誤差理論與測量平差基礎(chǔ)誤差橢圓

1、第十幸談菱楠hl第十章誤差橢圓§ 10-1概述§ 10-2點位誤差§10-3誤差曲線§ 10-4誤差橢§ 10-5園相對誤差橢§ 10-1概述待定點P的真實位置和平差位置之間存在差值:Ax = x xA A*4y = y-y)由此而產(chǎn)生的距離稱為P點的點位真誤差，簡稱真位差:第十幸i：平差后待定點的坐標(biāo)為（只50。且方差協(xié)方差矩陣為:坐標(biāo)的中誤差?和%,表示點位在X方向和y方向上的中誤差。一般地，b Wb、.，即點位在不同方向上的中誤差x y一般是不相等的。既然點位在不同方向上的中誤差不相等，就有必要研究點 位在任意方向0上的中誤差。

2、第十幸為此，將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一個角度。點位在任意方向。I： 的中誤差，就是點位在X'軸上的中誤差b-X第十章誤差情hl為此，下面就來求b1,。如圖，由相似變換公文得：( cos(p sin/丫'、(-sin。coswb應(yīng)用協(xié)方差便播德，每：，er： = cr； cos2sin2(p+ cr衿 sin2。J922 222ca; = cr; sin (p+ bf cos_ cp_ <7；- sin 2(p即點位在任意方向上的方差為沅=，,=b； (Qw cos2(p+ Qyy sin2 cp Qxy sin 2(p)( 1 )習(xí)慣上，稱點位在某方向上的方差為該方向上的位差。習(xí)題：

3、10.2.07i：第十章誤差情點位在任意方向0上的協(xié)因數(shù)為：=QyCos2 o + QyySil?。+Q),sin2。(2)將兩個垂直方向的位差相加，得：)2 z 22 x 2/2、)2b： + b , = <7(sin 夕+ cos- cp) + b、(sm- 0+ cos-=07 + b" ，9T上式表明點位在任意兩垂直方向上的方差之和為不變量O 為此，定義點位在兩垂直方向上的方差之和為點位方差:第十章誤差楠hi§ 10-2點位誤差1、點位中誤差b； = b： + cr? = b： & + Qyy）2、任意方向的位差* = b；, = b； （Qxx co

4、s2 cp + Qyy sin2（p+ Qxy sin 2（p）3、位差的極值方向與極值由于點位在不同方向上的位差大小不同，所以位差一定 有極值。為了尋求此極值的方向，將（2）式對（P求導(dǎo) 數(shù)，并令其為零，BU：第十章誤差楠。+ Qyy sin 2 0 + Qxy sin 2G = 0用外表示極值方向，則有：-2QV、cossin + 2Q“ sin(p0 cos% + 2Qxv cos2% = 0 即-(Cxt - Qyy)sin 2(pQ + 2Qxy cos200 =。于是有三角方程:因為tan20()2。°,2x - Qyy(3)tan2) = tan(初)+ 18(7)所以

5、（3）式有兩個解：2%和2%+ 18。則極值方 向也有兩個： 和。+90° ,即一個極大值方向，一 個極小值方向，旦極大值方向與極小值方向正交。第十章誤差楠hl既然%和0。+90°為極大值方向和極小值方向，那么哪 個是極大值方向？哪個乂是極小值方向呢？下面來討論 這個問題。將三角公式21 + COS2% 21 cos20。cos % -, bin 卬2 -代入（2）式，得：Q叱=（以匕等"+ Q,匕等% + e. sin 2/J=1（Qw + Qyy + （Qxx - Q».）cos2/。+ 22y sin 2G（，）=+ 2' +懸尸 2% +

6、 2Q“ sin 2*J=I fevx + Q» ）+ 2 卜吆 2 2% + l）cvr sin 2% hl第十章誤差楠（4）式的中括號內(nèi)有兩項，第一項恒大于零，第二項的 2（。喏、2/）+ 1）也恒大丁,零。 第二項中的Q”和sin 2%有正有 負(fù)。只有它們同號，第二項大于零，才能使。外仰取 極大值。當(dāng)它們異號時，第二項小于零，。仍例取極小值。當(dāng) 0° W 200Kl 8CT 即 0° W（Po < 90° T、j, sin物 N 0 ；當(dāng) 18。<皿 < 36Cfd|J 90°0。V180 時，sin她 <0.又因

7、為對于卬。和180+外,sin2%的符號不變，所以：當(dāng)2w>°時，極大值在一、三象限；極小值在二、四象限。當(dāng)Q°, vO時，極大值在二、四象限；極小值在一、三象限。用I cpE ± 1 8q/和cpF ± 1 8。表示極大值與極小值方向。 知道了極大值與極小值的方向，卜而再來研究極大值與極 小值的大小。將極大值方向心與極小值方向科代入（2）式，就可以 得到極大值與極小值。實用上，通常重新推導(dǎo)一套公式:因為_ 4.111sin 2% -土 / - sin -羽）= T- =J1 + C吆 2 2火）1 + ctg 2% + COS 2.sin, 2%

8、顧及tan200=*-QXX - Qyy得：sin 20（）= ± Jg-Q“）2 + 4。；將上式代入（4）式，并顧及。電2 2P+ 1=1,得：oiii 4= （2/ + 2,. ± J（*-Q»）2+4Q；）令：K = «QlQJ+4Q3A為算術(shù)平方根，恒大于零。則仃：。匹=&口+。.±幻用方表示位差的極大值，表示位差的極小值，則有:£2=。；。結(jié)。£=；。；（2，+。» + 長）（5）片= b；（Qj2、,_K）（5）式就是計算位差極大值與極小值的實用公式。第十幸徑差描hltan20（）-習(xí)題：10

9、.2.08第十幸徑差描極值方向當(dāng)0 0時，極大值在一、三象限; 極小值在二、四象限。當(dāng)c 八時，極大值在二、四象限;% <u極小值在一、三象限。:大值與極小值h_Qyyy+4Q；y石2=6；或%=:。：（0, + 0,¥ + 幻 尸=b；Qi, =gb：（Qs + Q”K）教材：10-14、以極值表示任意方向上的位差任意方向上的位差公式（1）式中的任意方向。是從X軸起 算的。若從極大值方向（E軸）起算，其公式會是怎樣 的呢？下面來推導(dǎo)。如圖，從X軸起算的任意方向。,若從極大值方向（E軸）J起算則為中o為了導(dǎo)出極值表入/示任意方向上的位差，分別以廠cos?公 和sin?0E 乘以

10、（5）y式的第一、第二式，并求和，得：360。"£E2 cos2(pt + F2 sin2 = b：(Q、+ Q,，+ Kcos 2孫)(6) 因為-2tan 2/o =所以22y_ sin 2(poCw - Qyy COS20o 'sin 2。0 = ±2Q”J(Q*-Q,v)2+4Q；cos2%QXX - Qyy2Q»2Q».J(2/-Q”)2+4Q：Qxx- Q”K將上式代入（6）式，得：E? 8s 2 經(jīng) + 尸 sin ?（Pe = ： b；（Q" + Qyy + Ql Q» ）= b；（ 7） 若分別以s

11、in?%,和cos?這 乘以（5）式的第一、第二 式，并求和，經(jīng)與以上同樣的推導(dǎo)，得：E sin 2 外 + 尸 8S(Pe= ； b；(Qj + Qvy - Qxx + Q、J= b； (8)Z,B- - -1一第十章誤差橫i：360、/（7）式和（8）式就是用極值反廠計算縱橫坐標(biāo)中誤差 的公式。若應(yīng)定彳壬何方向都由右軸起算，則縱坐標(biāo)軸X相對于E軸 的方位角為3605-痣（如圖）。故（7）式可寫為：rr; =E2 cos2（36G - z;）4-F2 sin2（36O - %）由于居m是以七軸起算的所有方向中 的一個特定方向，所以以£軸起算 的任意方向甲上的位差為： b。=E2 c

12、os2kP + F2sin2<P （9）（9）式就是以£軸為起算方向，用 極值公戶計算任意方向中上的位 差的實用公式。第十章誤差楠hl§10-3誤差曲線以極大值方向與極小值方向的交點為極點、以極大值方 向可極軸、以不同的方位角甲（山渤起算）和位差b+hl第十章誤差楠于碑J橢圓來近似表示（如圖），并稱此橢圓為點位誤§ 10.4誤差橢點位誤差曲線不是標(biāo)準(zhǔn)曲線，在計算機(jī)普遍使用之前作 圖不方便。為此，總是用一個長半軸等于笈 短半軸等 差橢圓，簡稱誤差橢圓。由圖知，此誤差橢圓僅由 長半軸仄短半軸八以及 長半軸四方位角9E確定。 因此，稱公尸和為誤 差橢圓的三個參數(shù)。

13、第十章諜差楠hl誤差橢圓除了在長軸 E、短軸上能精確表 示位差外,其它任何 方向都不能直接從誤 差橢圓上量取位差的 大小。要通過誤差橢圓得到 任意方向位差的大小, 其方法是：垂直任意方向中作 誤差橢圓的切線/科 則垂足至珊長度就 是任意方向中上的 位差，B|J 6P = or>第十章諜菱柚IaIT&蟲®IM芬叵 +|翅匐陰血引回曾|E!為工程省愛【"平翌計胃（6】同阻者理至行卦型口 檢帝計算4異系先冷口mIK5和1的 raw 希助TinConrert 1續(xù)平差R坐標(biāo)區(qū)帙軟Pt (Version 2 0 fr Vindovs 98BT2OO0) 改次降軌第十幸客

14、/7：5.”一二,若R理年竹按軟件7 C £。.1”，、9Bb'70<MHIttWStM K»3E«t) *«itM&網(wǎng)圉查看如里標(biāo)。旗【工】vtMCC»lQl x| 數(shù)熔至閱位XMMDR c>>3 j De Iwb 一 |B»§ 10-5相對誤差橢在平面控制網(wǎng)中，繪出各待定點的位誤差橢圓后，就可應(yīng)用點位誤 差橢圓圖解各待定點與已知點之間的邊長中誤差與方位角中誤差。 但不能用同樣的方法圖解待定點與待定點之間的邊長中誤差與方位 角中誤差。而在實際工作中，重要的卻是任意兩個待定點之間的相 對精度

15、。為此，仃必要研究任意兩個待定點之間的相對精度問題。設(shè)有任意兩個待定點 為：Pz.和號，它們的坐標(biāo)平差值的協(xié)因數(shù)矩陣<2XXQxxxixi。9乂QxiXjOy, 乂Qx/YiQ2Q*xjQxwQXiyjA，")Q%yj QxjYj yjyj >第十幸i：這兩個待定點的相對位置可通過平差后兩點的坐標(biāo)差來表示，即的0 1 o y 、總廠1。T。dN應(yīng)用協(xié)因數(shù)傳播律，得:Q&Ak Q&Av _、Q&Ar Qa)A、JQx兇 +Q,Xj _2q*x一 Qr亦一力+Q2 V - 2，- 2 V + Qx y人 f J,入，"J f、j J )(13

16、)、x)y)Qym + Qy»j - 2。居刀如果這兩個點中有一個為無誤差的已知點，比如乙點, 則以上協(xié)因數(shù)陣變?yōu)椋旱谑易x差梢i：(14)QaxAx Q ZxZ QaS.V Q ,由此可計算出P/點的點位誤差橢圓的3個參數(shù)?？梢姡?點位誤差橢圓或誤差曲線是相對于已知點而言的。當(dāng)P, 不是已知點，而是待定點時，所不同的只是協(xié)因數(shù)陣。 即協(xié)因數(shù)陣由(14)式變?yōu)?13)式。因此，用(13) 式中的元素計算的誤差橢圓的3個參數(shù)，就是待定點P. 相對于待定點P,的誤差橢圓參數(shù)，即tan20()=2Q&A'(15)E2=gb；(QA3+QdvAy + K)Q- Q尸=+ Q2

17、 K)K = J(4如-Qg.)2+4QjIII（15）式計算出誤差橢圓的3個參數(shù)后，就可按上節(jié)介 紹的方法繪制誤差曲線或誤差橢圓。這樣的誤差曲線或 誤差橢圓是待定點與相對于待定點E的誤差曲線或誤差 橢圓，故稱之為相對誤差曲線或相對誤差橢圓。舉例例1、已知尸點的協(xié)因數(shù)陣為：_ (Qxx Qxyy( 0.4494 -0.2082 回 evJ = t-0.2082 0.3806 八司單位權(quán)中誤差為4=5"。試求點位誤差橢圓的三個參數(shù)解:2Q”Q、-Q、0.4494-0.3806第十章談姜楠hi故： 2% =29。22'55 及 2念=2792255"所以 牝 =49&#

18、176;41'27.5 及 0o = 13g41'27.5因為Q*，=-0.2082V。,所以極大值方向在第二、四象 限；極小值方向在第一、三象限，即：經(jīng)=13941'27.5 或 =3ig41'275夕=49°427.5 或 =22941'27.5"又因為E2 =(3.44944-0.3806+ /(0.4494-O.38O2 + 4x(-0.2082 )= 15.65062F2 =6.4494+0.3806-J(0.44940.380®2 +4x (-0.208對二 5.0994所以E = 3.96cm, F = 2.2

19、6cm于是得點位誤差：o-； =E2+F2 =15.6506+5.0994= 20.750Q b“ = 4.55cm2.差:例位解數(shù)據(jù)同例1,試計算方位角為155度（由X軸起算）上的（1）式計算:£ = o-(Qxx cos-(p+ Qyy sin2(p+Qxy sin 2。)= 52(0.4494:os2155> +0.3806sin2155 -0.2082sin31(J= 14.915% = 3.86cm按(9)式計算：¥ = 15S -13954r27.5" = 15° 1832.5"故 = E- cos2 T + F2sin2T=

20、15.6506cos2l 5°1832.5"+ 5.0994sin21501832.5"=14.915cm例3、設(shè)單位權(quán)中誤差為b0=5，片點和乙點的協(xié)因 數(shù)陣為：0.004494 -0.002082-0.000952-0.001553(cm/s)2-0.002082 0.003806 0.002531 0.002931-0.000952 0.002531 0.007121 0.003332-0.001553 0.002931 0.003332 0.003784；試?yán)L出P、點和P2點的點位誤差橢圓和相對誤差橢圓, 并從圖上量取兩點的相對位置精度。解：的點位誤差橢圓

21、參數(shù)為：極值方向:tan 20oi 解得：2amQxxXl Qylyl2z(-0.(X)2082)=.6()52326O.(X)4494 0.0038()60 =13041'和=22941'第十幸誤差橫hi因為Q、V0,所以極大值方向在第二、四象限，即(pr =1341' 或 外 =2241'極值:IIK、= 7(0.004494 - 0.003806 )2 + 4 x (-0.002086 )2 = 0.004228E； = 52x (0.00 4 4 94f 0.003806b 0.004223/2 = 0.156604 片=0.40cmA；2 = 52x(0.0044940.003806-0.004229/2=0.05090Q £ =0.23cmP2的點位誤差橢圓參數(shù)為:極值方向： tan 2%2 =解得：2Qe2 x 0.003332)O.(X)7121 -O.(X)3784=1.997(X)3cpg = 3 V42'不口= 1 2 l042r因為24>0,所以極大值方向在