3平面任意力系平衡方程4講解

1、第三章第三章 平面任意力系平面任意力系 課題課題31 31 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程 課題課題32 32 固定端約束固定端約束 均布載荷求力均布載荷求力矩矩 課題課題33 33 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 課題課題34 34 考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡課題課題31 31 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程1.1.平面匯交力系平面匯交力系 平面匯交力系總可以合成為一個(gè)合力FR 。2.2.平面力偶系平面力偶系 平面力偶系總可以合成為一個(gè)合力偶,其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和 。 3. 3.力線平移定理力線平移定理 力向作用線外任一點(diǎn)平移，得到一個(gè)平移力和一個(gè)

2、附加力偶。 平移力與原力大小相等，附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩。OF3F2F1FR12FR22)()(yxRFFFM1M2M3MR=AdBF M =FdBAFdFdM 舊課復(fù)習(xí)：舊課復(fù)習(xí)：RMMO一、一、平面任意力系的簡(jiǎn)化平面任意力系的簡(jiǎn)化= = 課題課題31 31 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程 1.1.主矢主矢F F R 主矢的大小等于原力系中各分力的合力，即在坐標(biāo)軸投影主矢的大小等于原力系中各分力的合力，即在坐標(biāo)軸投影代數(shù)和的平方和再開方代數(shù)和的平方和再開方, ,作用點(diǎn)在簡(jiǎn)化中心上作用點(diǎn)在簡(jiǎn)化中心上,其大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選取無關(guān)。OF3F2F1CBA簡(jiǎn)化中心 F3F2F

3、1M1M2M3= =OF RM02222)()()()(yxyxRFFFFF 2.2.主矩主矩M0)(0FMMMO結(jié)論：結(jié)論： 主矩的大小等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和。主矩的大小等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和。其大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選取可能有關(guān)，也可能無關(guān)。 平面任意力系向平面任意點(diǎn)簡(jiǎn)化平面任意力系向平面任意點(diǎn)簡(jiǎn)化, ,得到一主矢得到一主矢F FR R和一主矩和一主矩0 0 xyFFtan3.3.簡(jiǎn)化結(jié)果的討論簡(jiǎn)化結(jié)果的討論 例例3-13-1 圖示物體平面A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一等邊三角形，三點(diǎn)分別作用F力，試簡(jiǎn)化該力系。 1）FR0 00 主矢FR和主矩O可以再簡(jiǎn)化為一個(gè)作用點(diǎn)不在簡(jiǎn)化中

4、心O點(diǎn)的力FR (試一下) 。FABC 解：解：1.求力系的主矢cos60cos600 xFFFF2.選A點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，求力系的主矩簡(jiǎn)化結(jié)果是一平面力偶系(取其它點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，結(jié)果不變，因?yàn)楸緛砭鸵褬?gòu)成平面力偶系)。 2）FR0 0=0 簡(jiǎn)化為一個(gè)力，主矢FR就是力系的合力FR (結(jié)果相當(dāng)于作用于簡(jiǎn)化中心的匯交力系)。 3）FR=0 00 簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶。主矩的大小與簡(jiǎn)化中心的選擇無關(guān)(本來可以構(gòu)成平面力偶系) 。 4）FR=0 0=0 力系處于平衡狀態(tài)，與簡(jiǎn)化中心無關(guān)。 FFxy0)()(22yxRFFF0sin60sin600yFFF0( )sin603/2AMMFFABF ABM0二、平

5、面任意力系的平衡方程二、平面任意力系的平衡方程 1.1.平衡條件平衡條件2.2.平衡方程平衡方程 為使求解簡(jiǎn)便，坐標(biāo)軸一般選在與未知力垂直的方向上，矩心可選在未知力作用點(diǎn)（或交點(diǎn)）上。 平面任意力系平衡的必充條件為FR=0 0=0。即0)()(22yxRFFF0)(0FMMO0)(000FMFFyx三、平面平行力系的平衡方程三、平面平行力系的平衡方程 若全部分力均垂直于x軸（或y軸），則上述平衡方程中， （或 ）衡成立，則上述方程變?yōu)椋?0 xF 0yF或 0)(00FMFx0)(00FMFy四、應(yīng)用舉例四、應(yīng)用舉例 例例3-23-2 圖示桿件AB, 在桿件上作用力F,集中力偶M=Fa,求桿件

6、的約束力。解：解：1.取AB為研究對(duì)象畫受力圖 2.建立坐標(biāo)系列平衡方程:0)(FMA320BFaFaM:0 xF0AxFaaaFABMFABMFB332FaFaFaFB:0yF0FFFBAy23AyBFFFFxyFAxFAy 例例3-3 圖示支架由桿AB、CD組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在AB上作用F力，集中力偶M=Fa，=45，試求桿件AB的約束力。 解：解：1.取AB桿為研究對(duì)象畫受力圖2.列平衡方程求約束力:0)(FMAsin4520CFaFaMFaFaFaFC22/22:0 xFcos450AxCFF aaABDFCM=FaaaFBACM=FaFAxFCFAy2cos4522Ax

7、CFFFF :0yF054sinFFFCAy022254sinFFFFFCAy解：解：1.取小車為研究對(duì)象畫受力圖2.建立坐標(biāo)系列平衡方程求約束力()sincos0BTF abFhGhGacosBGaFab:0 xF0sinGFTsinGFT:0yFcos0ABFFGcoscoscoscosABGaGbFGFGabab 例例3-4 圖示為高爐加料小車的平面簡(jiǎn)圖。小車由鋼索牽引沿傾角為的軌道勻速上升，已知小車的重量G和尺寸a、b、h、，不計(jì)小車和軌道之間的摩擦，試求鋼索拉力FT和軌道對(duì)小車的約束力。 GFAFByxFT:0)(FMA將G分解為x、y方向分量本課節(jié)小結(jié)本課節(jié)小結(jié) 主矢的大小等于原力

8、系中各分力在坐標(biāo)軸投影代數(shù)和的平主矢的大小等于原力系中各分力在坐標(biāo)軸投影代數(shù)和的平方和再開方方和再開方, ,作用在簡(jiǎn)化中心上。主矩的大小等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化作用在簡(jiǎn)化中心上。主矩的大小等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和。中心力矩的代數(shù)和。一、一、平面任意力系的簡(jiǎn)化平面任意力系的簡(jiǎn)化平面任意力系向平面任意點(diǎn)簡(jiǎn)化平面任意力系向平面任意點(diǎn)簡(jiǎn)化, ,得到一主矢得到一主矢F FR R和一主矩和一主矩0 0 1. 1.平衡條件平衡條件 平面任意力系平衡的必充條件為FR=0 0=0。二、平面任意力系的平衡方程二、平面任意力系的平衡方程 2. 2.平衡方程平衡方程 為使求解簡(jiǎn)便，坐標(biāo)軸一般選在與未知力垂直的方向上，

9、矩心可選在未知力作用點(diǎn)（或交點(diǎn)）上。0)(000FMFFyx22)()(yxRFFF)(0FMMO二、平面平行力系的平衡方程二、平面平行力系的平衡方程或 0)(00FMFx0)(00FMFy一、平衡方程的其它形式一、平衡方程的其它形式 課題課題32 32 固定端約束固定端約束 均布載荷求力矩均布載荷求力矩例例3-5 圖示支架由桿AB、BC組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在AB上作用F力，集中力偶M=Fa，=30，試求桿件AB的約束力。aaACFBM解：解：1.取AB桿為研究對(duì)象畫受力圖aaFABCMFAxFBFAy 2.平衡方程求約束力:0)(FMAsin3020BFaF aM:0 xFcos

10、300AxBFF :0yF030sinFFFBAyFFB2cos303AxBFFF 0AyF:0)(FMAsin3020BFaF aMFFB2:0)(FMB20AyFaF aM0AyF:0 xFcos300AxBFF cos303AxBFFF :0)(FMAsin3020BFaF aMFFB2:0)(FMB20AyFaF aM0AyF:0)(FMC2 303AxaFF aMFFAx3332a一 矩 式二 矩 式三 矩 式:0 xF:0)(FMA:0yF:0)(FMA:0)(FMB 0 (0):xyFF:0)(FMA:0)(FMB:0)(FMC 所選坐標(biāo)軸不能與A、B連線垂直 A、B、C三點(diǎn)不公

11、線 兩坐標(biāo)軸垂直二、平面固定端約束二、平面固定端約束 圖a陽臺(tái)、圖b車刀的根部固定, 既不允許構(gòu)件移動(dòng)，又不允許繞其固定端轉(zhuǎn)動(dòng)。這些實(shí)例簡(jiǎn)化的平面力學(xué)模型，稱為平面固定端約束平面固定端約束。 F 由平面任意力系的簡(jiǎn)化可得：平面固定端約束有兩個(gè)約束力FAx、FAy和一個(gè)約束力偶矩A(均假設(shè)為正方向)。 FAxFAyMA三、均布載荷均布載荷 載荷集度為常量的分布載荷稱為均布載荷均布載荷。 xABqlO在構(gòu)件一段長(zhǎng)度上作用均布載荷q(N/m) ,1.1.均布載荷的合力均布載荷的合力FQ 均布載荷的合力FQ的大小等于均布載荷集度q與其分布長(zhǎng)度l的乘積，即 FQ=qlFQl/2 2.2.均布載荷求力矩：

12、均布載荷求力矩： 由合力矩定理可知，均布載荷對(duì)平面上任意點(diǎn)O的力矩等于其合力FQ與分布長(zhǎng)度中點(diǎn)到矩心距離的乘積，即 M0(ql)= ql(x+l/2) 。若以A點(diǎn)為矩心，則 MA (ql)= ql2/2 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 例例3-63-6 圖示為懸臂梁的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖。已知梁長(zhǎng)為2l，共作用有均布載荷q，集中力F=ql和力偶M0 =ql2, 求固定端的約束力。ABqllFM0qABllFM0FAxFAyMA解：解：1.取AB為研究對(duì)象畫受力圖2.列平衡方程求約束力:0)(FMA02320MlqllFMA:0 xF0AxF:0yF0qlFFAy252qlMAqlqlFFAy2 例例3-7 圖示為外

13、伸梁的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖。已知梁長(zhǎng)為3a，作用均布載荷q，作用力F=qa/2和力偶M0 =3qa2/2, 求AB梁的約束力。解：解：1.取AB為研究對(duì)象畫受力圖DaqABaaM0CFaaaDABCM0qFFDFAxFAy:0)(FMA02532aqaaFMaFOD:0 xF0AxF:0yF0qaFFFDAy4qaFD4324qaqaqaqaFAy2.列平衡方程求約束力 例例3-8 圖示支架由桿AB、CD組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在CB上作用均布載荷q，M0=qa2，=45，試求桿件AB的約束力。 解：解：1.取AB為研究對(duì)象畫受力圖qM0aaABDCqM0aaDCBAFAxFCFAy 2.列平

14、衡方程求約束力:0)(FMA02345sin0MaqaaFCqaaqaqaFC222/22/322:0 xFcos450AxCFF 22cos45222AxCqaqaFF :0yF054sinqaFFCAy2222254sinqaqaqaqaFFCAy 課后作業(yè)：課后作業(yè)：工程力學(xué)練習(xí)冊(cè)練習(xí)八練習(xí)八本課節(jié)小結(jié)本課節(jié)小結(jié)一、平衡方程的其它形式（注意限制條件）一、平衡方程的其它形式（注意限制條件） 平面固定端約束有兩個(gè)約束力FAx、FAy和一個(gè)約束力偶矩A。二、平面固定端約束二、平面固定端約束 1.均布載荷的合力均布載荷的合力FQ 均布載荷的合力FQ的大小等于均布載荷集度q與其分布長(zhǎng)度l的乘積，即

15、 FQ=ql三、均布載荷均布載荷一 矩 式二 矩 式三 矩 式:0 xF:0)(FMA:0yF:0)(FMA:0)(FMB:0 xF:0)(FMA:0)(FMB:0)(FMC 2.均布載荷求力矩：均布載荷求力矩： 均布載荷對(duì)平面上任意點(diǎn)O的力矩等于其合力FQ與分布長(zhǎng)度中點(diǎn)到矩心距離的乘積，即 M0(ql)=ql(x+l/2) 。 舊課復(fù)習(xí)舊課復(fù)習(xí) 課題課題33 33 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 1. 1.平面匯交力系平面匯交力系0)(00FMFy00yxFF 2. 2.平面力偶系平面力偶系 3. 3.平面平行力系平面平行力系 4. 4.平面任意力系平面任意力系 0)( FMO0)(000FM

16、FFyx 平面匯交力系有一組二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出二個(gè)未知數(shù)。 平面力偶系有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出一個(gè)未知數(shù)。 平面平行力系有一組二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出二個(gè)未知數(shù)。 平面任意力系有一組三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出三個(gè)未知數(shù)。 一、靜定與靜不定問題的概念一、靜定與靜不定問題的概念 課題課題33 33 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡1.1.靜定問題靜定問題 力系中未知數(shù)個(gè)數(shù)少于或等于獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)時(shí)，全部未知數(shù)可由獨(dú)立平衡方程解出，這類問題稱為靜定問題。靜定問題。 2.2.靜不定問題靜不定問題 力系中未知數(shù)個(gè)數(shù)多于獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)時(shí)，全部未知數(shù)不能完全由獨(dú)立平衡方程解出，這類問題稱為靜不定問題靜

17、不定問題。 靜定問題(3=3)靜不定問題(32)靜不定問題(32)靜定問題(3=3)靜定問題(3=3)靜不定問題(43)靜不定問題(43)平面任意力系平面平行力系平面匯交力系平面任意力系平面任意力系平面任意力系平面任意力系二、物體系統(tǒng)的平衡問題二、物體系統(tǒng)的平衡問題 1.1.物系物系 工程機(jī)械和結(jié)構(gòu)都是由若干個(gè)構(gòu)件通過一定約束聯(lián)接組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為物系。物系。 2.2.外力和內(nèi)力外力和內(nèi)力 系統(tǒng)外物體對(duì)系統(tǒng)的作用力稱為物系外力外力，系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力稱為物系內(nèi)力內(nèi)力。 3.3.物系平衡物系平衡 物系處于平衡，那么物系的各個(gè)構(gòu)件都處于平衡。因此在求解時(shí)，既可以選整個(gè)物系為

18、研究對(duì)象；也可以選單個(gè)構(gòu)件或部分構(gòu)件為研究對(duì)象。 例如例如求圖示結(jié)構(gòu)中AB、BC桿的約束力。 BCAFFFFBACFBxFByFBxFByFAxFAyFCyFCxBFFACFAxFAyFCyFCx6=6 6=6 例例3-9圖示為一靜定組合梁的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖。已知l=2m,均布載荷q=15kN/m，力偶M0=20kNm, 求A、B端約束力和C鉸鏈所受的力。 解：解：1.分別取AC、CB畫受力圖lll/2AM0qBCll/2M0qBCFCyFBFCxlACFCxFCyFAxFAyMA:0)(FMC0223lqllFB:0 xF0CxF:0yF0qlFFBCy 2.取CB列平衡方程求約束力kN1032

19、153qlFBkN2021510qlFFBCy:0)(FMA00lFMMCyA:0 xF0AxF:0yF0CyAyFF 3.取AC列平衡方程求約束力mkN20220200lFMMCyAkN20CyAyFF例例3-10 曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，F(xiàn)=5kN，試求曲柄OA上應(yīng)加多大的力偶矩才能使機(jī)構(gòu)平衡? 解解1 1：1.分別取曲柄OA、滑塊B畫受力圖FO10cm20cm10cmBAMF10cm20cm10cmOABMFABFBFABFOxFOy112tan,sin,cos255cos0ABFF 2.取滑塊B列平衡方程求約束力:0)(FMOsin0.1cos0.10ABABMFF 解解1 1：取O

20、A為研究對(duì)象:0 xF555.6kNcos2ABFF0sinABBFF:0yFkN5 . 2516 . 5sinABBFFmkN75. 01 . 0)5251(6 . 5M10cm20cm10cmOBAM解解2 2：取整體為研究對(duì)象FBFOxFOy:0)(FMO(0.10.2)0BMF2.5 (0.10.2)0.75kN mM F3-1 圖示為一靜定組合梁的力學(xué)簡(jiǎn)圖。作用集中力F，集中力偶M0, 畫AC、CB段的受力圖。 課堂練習(xí)課堂練習(xí)llABCM0F3-2 圖示結(jié)構(gòu)由AB、BC、DE桿組成。作用集中力F，畫AB、BC、DE 桿的受力圖。 aaaaABCDEF 課后作業(yè)：課后作業(yè)：工程力學(xué)練

21、習(xí)冊(cè)練習(xí)九練習(xí)九本課節(jié)小結(jié)本課節(jié)小結(jié)一、靜定與靜不定問題的概念一、靜定與靜不定問題的概念1.1.靜定問題靜定問題 力系中未知數(shù)的個(gè)數(shù)少于或等于獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)，全部未知數(shù)可由獨(dú)立平衡方程解出。二、物體系統(tǒng)的平衡問題二、物體系統(tǒng)的平衡問題 外力和內(nèi)力外力和內(nèi)力系統(tǒng)外物體對(duì)系統(tǒng)的作用力稱為物系外力外力，系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力稱為物系內(nèi)力內(nèi)力。 物系平衡物系平衡 物系處于平衡，那么物系的各個(gè)構(gòu)件都處于平衡。因此在求解時(shí)，既可以選整個(gè)物系為研究對(duì)象；也可以選單個(gè)構(gòu)件或部分構(gòu)件為研究對(duì)象。2.2.靜不定問題靜不定問題 力系中未知數(shù)個(gè)數(shù)多于獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)時(shí)，全部未知數(shù)不能完全由獨(dú)立平衡方程解出。

22、 一、滑動(dòng)摩擦的概念一、滑動(dòng)摩擦的概念 課題課題34 34 考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡 兩物體接觸面間產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)或具有相對(duì)滑具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，接觸面間就存在有阻礙相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的力，稱為滑動(dòng)摩擦力滑動(dòng)摩擦力。 1. 1.靜滑動(dòng)摩擦力（物體具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)所產(chǎn)生的摩擦力）靜滑動(dòng)摩擦力（物體具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)所產(chǎn)生的摩擦力）靜摩擦力介于零到最大（臨界）靜摩擦力之間即0FfFfmax 。FGF1GFNFf 靜摩擦定律靜摩擦定律 大量實(shí)驗(yàn)表明，臨界摩擦力的大小與物體接觸面間的正壓力成正比（即庫侖定律）。F2GFNFfFljGFNFfmax滑動(dòng)趨勢(shì)狀態(tài)臨界狀

23、態(tài)相對(duì)滑動(dòng)狀態(tài)NsfFFmax 2. 2.動(dòng)滑動(dòng)摩擦力（物體相對(duì)滑動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的摩擦力）動(dòng)滑動(dòng)摩擦力（物體相對(duì)滑動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的摩擦力）實(shí)驗(yàn)表明，動(dòng)滑動(dòng)摩擦力Ff的大小與接觸面間的正壓力FN成正比，即NfFF 為靜摩擦因數(shù) s 為動(dòng)摩擦因數(shù) 二、摩擦角與自鎖現(xiàn)象二、摩擦角與自鎖現(xiàn)象 1.1.全約束力全約束力FR 若將正壓力FN和靜摩擦力Ff兩力合成，其合力FR就代表了物體接觸面對(duì)物體的全部約束反作用，F(xiàn)R稱為全約束力全約束力。F1GFNFfFljGFNFfmaxsNNsNfmFFFFmaxtanFRFRmm2.2.摩擦角摩擦角m 最大全約束力FRm與法線之間的夾角稱為摩擦角摩擦角。此式表明摩擦角的正

24、切值等于摩擦因數(shù)摩擦角的正切值等于摩擦因數(shù)。 FljGFNFfmaxFRmm3.3.摩擦錐摩擦錐 摩擦角表示全約束力與法線間的最大夾角。若物體與支承面的靜摩擦因數(shù)在各個(gè)方向都相同，則這個(gè)范圍在空間就形成一個(gè)錐體，稱為摩擦錐。摩擦錐。 4.4.自鎖現(xiàn)象自鎖現(xiàn)象 全約束力作用線落在摩擦錐內(nèi)的這種現(xiàn)象稱為自鎖自鎖。自鎖的條件應(yīng)為：全約束力與法線的夾角小于或等于摩擦角全約束力與法線的夾角小于或等于摩擦角（在此（在此范圍內(nèi)增加外力時(shí)，物體將保持靜止）范圍內(nèi)增加外力時(shí)，物體將保持靜止） 。即mFR三、考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題三、考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題 求解考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題，除列出平衡方程外，還需

25、列出補(bǔ)充方程FfsFN。在臨界狀態(tài)，補(bǔ)充方程Ff=Ffmax=sFN（但不能隨意假定摩擦力的方向），故所得結(jié)果也將是平衡范圍的極限值。解：解：1.取AB為研究對(duì)象畫受力圖 例例3-11 3-11 圖示重G的梯子AB一端靠在鉛垂的墻壁上，另一端放在水平面上，A端摩擦不計(jì)，B端摩擦因數(shù)為s，試求維持梯子不致滑倒的最小min角。 lABGlABGFBFfFA:0)(FMBsincos02AlFlG:0 xF0fAFF:0yF0GFB 2.列平衡方程fAFF GFB 3.列補(bǔ)充方程GFFsBsf 4.聯(lián)立求解sincos2AlFlGfsincos2GFsincos2sGGs21tanmin1arctan2s 解：解：1.分別取鼓輪、制動(dòng)桿AB為研究對(duì)象畫受力圖。 例例3-12 3-12 圖示為一制動(dòng)裝置的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖。已知作用于鼓輪上的轉(zhuǎn)矩為，鼓輪與制動(dòng)片間的