運(yùn)用題；解決問題的任務(wù)是運(yùn)用“已知已知”之性之性質(zhì)去推論質(zhì)去推論“待知待知”之性質(zhì)。概括言之，乃之性質(zhì)。概括言之，乃是在性質(zhì)層面的一種以簡(jiǎn)馭繁。而邏輯推是在性質(zhì)層面的一種以簡(jiǎn)馭繁。而邏輯推理就是這種以簡(jiǎn)馭繁的實(shí)踐與步驟。理就是這種以簡(jiǎn)馭繁的實(shí)踐與步驟。代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算 “代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算”，有效有，有效有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律去解決問題是代數(shù)學(xué)的系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律去解決問題是代數(shù)學(xué)的基本思想；基本思想； 數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的模范，與它數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的模范，與它類比而發(fā)現(xiàn)需研究的問題和方法，是基

22、本類比而發(fā)現(xiàn)需研究的問題和方法，是基本而重要的數(shù)學(xué)思維方式；而重要的數(shù)學(xué)思維方式； 代數(shù)運(yùn)算的過程和方法可以容易地發(fā)展成代數(shù)運(yùn)算的過程和方法可以容易地發(fā)展成高層次函數(shù)觀點(diǎn)。高層次函數(shù)觀點(diǎn)。幾何直觀幾何直觀 幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲得幾何圖形，用圖形描述事物的結(jié)構(gòu)特征，得幾何圖形，用圖形描述事物的結(jié)構(gòu)特征，用點(diǎn)線面體的關(guān)系探索事物的關(guān)系，乃至用點(diǎn)線面體的關(guān)系探索事物的關(guān)系，乃至用圖形及其關(guān)系認(rèn)知、表達(dá)事物的本質(zhì)和用圖形及其關(guān)系認(rèn)知、表達(dá)事物的本質(zhì)和關(guān)系，幾何直觀是展開邏輯推理的思維基關(guān)系，幾何直觀是展開邏輯推理的思維基礎(chǔ)。礎(chǔ)。數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合 用幾

23、何圖形表示數(shù)量關(guān)系用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系； 把幾何中的定性結(jié)果轉(zhuǎn)化為可運(yùn)算的定量把幾何中的定性結(jié)果轉(zhuǎn)化為可運(yùn)算的定量結(jié)果結(jié)果； 這是數(shù)學(xué)思維的變通、靈活性的表現(xiàn)，這是數(shù)學(xué)思維的變通、靈活性的表現(xiàn)，也也是數(shù)學(xué)發(fā)展的有力手段，是數(shù)學(xué)發(fā)展的有力手段，坐標(biāo)法、函數(shù)與坐標(biāo)法、函數(shù)與圖像（曲線）、三角函數(shù)與圓、向量法與圖像（曲線）、三角函數(shù)與圓、向量法與幾何等都是數(shù)形結(jié)合的思維產(chǎn)物。幾何等都是數(shù)形結(jié)合的思維產(chǎn)物。N N種因地制宜的具體思維方法種因地制宜的具體思維方法 針對(duì)具體數(shù)學(xué)問題的思維方法針對(duì)具體數(shù)學(xué)問題的思維方法：代入法、：代入法、消元法、換元法、配方法、割補(bǔ)法、待定消元法、換元法、配方法、割補(bǔ)法、

24、待定系數(shù)法、構(gòu)造法、面積法、體積法系數(shù)法、構(gòu)造法、面積法、體積法； 綜合法與分析法、順證法與反證法，數(shù)學(xué)綜合法與分析法、順證法與反證法，數(shù)學(xué)歸納法歸納法是常用的思維方法。是常用的思維方法。數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)思維一個(gè)結(jié)構(gòu)一個(gè)結(jié)構(gòu)，兩個(gè)方向兩個(gè)方向，三種語言三種語言，四種形式四種形式 演化出演化出千變?nèi)f化千變?nèi)f化、賞心悅目、賞心悅目的思維方法。的思維方法。 數(shù)學(xué)思維是人類智慧的最精彩綻放。數(shù)學(xué)思維是人類智慧的最精彩綻放。 好比好比一棵參天大樹，一棵參天大樹，“一個(gè)結(jié)構(gòu)，兩個(gè)方一個(gè)結(jié)構(gòu)，兩個(gè)方向，三種語言，四種形式向，三種語言，四種形式”是根和主干，是根和主干，千變?nèi)f化的具體方法則是其枝和葉。千變?nèi)f化的具

25、體方法則是其枝和葉。 當(dāng)前當(dāng)前課堂教學(xué)中的普遍問題是，把注意力課堂教學(xué)中的普遍問題是，把注意力集中到了集中到了“枝繁葉茂枝繁葉茂”的追求，而忘卻了的追求，而忘卻了“根和主干根和主干”的重要性。的重要性。七七、發(fā)揮一般觀念的引領(lǐng)作用、發(fā)揮一般觀念的引領(lǐng)作用 數(shù)學(xué)教學(xué)的高立意。數(shù)學(xué)教學(xué)的高立意。 使使學(xué)生明白數(shù)學(xué)思維之道的關(guān)鍵點(diǎn)。學(xué)生明白數(shù)學(xué)思維之道的關(guān)鍵點(diǎn)。幾何幾何教材教材呈現(xiàn)呈現(xiàn)的的“研究之道研究之道” 一般一般按按“背景（實(shí)際背景、數(shù)學(xué)背景）背景（實(shí)際背景、數(shù)學(xué)背景）定義（內(nèi)含、表示）定義（內(nèi)含、表示）分類（以要素分類（以要素為標(biāo)準(zhǔn)）為標(biāo)準(zhǔn)）性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互

26、關(guān)系）互關(guān)系）特例（性質(zhì)和判定）特例（性質(zhì)和判定）聯(lián)聯(lián)系（應(yīng)用）系（應(yīng)用）”的邏輯的邏輯展開展開，在定性研究的，在定性研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行定量研究基礎(chǔ)上進(jìn)行定量研究。這個(gè)系統(tǒng)具有一般這個(gè)系統(tǒng)具有一般意義，是科學(xué)研究的意義，是科學(xué)研究的“基本之道基本之道”。教師。教師以此為基本依據(jù)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，并讓學(xué)生以此為基本依據(jù)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，并讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷這個(gè)邏輯過程，是反復(fù)經(jīng)歷這個(gè)邏輯過程，是“使學(xué)生學(xué)會(huì)使學(xué)生學(xué)會(huì)思考思考”的關(guān)鍵之一。的關(guān)鍵之一。如何如何激發(fā)激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考學(xué)生獨(dú)立思考 有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的的兩兩個(gè)基本條件：一是好的個(gè)基本條件：一是好的學(xué)習(xí)素材，二是有效的研究思路和方法。學(xué)習(xí)素材，二

27、是有效的研究思路和方法。為學(xué)生提供典型而豐富的學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)為學(xué)生提供典型而豐富的學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生展開獨(dú)立思考，并在思考的方向和思想生展開獨(dú)立思考，并在思考的方向和思想方法上作適當(dāng)引導(dǎo)，是方法上作適當(dāng)引導(dǎo)，是“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考使學(xué)生學(xué)會(huì)思考”的又一關(guān)鍵。的又一關(guān)鍵。平面幾何的研究思路和方法平面幾何的研究思路和方法 平面圖形中，三角形是最簡(jiǎn)單的平面圖形中，三角形是最簡(jiǎn)單的，圓，圓是最完美是最完美的（主要表現(xiàn)在對(duì)稱性上）。于是，平面幾何的（主要表現(xiàn)在對(duì)稱性上）。于是，平面幾何中研究三角形、圓的基本性質(zhì)有奠基作用中研究三角形、圓的基本性質(zhì)有奠基作用。三三角形是最基本的。角形是最基本的。 得到得到三角形

28、的性質(zhì)是一方面，更重要的是得到三角形的性質(zhì)是一方面，更重要的是得到了研究幾何圖形的一個(gè)典范了研究幾何圖形的一個(gè)典范研究研究其他其他幾何幾何對(duì)象都對(duì)象都可以循著這樣的思路展開，同時(shí)還得到可以循著這樣的思路展開，同時(shí)還得到了一個(gè)了一個(gè)“工具工具”，因?yàn)槲覀兺萌切蔚?，因?yàn)槲覀兺萌切蔚男再|(zhì)去分析其他幾何圖形的性質(zhì)。性質(zhì)去分析其他幾何圖形的性質(zhì)。三角形性質(zhì)的研究思路和三角形性質(zhì)的研究思路和方法方法 以以三角形三角形的的要素（三條邊、三個(gè)內(nèi)角）、要素（三條邊、三個(gè)內(nèi)角）、相關(guān)要素（高、中線、角平分線、外角等）相關(guān)要素（高、中線、角平分線、外角等）以及幾何量（邊長(zhǎng)、角度、面積等）之間以及幾何

29、量（邊長(zhǎng)、角度、面積等）之間的相互關(guān)系為基本問題，從的相互關(guān)系為基本問題，從“形狀、大小形狀、大小和位置關(guān)系和位置關(guān)系”等角度展開研究。顯然，這等角度展開研究。顯然，這是一般觀念指導(dǎo)下的研究是一般觀念指導(dǎo)下的研究。 思考一思考一 幾何圖形的性質(zhì)指什么？幾何圖形的性質(zhì)指什么？ 思考二思考二 你認(rèn)為可以怎樣構(gòu)建三角形性質(zhì)的你認(rèn)為可以怎樣構(gòu)建三角形性質(zhì)的研究框架？怎樣引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)三角形研究框架？怎樣引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)三角形的性質(zhì)？的性質(zhì)？ 思考三思考三 類比三角形的研究思路和方法，你類比三角形的研究思路和方法，你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立構(gòu)建四邊形的認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立構(gòu)建四邊形的研究路徑，得到

30、平行四邊形的有關(guān)結(jié)論？研究路徑，得到平行四邊形的有關(guān)結(jié)論？ 思考思考四四 圓又該如何研究？圓又該如何研究？ “性質(zhì)就是一類事物共有的特性性質(zhì)就是一類事物共有的特性”之類的之類的說法過于宏觀，在具體思考中沒有可操作說法過于宏觀，在具體思考中沒有可操作性，需要針對(duì)具體內(nèi)容進(jìn)行歸納。例如：性，需要針對(duì)具體內(nèi)容進(jìn)行歸納。例如： 運(yùn)算中的不變性（規(guī)律性）就是性質(zhì)運(yùn)算中的不變性（規(guī)律性）就是性質(zhì)研究代數(shù)性質(zhì)，研究代數(shù)性質(zhì)，“算算看算算看”是基本方法；是基本方法； 變化中的不變性（規(guī)律性）就是性質(zhì)變化中的不變性（規(guī)律性）就是性質(zhì)研究函數(shù)的性質(zhì)，在運(yùn)動(dòng)變化中進(jìn)行觀察研究函數(shù)的性質(zhì)，在運(yùn)動(dòng)變化中進(jìn)行觀察是基本方

31、法；是基本方法； 要素和要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)要素和要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)觀察幾何圖形的構(gòu)成要素之間的相互關(guān)系觀察幾何圖形的構(gòu)成要素之間的相互關(guān)系（位置（位置關(guān)系、大小關(guān)系等）是研究幾何性關(guān)系、大小關(guān)系等）是研究幾何性質(zhì)的基本方法質(zhì)的基本方法； 思考五：如何提出思考五：如何提出“解三角形解三角形”的課題的課題 首先，從定性到定量，提出研究課題首先，從定性到定量，提出研究課題。由。由S.A.S.，A.S.A.，S.S.S.可知，三角形的形狀、可知，三角形的形狀、大小已經(jīng)由這三組要素分別唯一確定。這大小已經(jīng)由這三組要素分別唯一確定。這是定性的結(jié)論是定性的結(jié)論。 數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)研究往往是先做定

32、性探究，再做定量往往是先做定性探究，再做定量分析。這是一個(gè)由表及里、逐步精確、精分析。這是一個(gè)由表及里、逐步精確、精益求精的自然進(jìn)展。益求精的自然進(jìn)展。從定量的角度看從定量的角度看，上，上述三個(gè)定理表明，三角形的任意元素可由述三個(gè)定理表明，三角形的任意元素可由這三組要素分別唯一確定。這三組要素分別唯一確定。 三角形的三邊邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的角度、面三角形的三邊邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的角度、面積、高、外徑、內(nèi)徑等等幾何量都可以用積、高、外徑、內(nèi)徑等等幾何量都可以用這三組要素分別表示。這些幾何量之間存這三組要素分別表示。這些幾何量之間存在的基本函數(shù)關(guān)系就是三角定律。那么，在的基本函數(shù)關(guān)系就是三角定律。那么，如

33、何推導(dǎo)這些基本關(guān)系如何推導(dǎo)這些基本關(guān)系？ 由由S.S.S.求求三內(nèi)角三內(nèi)角，對(duì)對(duì)RtABC，C=90，有有cosB=a/c，cosA=b/c。對(duì)銳角三角形對(duì)銳角三角形、鈍、鈍角三角形，與直角三角形聯(lián)系起來，可以角三角形，與直角三角形聯(lián)系起來，可以發(fā)現(xiàn)如下關(guān)系：發(fā)現(xiàn)如下關(guān)系： 銳角銳角ABC就是將就是將RtABC1的直角頂點(diǎn)的直角頂點(diǎn)C1沿沿BC1方向方向“外移外移”到到C；鈍角；鈍角ABC則是則是將將RtABC1的直角頂點(diǎn)的直角頂點(diǎn)C1沿沿C1B方向方向“內(nèi)內(nèi)移移”到到C。因?yàn)椤Ｒ驗(yàn)椤皟?nèi)外有別內(nèi)外有別”，因此需要分，因此需要分類討論。類討論。還可以研究哪些還可以研究哪些問題問題（1）三角形的其

34、他元素，如外徑、內(nèi)徑、高、）三角形的其他元素，如外徑、內(nèi)徑、高、中線、角平分線中線、角平分線，如何求解？，如何求解？（2）還有哪些推導(dǎo)兩個(gè)定理的方法？）還有哪些推導(dǎo)兩個(gè)定理的方法？聯(lián)聯(lián)系已有知識(shí)，給出不同證明方法，通過建立系已有知識(shí)，給出不同證明方法，通過建立知識(shí)的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，增進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，增進(jìn)數(shù)學(xué)理解。理解。 而在不同推導(dǎo)方法的探求中，一個(gè)自然的而在不同推導(dǎo)方法的探求中，一個(gè)自然的想法是：上述余弦定理的推導(dǎo)需要分類討想法是：上述余弦定理的推導(dǎo)需要分類討論，能避免嗎論，能避免嗎？方法的改進(jìn)與智慧的發(fā)展方法的改進(jìn)與智慧的發(fā)展 方法的改進(jìn)源于對(duì)已有方法的反思方法

35、的改進(jìn)源于對(duì)已有方法的反思。 分析分析引起分類的原因時(shí)，把三類三角形放在一引起分類的原因時(shí)，把三類三角形放在一起，用連續(xù)變化的觀點(diǎn)看待而發(fā)現(xiàn)借助向量可起，用連續(xù)變化的觀點(diǎn)看待而發(fā)現(xiàn)借助向量可統(tǒng)一三種情況。這里需要很好地把握向量的本統(tǒng)一三種情況。這里需要很好地把握向量的本質(zhì)，其中對(duì)質(zhì)，其中對(duì)“方向方向”的敏感性起到關(guān)鍵作用的敏感性起到關(guān)鍵作用。 F F克萊克萊因：因：“對(duì)比把長(zhǎng)度、面積、體積考慮對(duì)比把長(zhǎng)度、面積、體積考慮為絕對(duì)值的普通初等幾何學(xué)，這樣做有極大的為絕對(duì)值的普通初等幾何學(xué)，這樣做有極大的好處。初等幾何必須依照?qǐng)D形呈現(xiàn)的情況而區(qū)好處。初等幾何必須依照?qǐng)D形呈現(xiàn)的情況而區(qū)分許多情況，而現(xiàn)在

36、用幾個(gè)簡(jiǎn)單的一般定理就分許多情況，而現(xiàn)在用幾個(gè)簡(jiǎn)單的一般定理就可以概括?？梢愿爬??！毙〗Y(jié)小結(jié) 數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的思維能數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的思維能力，說到底就是要使學(xué)生在面對(duì)問題時(shí)總力，說到底就是要使學(xué)生在面對(duì)問題時(shí)總能想到辦法。注重一般觀念的思維引領(lǐng)作能想到辦法。注重一般觀念的思維引領(lǐng)作用，可以提高思維的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性，有用，可以提高思維的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性，有效克服效克服“做得到但想不到做得到但想不到”的尷尬，使數(shù)的尷尬，使數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)更具學(xué)的發(fā)現(xiàn)更具“必然性必然性”，是，是實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)育育人人目標(biāo)的重要途徑目標(biāo)的重要途徑。八八、為學(xué)生創(chuàng)造歸納的機(jī)會(huì)、為學(xué)生創(chuàng)造歸納的機(jī)會(huì)

37、 唯有還原數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程，按人類認(rèn)識(shí)事唯有還原數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程，按人類認(rèn)識(shí)事物的本來面目設(shè)計(jì)教學(xué)過程，才能真正物的本來面目設(shè)計(jì)教學(xué)過程，才能真正達(dá)成達(dá)成教教學(xué)方式的學(xué)方式的實(shí)質(zhì)性實(shí)質(zhì)性變化變化。 在學(xué)生熟悉的背景下，從具體事例中，通過在學(xué)生熟悉的背景下，從具體事例中，通過“歸納歸納演繹演繹”而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，關(guān)鍵是讓學(xué)而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，關(guān)鍵是讓學(xué)生獲得理解概念本質(zhì)所需要的親身體驗(yàn)，這種生獲得理解概念本質(zhì)所需要的親身體驗(yàn)，這種體驗(yàn)構(gòu)筑了理解抽象概念的背景和根基，也是體驗(yàn)構(gòu)筑了理解抽象概念的背景和根基，也是學(xué)生能掌控自身學(xué)習(xí)過程的必要條件。學(xué)生能掌控自身學(xué)習(xí)過程的必要條件。 當(dāng)前應(yīng)更加強(qiáng)調(diào)歸納。

38、當(dāng)前應(yīng)更加強(qiáng)調(diào)歸納。例例 函數(shù)概念的歸納過程函數(shù)概念的歸納過程 四個(gè)基本問題四個(gè)基本問題（1 1）函數(shù)的函數(shù)的現(xiàn)實(shí)現(xiàn)實(shí)背景各是什么背景各是什么？刻畫？刻畫了哪類了哪類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象？運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象？（2 2）決定這些運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的要素是什么？）決定這些運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的要素是什么？（3 3）要素之間的相互關(guān)系如何？）要素之間的相互關(guān)系如何？（4 4）可以用什么數(shù)學(xué)模型來刻畫？）可以用什么數(shù)學(xué)模型來刻畫？（1 1）是搞清楚）是搞清楚這這類變化過程的基本特征，明類變化過程的基本特征，明確此現(xiàn)象與彼現(xiàn)象的差異點(diǎn)，從而精確區(qū)別確此現(xiàn)象與彼現(xiàn)象的差異點(diǎn)，從而精確區(qū)別不同變化現(xiàn)象，是明確問題的過程；不同變化現(xiàn)象，

39、是明確問題的過程；（2 2）、（）、（3 3）是對(duì)這類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的深入）是對(duì)這類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的深入分析，從中析出常量、變量及其依賴關(guān)系，分析，從中析出常量、變量及其依賴關(guān)系，這里的這里的“依賴關(guān)系依賴關(guān)系”常常要借助于運(yùn)算而建常常要借助于運(yùn)算而建立對(duì)應(yīng)關(guān)系；立對(duì)應(yīng)關(guān)系；（4 4）是以）是以“依賴關(guān)系依賴關(guān)系”為導(dǎo)向，利用代數(shù)、為導(dǎo)向，利用代數(shù)、幾何中可以表示這些關(guān)系的數(shù)學(xué)式子、表格、幾何中可以表示這些關(guān)系的數(shù)學(xué)式子、表格、圖形等加以明確圖形等加以明確。一次函數(shù)一次函數(shù) 現(xiàn)實(shí)背景現(xiàn)實(shí)背景：物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其特征：物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其特征是運(yùn)動(dòng)的速度（即位移與時(shí)間的比值）是是運(yùn)動(dòng)的速度（即

40、位移與時(shí)間的比值）是一個(gè)定值。一個(gè)定值。 決定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的要素決定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的要素：速度：速度v、時(shí)間、時(shí)間t和位移和位移S。這里，。這里，v是常量，是常量，t和和S是變量；是變量；“速度是速度是一個(gè)定值一個(gè)定值”是此類運(yùn)動(dòng)區(qū)別于它類運(yùn)動(dòng)的是此類運(yùn)動(dòng)區(qū)別于它類運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵點(diǎn)，它的實(shí)際意義是在相同的時(shí)間段關(guān)鍵點(diǎn)，它的實(shí)際意義是在相同的時(shí)間段上物體的位移也相同，這是一種均勻變化。上物體的位移也相同，這是一種均勻變化。要素之間的相互關(guān)系要素之間的相互關(guān)系 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：對(duì)于不同類型的問題，都有一：對(duì)于不同類型的問題，都有一個(gè)從具體事例到一般規(guī)律的歸納過程，得個(gè)從具體事例到一般規(guī)律的歸納過程，得到了各種

41、各樣的一次函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，到了各種各樣的一次函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，再對(duì)它們進(jìn)行共性的歸納，可以得到一次再對(duì)它們進(jìn)行共性的歸納，可以得到一次函數(shù)模型函數(shù)模型y=kx+b。這里，特別要注意。這里，特別要注意k和和b的意義：的意義：b是初始條件；函數(shù)值是初始條件；函數(shù)值y隨自變量隨自變量x的變化而變化的過程中，函數(shù)值的改變量的變化而變化的過程中，函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值是常數(shù)與自變量的改變量的比值是常數(shù)k，k的絕的絕對(duì)值越大，改變得越快。這里特別要強(qiáng)調(diào)對(duì)值越大，改變得越快。這里特別要強(qiáng)調(diào)以實(shí)際問題為依托理解以實(shí)際問題為依托理解k，b的意義的意義。 思考：二次函數(shù)概念的歸納過程該如何構(gòu)思考：

42、二次函數(shù)概念的歸納過程該如何構(gòu)建？反比例函數(shù)呢？建？反比例函數(shù)呢？ 高中階段的高中階段的函數(shù)函數(shù)概念教學(xué)概念教學(xué)，應(yīng)從，應(yīng)從初中已學(xué)初中已學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)出發(fā)，的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)出發(fā)，反思和提煉它們各自的抽象過程，并歸納反思和提煉它們各自的抽象過程，并歸納它們的共性，從而形成一般函數(shù)概念的認(rèn)它們的共性，從而形成一般函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)。識(shí)基礎(chǔ)。具體過程具體過程 具體具體函數(shù)函數(shù)一類函數(shù)一類函數(shù)函數(shù)概念函數(shù)概念一般化一般化。 先先以學(xué)生熟悉的運(yùn)動(dòng)變化問題為背景，仔以學(xué)生熟悉的運(yùn)動(dòng)變化問題為背景，仔細(xì)分析一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)細(xì)分析一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函

43、數(shù)概念的歸納過程；概念的歸納過程； 提出問題提出問題：這些這些函數(shù)的共性是什么？如何函數(shù)的共性是什么？如何表示表示？引導(dǎo)？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行再歸納；學(xué)生進(jìn)行再歸納； 利用初中的函數(shù)定義判斷利用初中的函數(shù)定義判斷“某某日日上證指數(shù)上證指數(shù)圖圖”、“奧運(yùn)會(huì)奧運(yùn)會(huì)金牌榜金牌榜”等是否為函數(shù)，等是否為函數(shù)，增強(qiáng)進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)概念必要性的認(rèn)識(shí)增強(qiáng)進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)概念必要性的認(rèn)識(shí)；一般概念指導(dǎo)下的基本初等函數(shù)研究一般概念指導(dǎo)下的基本初等函數(shù)研究 在獲得對(duì)函數(shù)及其性質(zhì)的一般化認(rèn)識(shí)的基在獲得對(duì)函數(shù)及其性質(zhì)的一般化認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，完成了礎(chǔ)上，完成了“從個(gè)別推及一般從個(gè)別推及一般”的歸納的歸納過程，接著是過程，接著是“從一

44、般推及個(gè)別從一般推及個(gè)別”的演繹的演繹過程。這個(gè)演繹過程可以看成是函數(shù)一般過程。這個(gè)演繹過程可以看成是函數(shù)一般概念及其性質(zhì)的具體應(yīng)用，就是在一般觀概念及其性質(zhì)的具體應(yīng)用，就是在一般觀念指導(dǎo)下解決某一類運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)念指導(dǎo)下解決某一類運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)問題，獲得一類函數(shù)的概念及其性質(zhì)。高問題，獲得一類函數(shù)的概念及其性質(zhì)。高中階段就是進(jìn)入到冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)中階段就是進(jìn)入到冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的研究。數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的研究。 教學(xué)教學(xué)中中，應(yīng)兼顧，應(yīng)兼顧函數(shù)概念的數(shù)學(xué)邏輯和學(xué)生學(xué)習(xí)的函數(shù)概念的數(shù)學(xué)邏輯和學(xué)生學(xué)習(xí)的心理邏輯。其中從問題出發(fā)、歸納與演繹

45、相互為用心理邏輯。其中從問題出發(fā)、歸納與演繹相互為用是基本原則是基本原則。 宏觀與具體相結(jié)合的宏觀與具體相結(jié)合的問題問題： “對(duì)于一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程或一種變化現(xiàn)象，需要研究的對(duì)于一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程或一種變化現(xiàn)象，需要研究的基本問題有哪些？基本問題有哪些？”“”“一般地，我們可以怎樣展開一般地，我們可以怎樣展開研究？研究？”等等與與數(shù)學(xué)基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有數(shù)學(xué)基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有關(guān)關(guān)，具有，具有引領(lǐng)方向的作用，可以極大地增強(qiáng)學(xué)習(xí)與引領(lǐng)方向的作用，可以極大地增強(qiáng)學(xué)習(xí)與思考的主動(dòng)性、針對(duì)性、有效性思考的主動(dòng)性、針對(duì)性、有效性； 針對(duì)針對(duì)實(shí)際情境中的具體現(xiàn)象提出實(shí)際情境中的具體現(xiàn)象提出問題問題四四個(gè)基本個(gè)

46、基本問題問題。 具體具體研究某一函數(shù)時(shí)研究某一函數(shù)時(shí)，要，要調(diào)動(dòng)已調(diào)動(dòng)已有經(jīng)驗(yàn)有經(jīng)驗(yàn)，從圖表觀，從圖表觀察、代數(shù)運(yùn)算察、代數(shù)運(yùn)算等途徑等途徑發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出概念和性質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出概念和性質(zhì)。九九、通過類比發(fā)現(xiàn)和提出問題、通過類比發(fā)現(xiàn)和提出問題 類比的含義類比的含義 類比的類比的特點(diǎn)特點(diǎn) 類比類比的一般模式的一般模式 數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入引入十十、通過推廣、特殊化發(fā)現(xiàn)和提出、通過推廣、特殊化發(fā)現(xiàn)和提出問題問題 空間幾何體中的特殊化；空間幾何體中的特殊化； 點(diǎn)線面點(diǎn)線面位置關(guān)系的特殊化位置關(guān)系的特殊化平行與垂直；平行與垂直； 代數(shù)性質(zhì)代數(shù)性質(zhì)特殊化中的特殊性；特殊化中的特殊性； 運(yùn)算中的一般化和特殊化運(yùn)算中的一般化和特殊化圓錐曲線性圓錐曲線性質(zhì)的質(zhì)的再發(fā)現(xiàn)再發(fā)現(xiàn)； 十一十一、使學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法、使學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法 數(shù)學(xué)觀念和具有一般意義的數(shù)