（整理版）　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1、2 2. .4 4. .2 2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 雙基達(dá)標(biāo) 限時(shí) 20 分鐘 1經(jīng)過(guò)拋物線y22x的焦點(diǎn)且平行于直線 3x2y50 的直線l的方程是 ( ) a6x4y30 b3x2y30 c2x3y20 d2x3y10 解析 設(shè)直線l的方程為 3x2yc0， 拋物線y22x的焦點(diǎn)f(12， 0)， 所以 31220 c0， 所以c32，故直線l的方程是 6x4ya. 答案 a 2過(guò)點(diǎn)(1，0)作斜率為2 的直線，與拋物線y28x交于a，b兩點(diǎn)，那么弦ab的長(zhǎng)為 ( ) a213 b215 c217 d219 解析 不妨設(shè)a，b兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2

2、)，其中x1x2.由直線ab斜率為2， 且過(guò)點(diǎn)(1，0)得直線ab的方程為y2(x1)，代入拋物線方程y28x得 4(x1)28x， 整理得x24x10， 解得x12 3，x22 3， 代入直線ab方程得y122 3， y22 3a(23，223)，b(23，232) |ab|x1x22y1y22215. 答案 b 3拋物線y22px(p0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為 1 的直線交拋物線于a，b兩點(diǎn)，假設(shè)線段ab的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 2， 那么該拋物線的準(zhǔn)線方程為 ( ) ax1 bx1 cx2 dx2 解析 拋物線的焦點(diǎn)為f(p2，0)，所以過(guò)焦點(diǎn)且斜率為 1 的直線方程為yxp2，即xy p2，代入y

3、22px得y22p(yp2)2pyp2，即y22pyp20，由根與系數(shù)的關(guān)系得 y1y22p2(y1，y2分別為點(diǎn)a，b的縱坐標(biāo))，所以拋物線方程為y24x，準(zhǔn)線方程為x 1. 答案 b 4拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以y軸為對(duì)稱軸，過(guò)焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為 16，那么拋物線方程為_(kāi) 解析 過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸y軸垂直的弦長(zhǎng)等于p的 2 倍 所求拋物線方程為x216y. 答案 x216y 5o為坐標(biāo)原點(diǎn)，f為拋物線y24x的焦點(diǎn)，a是拋物線上一點(diǎn)，假設(shè)oaaf4，那么點(diǎn)a的坐標(biāo)是_ 解析 拋物線的焦點(diǎn)為f(1，0)，設(shè)a(y024，y0)， 那么oa(y024，y0)，af(1y024，y0)， 由o

4、aaf4，得y02， 點(diǎn)a的坐標(biāo)是(1，2)或(1，2) 答案 (1，2)或(1，2) 6求適合以下條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 4； (2)頂點(diǎn)是雙曲線 16x29y2144 的中心，準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，且垂直于坐標(biāo)軸 解 (1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)的圖形易知：頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p2，故p24，p8.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x或x216y. (2)雙曲線方程 16x29y2144 化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x29y2161，中心為原點(diǎn)，左頂點(diǎn)為(3，0)，故拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為xy22px(p0)，可得p23，故p6.因此，所求拋物線

5、的標(biāo)準(zhǔn)方程為y212x. 綜合提高限時(shí) 25 分鐘 7直線yk(x2)(k0)與拋物線c：y28x相交于a，b兩點(diǎn)，f為c的焦點(diǎn)假設(shè)|fa|2|fb|，那么k ( ) a.13 b.23 c.23 d.223 解析 設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20， 由ykx2，y28x，得k2x2(4k28)x4k20， x1x24， |fa|x1p2x12， |fb|x2p2x22，且|fa|2|fb|， x12x22. 由得x21， b(1，22)，代入yk(x2)，得k223.應(yīng)選 d. 答案 d 8過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)f的直線與拋物線相交于m，n兩

6、點(diǎn)，自m，n向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為m1，n1，那么m1fn1等于 ( ) a45 b60 c90 d120 解析 如圖，由拋物線的定義， 得|mf|mm1|，|nf|nn1|. mfm1mm1f， nfn1nn1f. 設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為f1， mm1ff1nn1， mm1fm1ff1， nn1fn1ff1. 而mfm1m1ff1nfn1n1ff1180， 2m1ff12n1ff1180，即m1fn190. 答案 c 9邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形aob，o為原點(diǎn)，abx軸，以o為頂點(diǎn)，且過(guò)a，b的拋物線方程是_ 解析 該等邊三角形的高為32.因而a點(diǎn)坐標(biāo)為32，12或32，12.可設(shè)拋物線

7、方 程為y22px(p0)a在拋物線上，因而p312.因而所求拋物線方程為y236x. 答案 y236x 10設(shè)拋物線c的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為f(1，0)直線l與拋物線c相交于a、b兩點(diǎn)，假設(shè)ab的中點(diǎn)為(2，2)，那么直線l的方程為_(kāi) 解析 拋物線的方程為y24x， 設(shè)直線l與拋物線c的交點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)， 那么有x1x2，y124x1，y224x2. 兩式相減得，y12y224(x1x2)， y1y2x1x24y1y21， 直線l的方程為y2x2，即yx. 答案 yx 11頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線y2x1 截得的弦長(zhǎng)為 15，求拋物線的方程 解 設(shè)拋物線

8、的方程為y22px， 那么y22px，y2x1，消去y，得 4x2(2p4)x10，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)， x1x2 p22，x1x214. |ab|1k2|x1x2| 5 x1x224x1x2 5p22241415. 那么p24p3，p24p120， p2 或 6.y24x或y212x. 12 (創(chuàng)新拓展)如圖， aob的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線y22x的頂點(diǎn)o，a、b兩點(diǎn)都在拋物線上，且aob90. (1)證明直線ab必過(guò)一定點(diǎn)； (2)求aob面積的最小值 (1)證明 設(shè)oa所在直線的方程為ykx(k0)，那么直線ob的方程為y1kx， 由ykx，y22x，解得x0，y0，或x2k2，y2k， 即a點(diǎn)的坐標(biāo)為(2k2，2k) 同樣由y1kx，y22x，解得b點(diǎn)的坐標(biāo)為(2k2，2k) ab所在直線的方程為y2k2k2k2k22k2(x2k2)， 化簡(jiǎn)并整理，得(1kk)yx2. 不管實(shí)數(shù)k取任何不等于 0 的實(shí)數(shù)，當(dāng)x2 時(shí)，恒有y0. 故直線過(guò)定點(diǎn)p(2，0) (2)解 由于ab所在直線過(guò)定點(diǎn)p(2，0)，所以可設(shè)ab所在直線的方程為xmy2. 由xmy2，y