彎曲變形學習教案

1、會計學1彎曲彎曲(wnq)變形變形第一頁，共62頁。 彎曲構件除了要滿足強度彎曲構件除了要滿足強度(qingd)條件外條件外, 還需滿足剛度條件。如車床主軸的過大彎曲引起加工零件的誤差。還需滿足剛度條件。如車床主軸的過大彎曲引起加工零件的誤差。9.1 工程中的彎曲工程中的彎曲(wnq)變形變形問題問題第1頁/共61頁第二頁，共62頁。9.1 工程實際中的彎曲變形工程實際中的彎曲變形(bin xng)問題問題第2頁/共61頁第三頁，共62頁。9.1 工程實際中的彎曲變形工程實際中的彎曲變形(bin xng)問題問題第3頁/共61頁第四頁，共62頁。第4頁/共61頁第五頁，共62頁。度量梁變形后橫

2、截面位移的兩個基本度量梁變形后橫截面位移的兩個基本(jbn)量量:撓度和轉角撓度和轉角 撓度撓度(w): 橫截面形心橫截面形心(即軸線上的點即軸線上的點)在垂直于在垂直于x軸方向軸方向(fngxing)的線位移的線位移, 稱為該截面的撓度稱為該截面的撓度(Deflection) 。yxABCw(撓度撓度)C1 轉角轉角(): 橫截面繞中性軸橫截面繞中性軸(即即Z軸軸)轉過的角度轉過的角度(jiod)（或角位移）（或角位移）, 稱為該截面的轉角稱為該截面的轉角(Slope rotation angle) 。q q (轉角轉角) 取梁的左端點為坐標原點取梁的左端點為坐標原點, 梁變形前的軸線為梁變

3、形前的軸線為x軸軸, 橫橫截面的鉛垂對稱軸為截面的鉛垂對稱軸為y軸軸, xy平面為縱向對稱平面。平面為縱向對稱平面。F第5頁/共61頁第六頁，共62頁。撓度：在圖示坐標系中撓度：在圖示坐標系中, 向上向上(xingshng)為正為正, 向下為負。向下為負。轉角轉角(zhunjio)： 逆時針轉向為正逆時針轉向為正,順時針轉向為順時針轉向為負。負。yxABCw(撓度撓度)C1q q (轉角轉角)F第6頁/共61頁第七頁，共62頁。必須注意必須注意(zh y): 梁軸線彎曲成曲線后梁軸線彎曲成曲線后, 在在x軸軸方向也有線位移。方向也有線位移。yxABCw(撓度撓度)C1q q (轉角轉角)F但在

4、小變形情況下但在小變形情況下, 梁的撓度梁的撓度(nod)遠小遠小于跨長于跨長, 橫截面形心沿橫截面形心沿x軸方向的線位移與撓度軸方向的線位移與撓度(nod)相比屬于高階微量相比屬于高階微量, 可略去不計?？陕匀ゲ挥?。第7頁/共61頁第八頁，共62頁。撓曲線撓曲線(qxin)方程方程:式中式中, x為梁變形為梁變形(bin xng)前軸線上任一點的橫坐標前軸線上任一點的橫坐標, w為該點的撓度。為該點的撓度。( )wf xyxABCw(撓度撓度)C1q q (轉角轉角)撓曲線撓曲線F第8頁/共61頁第九頁，共62頁。tan( )wfxqqyxABCw(撓度撓度)C1q qq q (轉角轉角)F

5、第9頁/共61頁第十頁，共62頁。1MkE I1( )( ) ( )M xk xxEI橫力彎曲時橫力彎曲時, M和和都是都是x的函數(shù)。略去剪力對梁的的函數(shù)。略去剪力對梁的位移位移(wiy)的影響的影響, 則則純彎曲時曲率純彎曲時曲率(ql)與彎矩的關系為與彎矩的關系為由幾何關系知由幾何關系知, 平面曲線的曲率可寫作平面曲線的曲率可寫作3221( )( )(1)wMxxEIw 第10頁/共61頁第十一頁，共62頁。曲線曲線(qxin)向上凸向上凸 時：時： w0, M0因此因此(ync), M與與w的正負號相同。的正負號相同。MMM0w0MM曲線曲線(qxin)向下凸向下凸 時：時： w0, M

6、0322( ) (1)wM xEIwOxy322( )(1)wM xEIw第11頁/共61頁第十二頁，共62頁。由于撓曲線是一條由于撓曲線是一條(y tio)非常平坦的曲線非常平坦的曲線, w2遠比遠比1小小, 可以略去不計可以略去不計, 于是上式可寫成于是上式可寫成( ) M xwEI 322( ) (1)wM xEIw此式稱為此式稱為(chn wi) 梁的撓曲線近似微分方程。梁的撓曲線近似微分方程。(Approximately differential equation of the deflection curve)稱為近似的原因稱為近似的原因(yunyn): (1) 略去了剪力的影響略

7、去了剪力的影響; (2)略去了略去了w2項。項。第12頁/共61頁第十三頁，共62頁。再積分再積分(jfn)一次一次, 得撓度方程得撓度方程上式積分一次得轉角上式積分一次得轉角(zhunjio)方程方程若為等截面直梁若為等截面直梁, 其抗彎剛度其抗彎剛度(n d)EI為一常量為一常量, 上式可改寫成上式可改寫成( )EIwM x 1( )dEIwM xxC 12( )ddEIwM xxxC xC 式中：積分常數(shù)式中：積分常數(shù)C1、C2可通過梁撓曲線的可通過梁撓曲線的邊界條邊界條件件和變形的和變形的連續(xù)性條件連續(xù)性條件來確定。來確定。9.3 積分法求彎曲變形積分法求彎曲變形第13頁/共61頁第十

8、四頁，共62頁。簡支梁簡支梁懸臂梁懸臂梁邊界條件邊界條件(boundary condition)ABwA0wB0ABwA0q qA0ABAB 連續(xù)性條件連續(xù)性條件(tiojin)(Continuity condition)在撓曲線的任一點上在撓曲線的任一點上, 有有唯一唯一(wi y)的撓度和轉的撓度和轉角。如角。如:不可能(knng)不可能CCww CCq qq qc第14頁/共61頁第十五頁，共62頁。例例1：圖示一抗彎剛度：圖示一抗彎剛度(n d)為為EI的懸臂梁的懸臂梁, 在自在自由端受一集中力由端受一集中力F作用。試求梁的撓曲線方程和轉作用。試求梁的撓曲線方程和轉角方程角方程, 并確

9、定其最大撓度并確定其最大撓度wmax和最大轉角和最大轉角max 。ABlxxy解：以梁左端解：以梁左端A為原點為原點, 取直角坐標取直角坐標(zh jio zu bio)系系, 令令x軸向右軸向右, y軸軸向上為正。向上為正。 ( 1 ) 列 彎 矩 方 程列 彎 矩 方 程(fngchng)( )()M xF lxFlFx F(2) 列撓曲線近似微分方程并積分列撓曲線近似微分方程并積分 ( )EIwM xFlFx 第15頁/共61頁第十六頁，共62頁。21(a)2FxEIwFlxC 2312(b)26FlxFxEIwC xC (3) 確定積分確定積分(jfn)常數(shù)常數(shù) 代入式代入式(a)和和

10、(b), 得：得： C10, C20ABlxxyF在在x0處處, w0 在在x0處處, q q0 ( )EIwM xFlFx 第16頁/共61頁第十七頁，共62頁。ABlxxyF22FlxFxwEIEIq 2326FlxFxwEIEI (4) 建立轉角方程建立轉角方程(fngchng)和撓度方程和撓度方程(fngchng) 將求得的積分將求得的積分(jfn)常數(shù)常數(shù)C1和和C2代入式代入式(a)和和(b), 得梁得梁的轉角方程和撓度方程分別為：的轉角方程和撓度方程分別為： (5) 求最大轉角求最大轉角(zhunjio)和最大撓度和最大撓度 自由端自由端B處的轉角和撓度絕對值最大。處的轉角和撓度

11、絕對值最大。 wmaxq qmax2max2x lFlEIqq 3max3x lFlwwEI 所得的撓度為負值所得的撓度為負值, 說明說明B點向下移動點向下移動; 轉角為負轉角為負值值, 說明橫截面說明橫截面B沿順時針轉向轉動。沿順時針轉向轉動。 第17頁/共61頁第十八頁，共62頁。xlABqFAFB例例2: 2: 圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為EIEI的簡支梁的簡支梁, , 在全梁上受在全梁上受集度為集度為q q的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線方程的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線方程和轉角和轉角(zhunjio)(zhunjio)方程方程, , 并確定其最大撓度并確定其最大撓度 wmax

12、wmax和最大轉角和最大轉角(zhunjio)(zhunjio)max max 。xy解解: : 由對稱性可知由對稱性可知(k zh), (k zh), 梁的兩梁的兩個支反力為個支反力為2ABqlFF梁的彎矩方程及撓曲線微分方程梁的彎矩方程及撓曲線微分方程(wi fn fn chn)分別為分別為221( )() (a)222qlqM xxqxlxx2( )()(b)2qEIwM xlxx第18頁/共61頁第十九頁，共62頁。2( )()(b)2qEIwM xlxx 231()(c)223q lxxEIwC 3412()(d)2612q lxxEIwC xC積分積分(jfn)兩次兩次xlABqF

13、AFBxy第19頁/共61頁第二十頁，共62頁。231()223q lxxEIwC 3412()2612q lxxEIwC xC簡支梁的邊界條件是簡支梁的邊界條件是在在x0處處, w0 在在xl處處, w0 代入代入(c)、(d)式確定式確定(qudng)出積分常數(shù)出積分常數(shù)20C 3124qlC 323(64)24qwllxxEIq 323(2)24qxwllxxEI xlABqFAFBxy第20頁/共61頁第二十一頁，共62頁。323(64)24qwllxxEIq 323(2)24qxwllxxEI ABqxyq qAq qBwmaxl/23max24ABqlEIqqq 由對稱性可知由對稱

14、性可知, 在兩在兩端支座端支座(zh zu)x0和和xl處處, 轉角的絕轉角的絕對值相等且都是最大對值相等且都是最大值值4max25|384lxqlwwEI 在 梁 跨 中 點在 梁 跨 中 點 ( z h n din)l/2處有最大撓度值處有最大撓度值第21頁/共61頁第二十二頁，共62頁。例例3：圖示一抗彎剛度為：圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁的簡支梁, 在在D點處受一集點處受一集中力中力F的作用的作用(zuyng)。試求此梁的撓曲線方程和轉。試求此梁的撓曲線方程和轉角方程角方程, 并求其最大撓度和最大轉角。并求其最大撓度和最大轉角。xlABFabFAFBD解解: : 求出梁的支反力為求出梁

15、的支反力為AFbFlBFaFl將梁分為將梁分為I和和II兩段兩段, 其彎矩方程其彎矩方程(fngchng)分別為分別為1(0)AbMF xFxxal2()()bMFxF xaaxllIII第22頁/共61頁第二十三頁，共62頁。梁段梁段I ( 0 x a)梁段梁段II ( a x l)11bEIwMFxl兩段梁的撓曲線方程兩段梁的撓曲線方程(fngchng)分別為分別為22()bEIwMFxF xal2112b xEIwFCl31116b xEIwFC xDl2222()22b xF xaEIwFCl33222()66b xF x aEIwFC xDl積分積分(jfn)一一次得轉角次得轉角方程

16、方程再積分再積分(jfn)一次一次得撓曲線方得撓曲線方程程撓曲線方程撓曲線方程注意：在對梁段注意：在對梁段II進行積分運算時進行積分運算時, 對含有對含有(x-a)的彎矩項不要展開的彎矩項不要展開, 而以而以(x-a)作為自變量進行積分作為自變量進行積分, 這樣可使下面確定積分常數(shù)的工作得到簡化。這樣可使下面確定積分常數(shù)的工作得到簡化。第23頁/共61頁第二十四頁，共62頁。D點的連續(xù)點的連續(xù)(linx)條件條件：在在x = a處處, q q1q q2, w1w2邊界條件邊界條件:在在x = 0處處, w10在在x = l處處, w20代入方程代入方程(fngchng)可可解得解得:021DD

17、2212()6FbCClblxlABFabFAFBDIII第24頁/共61頁第二十五頁，共62頁。梁段梁段I ( 0 x a)梁段梁段II ( a x l)將積分將積分(jfn)常數(shù)代入得常數(shù)代入得222111 ()23FbwlbxlEIq 22216FbxwlbxlEI 轉角轉角(zhunjio)方程方程撓曲線撓曲線(qxin)方程方程2222221 ()()23FblwxaxlblEI bq 33222 ()() 6FblwxaxlbxlEI b 第25頁/共61頁第二十六頁，共62頁。將將x = 0和和x = l分別代入轉角分別代入轉角(zhunjio)方程左右方程左右兩支座處截面的轉角兩支座處截面的轉角(zhunjio)當當a b時時, 右支座處截面右支座處截面(jimin)的轉角絕對值為的轉角絕對值為最大最大10()|6AxFab lblEIqq 2()|6Bx lFab lalEIqqmax()6BFab lalEIqqxlABFa