線性代數(shù)-線代模擬題I

1、線性代數(shù)模擬試題(I)填空題 1.設(shè)A為3階方陣且IA 2,則3A1 2A【分析】只要與A有關(guān)的題，首先要想到行列式的展開定理,AA A A AE ,從中推你要的結(jié)論。這里IAA 3 , m 1 m 1 2, 3線性無(wú)關(guān)，t可常數(shù) m,k滿足什么條件時(shí)，向量組 2A1 代入1)3 A13A 1 2A 2.為什么是(1)33線性相關(guān)，則3線性(相關(guān))3線性無(wú)關(guān)，則3線性(無(wú)關(guān))【分析】對(duì)于此類題,最根本的方法是把一個(gè)向量組由另一個(gè)向量表示的問題轉(zhuǎn)化為矩陣乘法的關(guān)系，然后用矩陣的秩加以判明。參閱教材P89例61 , 2, 33 0 1 0 ,記此為B AK1 1 13線性無(wú)關(guān)，則A 3是列滿秩矩陣

2、，它左乘一個(gè)矩陣不改變這個(gè)矩陣的秩(可以用這個(gè)結(jié)論)，這里r(B) r(AK )r(K),這樣B的秩就等K的秩，如果 3 (所含向量個(gè)數(shù))，B的列向量3就是無(wú)關(guān)的，否則K是相關(guān)的。切不可兩邊取行列式！ ！因?yàn)榫仃嚥欢ㄊ欠疥嚕?!你來(lái)做 下面的三個(gè)題:(1)已知向量組(m 2)線性無(wú)關(guān)。試討論向量組m的線性相關(guān)性。(答案:m為奇數(shù)時(shí)無(wú)關(guān)，偶數(shù)時(shí)相關(guān) )(2)已知線性無(wú)關(guān)？線性相關(guān)？( 答案：當(dāng)mk 1時(shí)，無(wú)關(guān)；當(dāng) mk 1時(shí)，相關(guān))(3)教材P110第19題和第20題 3. 設(shè)非齊次線性方程 Am 4X b, r(A) 2,1, 2, 3是它的三個(gè)解，且12 (3,4,6,7)T, 23(1,2

3、,3,4)T, 31 (2,3,4,5)T求該方程組的通解。(答案：x -(2,3,5,6)T k1 (1,1,1,1)Tk2(1,1,2,2)T ,形式不2唯一)【分析】對(duì)于此類題，首先要知道齊次方程組基礎(chǔ)解系中向量的個(gè)數(shù)(也是解空間的維數(shù))是多少，通解是如何構(gòu)造的。其次要知道下面的結(jié)論:設(shè)1 2m是非齊次方程組 Ax b的解，則(1) k1 1 k2 2 k1 1 k2 2你再做 教材P111第29題 4. 當(dāng)k 時(shí)，I , 2 , mkm m 是 AX 0 的解k1k2km 0km m 是 AX b 的解 k1 k2 km 1(1,k,5)能由 1(1, 3,2), 2(2, 1,1)線

4、性表示(答案k 8)【分析】一個(gè)向量能否用一個(gè)向量組表示的問題，可轉(zhuǎn)化為非齊次方程組有無(wú)解的問題，再利用矩陣的秩去判別。對(duì)于此題，記A 1, 2,看看Ax 是否有解，有解就是能表示，無(wú)解就是不能表示，有唯一解就是表示是唯一的。表示系數(shù)(組合系數(shù))就是解。這里只要求 k使r(A) rA, 2的秩即可，這里A,是方陣，用行列 式的方法是方便的|A, | 3k 24 0你來(lái)做：設(shè) (2, 1,t2)T ,1 (t 1,1,1)T ,2(1,t1,1)T ,3(1,1,t 1)T ,問t為何值時(shí)，不能由1, 2, 3線性表示； 能由1 , 2, 3線性表示且表法唯一； 能由1, 2, 3線性表示且表法

5、無(wú)窮多并寫出所有的表示方法。注意：關(guān)于含參數(shù)的方程組求解，如果系數(shù)矩陣是方陣，用行列式的方法往往簡(jiǎn)單，如果不是方陣只有用初等行變換的方法了。,1T , 5. 設(shè)113(1,1,1)，求2, 3使Q 1 , 2 , 3為正交矩陣【分析】求與一個(gè)向量正交的問題，就是解方程組的問題1Tx 0當(dāng)然要根據(jù)題之要求， 還要使用Schimidt正交化，單位化過程(答案：詳見教材P117例3,還要再單位化)你寫一寫正交矩陣的充要條件有哪些，如果給你兩個(gè)正交向量求一個(gè)向量與它們都正交 你也應(yīng)該會(huì)！二選擇題 1 .設(shè)A,B為滿足AB 0的兩個(gè)非零矩陣，則必有(A)A的列向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān)(B)A

6、的列向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān)(C)A的行向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān)(D)A的行向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān)【分析】遇到AmnBnp0,就要想到r(A) r(B) n以及B的列向量均是線性方程組Ax 0的解。思路1： r(A) r(B) n,又A,B為非零矩陣，必有0 r (A) n , 0 r (B) n,所以A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)，故選(A)。思路2： B的列均為Ax 0的解，又B為非零矩陣，說明 Ax 0存在非零解，所以r( A) n ,所以A的列向量組線性相關(guān)。 考慮BtAt 0 ,又知BT的列向量組即B的行向量組線性相關(guān)，故選 (A)。

7、另外： 遇到C AB要想到C的列組都是 A的列組的線性組合， C的行組都是B的行組 的線性組合。從這個(gè)角度也可做此題，你來(lái)想想。 2.設(shè) r(Am n) m n ,則()(多選)。(A) A r Em,O(B) A c Em,O(C)對(duì) b Rn , Ax b必有無(wú)窮多解(D)若 BA O B O(E) ATA 0(答案:B,C,D,E)【分析】(I) (A)和(B)是化標(biāo)準(zhǔn)形的問題。這里 A是行滿秩矩陣，必有 m階子式非零，這個(gè)m階子式所在的行就是 A的所有的行，只用列變換可把它所在的m列調(diào)到前面來(lái)A C Bmm,C此時(shí)B是非奇異矩陣，可只用列變換化為單位矩陣，然后用此單位矩陣只用列變換 把

8、后面的矩陣C消為零。故(B)是對(duì)的。(A)不對(duì)。(II) 對(duì)于(C)要知道，如果 A是行滿秩矩陣，則 Ax b 一定是有解的，這是因 為 m r(Am n) r(Amn,b) m r (A) r (A,b)至于是否有唯一解還是有無(wú)窮多解還要把增廣矩陣的秩(即獨(dú)立方程組的個(gè)數(shù))與 未知數(shù)的個(gè)數(shù)(即 A的列數(shù)比較)，由題設(shè)r(Am n) m n ,故有無(wú)窮多解(C) 也是對(duì)的。(III) 對(duì)于(D)這是書上定理 AX O只有零矩陣解的充要條件是A是列滿矩陣的變形BA OATBT O這里AT是列滿秩，故(D)也是對(duì)的。(IV) 對(duì)于(E)要了解形如 AT A的是一個(gè)非常重要的矩陣，你必須知道這兩個(gè)結(jié)

9、 論一是AT A是一個(gè)對(duì)稱半正定的矩陣(這用xT (AT A)x 0是很容易證明的)，二是r(A) r (AT A)(這是書上的例題)。用第二個(gè)結(jié)論立即知 ATA可逆(實(shí)際上是 對(duì)稱正定)的充要條件是A是列滿秩。這樣就(日是對(duì)的。另外：對(duì)于AmnBn m型的矩陣，如果m B 一定有| AmB。m| 0 (這是因?yàn)閞 ( Am n B n m) r (A) n m),記憶方法：高的矩陣乘矮的矩陣一定不可逆的(如 果是方陣的話) 3.設(shè)A為n階可逆矩陣(n 2),交換A的第1行與第2行得矩陣B ,則()(A)父換 A的第1列與第2列得 B (B)交換 A的第1行與第2行得 B , 、 、人 * .

10、 . . . .* 、 * . . . . . . . . *(C)父換 A的第1列與第2列得 B (D)交換 A的第1行與第2行得 B【分析】對(duì)于此類題你不僅要熟悉伴隨矩陣的運(yùn)算還要熟悉初等矩陣的性質(zhì)。交換A和第1行和第2行得B,則有E(i,j)A B (左行右列原則)，從而|A IB，由此關(guān)系 *找A與B的關(guān)系：B*BB 1 AA1E(i,j) 1 AA1E(i,j)A*E(i,j)由此知(C)是對(duì)的。 4. 設(shè)A為方陣,2是齊次線性方程組Ax 0的兩個(gè)不同的解向量，則（）是A的特征向量(A)1與 2, (B)12, (C)12 , (D) (A)、(B)、(C)都是【分析】齊次方程組有有

11、兩個(gè)不的解，當(dāng)然必有非零解,從而必有特征值0,對(duì)應(yīng)的特征向量就是其非零解。這里要 選（C）才能保證是非零的。把此題變化一下:(A) 5. 與矩陣2是齊次線性方程組 Ax)是Ax(B)0的基礎(chǔ)解系。(C)10的兩個(gè)不同的解向量,相似的矩陣是（）（答案:B)(Am n)(A)00(C)(D)【分析】首先相似矩陣有相同的特征值,都是1 （二重）和（單重），如有不是的就該排除,這里沒有。這就要靠矩陣可對(duì)角化的充要條件是任一特征值的重?cái)?shù)等于它所對(duì)應(yīng)的無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)（也稱幾何重?cái)?shù)）去判別。即ni n r ( i E A)亦即r ( i E A) n n對(duì)于單重的不考慮（這是為什么？），只需考慮多重的。

12、這里只需考慮r (1計(jì)算題 1.計(jì)算行列式Dn提示答案2 (n 2)!)此行列式特點(diǎn)是對(duì)角元不等，其余相等。每一行減第一行。你還有更好的方法嗎。評(píng)注關(guān)于行列式的計(jì)算重點(diǎn)掌握化三角形，以及特殊分塊行列式的計(jì)算11 2.解矩陣萬(wàn)程 (，A)XA 1 2AX 12E2其中A1201300000 0100、,求X20提示先化簡(jiǎn)方程為：X(4E 2A) 12E2400答案 X22000022001 2評(píng)注關(guān)于解矩陣方程一定要先化簡(jiǎn)，變?yōu)槿缦滦问街籄X B,XA B, AXB C主要考察矩陣的基本運(yùn)算，矩陣求逆等知識(shí)。注意左乘還右乘的關(guān)系，這是同學(xué)們最容易錯(cuò)的。 3.設(shè)向量組11,2,3,4T, 2(2

13、,3,4,5)T, 3 (3,4,5,6)T, 4(4,5,6,7)T求此向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。提示按上課教的方法把向量按列排成矩陣只用行變換化最簡(jiǎn)階梯形，參照教材P94例111012-0123答案最簡(jiǎn)階梯形為T00000000注意不管給的是行向量還是列向量一定要按列排成矩陣只作行變換，一定要化到最簡(jiǎn)階梯形。常見錯(cuò)誤是沒有化到最簡(jiǎn)或中途使用了列變換。評(píng)注此題變形為下面的題，做法是一樣的下面方程組哪些方程是獨(dú)立的，哪些是多余的，并把多余方程用獨(dú)立方程表示出來(lái)x1 2X2 3X342為 3x2 4x353為 4x2 5x36 4.4x1 5x2 6x37何值時(shí)

14、，下面方程組有唯一解，無(wú)解，有無(wú)窮多解，有無(wú)窮多解時(shí)求通過解。x1 2x21x1 x2 3x342x1 x2x3提示對(duì)于含參數(shù)的方程組，如果系數(shù)矩陣是方陣往往采用行列式法較簡(jiǎn)單，這也是首選的方法，但是如果不是方陣只有一種方法就是行變換的方法。步驟是：當(dāng)|A 0時(shí)有唯一解，當(dāng)IA 0時(shí)(這時(shí)參數(shù)已經(jīng)確定了)可能無(wú)解也可能有無(wú)窮多解，這要分別討論如果右端項(xiàng)還有參數(shù)，只有用行變換的方法再討論答案 IA 315,其它你來(lái)完成注意 常見錯(cuò)誤：求通解時(shí)沒有化到最簡(jiǎn)階梯形，這樣自由變量不好區(qū)分，很容易出錯(cuò)。所以要記住，一定要化到最簡(jiǎn)階梯形，然后再求解。評(píng)注這類題主要考察學(xué)生對(duì)方程組解的存在定理掌握如何，并考

15、察求通解的能力。你來(lái)回答下面方程組或矩陣方程有解(唯一解等)的充要條件是什么？Ax b(b 0), Ax 0, AX B, AX O22 5.設(shè)實(shí)二次型 f(x1,x2,x3) 2x1 ax2 4x1x2 4x2x3經(jīng)正交變換 x Qy2.22化為標(biāo)準(zhǔn)形為f yi b% 4y3(1)求參數(shù)a,b; (2)求正交換矩陣 Q評(píng)注二次型正交變換化標(biāo)準(zhǔn)的問題實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化的問題，所以要把這類問題轉(zhuǎn)化為矩陣問題來(lái)處理。注意二次型的矩陣我們規(guī)定一定是對(duì)稱的，如果二次型矩陣寫不對(duì)的話，該題一分不得。22 0提示二次型的矩陣為 A 2 a 202 0這里標(biāo)準(zhǔn)形告訴你了，就等于告訴你特征值了1T1Q

16、TAQ Q 1AQ b4特征值為1,b,4 ,為確定參數(shù)常用下面方法答案提醒再注 1.提示評(píng)注AtrA trA的特征值為1( 2,由于特征值互異,如果只是,解得 a 1, b 2。1,2)T,22, 3(2,4 ,求得其對(duì)應(yīng)的特征向量分別為2,1)T ,3(1,2,2)T它們是正交的，檢查一下如果不正交說明你做錯(cuò)了。2.2.2般的可逆變換 x Py化標(biāo)準(zhǔn)形為f y1 by2 4y3,這里標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)不再是特征值了，只有正交矩陣既是相似關(guān)系又是合同關(guān)系般不會(huì)出這樣的題。般二次型用正交變換化標(biāo)準(zhǔn)形的題，最常見的是教材題型，你要好好看看，并完整地做一遍證明題I 2 -為n 1個(gè)線性無(wú)關(guān)的n維列向量,1 ,2 , n 1正交，證明1 ,2線性相關(guān)。前面曾經(jīng)說過，把正交關(guān)系看成齊次方程組。由題意0,(n 1)這只是方法之一,Q 1 AQ Q T AQ。P127 例 12, P132 例 11 這種2