埃爾米特插值

1、復復 習習前面我們已經(jīng)學過兩種插值方法：前面我們已經(jīng)學過兩種插值方法：LangrangeLangrange插值法插值法和和NewtonNewton插值法插值法特點特點1 1）插值條件為）插值條件為函數(shù)值函數(shù)值，即，即2 2）求一個次數(shù)不超過）求一個次數(shù)不超過n的代數(shù)多項式的代數(shù)多項式3 3）構造方法：）構造方法：采用節(jié)點基函數(shù)采用節(jié)點基函數(shù)LangrangeLangrange插值法：插值法： niiinxlyxL0)()(NewtonNewton插值法：插值法：)()(,)(,)()(1000100 nnnxxxxxxfxxxxfxfxN注：注：兩種方法的結果相同（唯一性）兩種方法的結果相同（

2、唯一性）一、埃爾米特（一、埃爾米特（HermiteHermite）插值多項式）插值多項式 二、兩種簡單情形二、兩種簡單情形三、例題三、例題一、一、 HermiteHermite插值多項式的定義插值多項式的定義插值條件中除插值條件中除函數(shù)值函數(shù)值外，還有外，還有導數(shù)值導數(shù)值（回顧（回顧TaylorTaylor展開式展開式, , 是某點的導數(shù)值），是某點的導數(shù)值），如如已知：已知：2 2n+2+2個條件個條件)(iixfy 0y 1y ny 求求: :一個次數(shù)不超過一個次數(shù)不超過2 2n+1+1的多項式的多項式H H2 2n+1+1( (x x) )二、簡單情形二、簡單情形 情形情形1. 1. 已

3、知：已知：3 3個條件個條件)(iixfy 0y 求求: :一個次數(shù)不超過一個次數(shù)不超過2 2的多項式的多項式H H2 2( (x x) )。注意用注意用Lagerange基函數(shù)的思想和方法：基函數(shù)的思想和方法：各司其職。各司其職。解：解：用用Lagerange基函數(shù)基函數(shù)的方法，設的方法，設)()()()(0011002xyxyxyxH 要求滿足要求滿足: :其中其中 是基函數(shù)，滿足是基函數(shù)，滿足)(),(),(010 xxx （1 1）都是）都是2 2次多項式次多項式 （2 2）無關性）無關性000111000010010000011000110( )( )( )( )( )( )( )(

4、 )( )，20000001)(11)(1()(0)0(1)0()(1()(01)(1xxbabaxxxbaxxxx則：，則：帶入將：，則可以設：）（零點：為二次項式，且有一個由于：)1 ()()(11) 1 ()()(00)0(0)0()(0211211111xxxxxccxxxxx同理：則：則：又：則：的二重根為則：又：為二次項式同理：)()(! 3)()()()(1202xxxxfxHxfxR 情形情形2.2.已知：已知：4 4個條件個條件)(iixfy 0y 求求: :一個次數(shù)不超過一個次數(shù)不超過3 3的多項式的多項式H H3 3( (x x) )1y 練習：用練習：用Lagerang

5、eLagerange基函數(shù)的思想和方法：基函數(shù)的思想和方法：各司其職。各司其職。2120)4(3)()(! 4)()()()(xxxxfxHxfxR 已知：已知：2n+2個條件個條件求求:一個次數(shù)不超過一個次數(shù)不超過2n+1的多項式的多項式H2n+1(x)()()()()(0000 xyxyxyxyxHnnnnn0)(1)()()()(12)()()(, 1 , 0, 1 , 0, 0)(, 2 , 10)(1)(02iiiinijjjiiijjijijixxbaxxbaxxnxxijxxninjxnjijxijx由以下兩式確定：和則：得次數(shù)是因為的二重根是即：其中：且，因為：nijjjiii

6、iijjijijixxxxcxxxxxijxxiijxjijxjx02)()()()()()(n, 1 , 01)(n, 1 , 0,0)(n, 1 , 00)(則：的一重根是的二重根，是則：其中：，njjnnnxxnfxHxfxR02)1()()!1()()()()(作業(yè)：作業(yè)：習題習題 1414，1616三、例題三、例題例例1 1：給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于3 3次的代數(shù)插值多項式。次的代數(shù)插值多項式。)(ixf xyxxxxyxxxxxL101001011)(ixiy滿足：其中求：)(),(22xHxH)(ixf 2212222222212)()()() 1

7、()(10)0() 1()() 1)(0()(0) 1 (0)0()()()(xxRxLxHxxxRcHxcxxxHxxcxRRRxRxLxH則：則：則：又：有：則：則：設：ixiy滿足：其中求)(),(:33xHxH)(ixf 3233333( ) =( )+( )?(0) = 0?(1) = 0?(0) = 0?( ) = 0HxHxR xRRRR xc：其中：例例2 2：給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于3 3次的代數(shù)插值多項式。次的代數(shù)插值多項式。)(ixf 例例3 3：給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于4 4次的代數(shù)插值多項式。次的代數(shù)插值

8、多項式。)(ixf 例例4 4：給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于5 5次的代數(shù)多項式。次的代數(shù)多項式。)(ixf 解：解：先構造插值于四個函數(shù)值的插值多項式先構造插值于四個函數(shù)值的插值多項式用用NewtonNewton插值法可得：插值法可得：322030010036161914)1()1(61)1()1(410)()(,)(,)()(xxxxxxxxxxxxxxxfxxxxfxfxN 再構造插值于兩個導數(shù)值的插值多項式再構造插值于兩個導數(shù)值的插值多項式)2)(1()1)()()(35 xxxxBAxxNxH解出系數(shù)解出系數(shù)360161,36059 BA例例5 5：給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于3 3次的代數(shù)多項式。次的代數(shù)多項式。)(ixf )(0 xf)(ixf )(0 xf )()()()(12023xxxxAxHxH例例6 6：給定如下數(shù)據(jù)表，求首項系數(shù)為給定如下