3-8切比雪夫不等式與大數(shù)定律

1、3.8 3.8 切比雪夫不等式與大數(shù)定律切比雪夫不等式與大數(shù)定律重點(diǎn)：1） chebyshev 不等式2） 大數(shù)定律概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律.或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，則越小，則事件事件|X-E(X)| 0 ，有，有 定理定理3（貝努里大數(shù)定律）（貝努里大數(shù)定律） 伯努利伯努利lim |0AnnPpn=證明證明12( ,),AAnnb n pnXXX=因 為由 此 可 表 示 為0 1.()()(1),kkpE XpD Xpp=其中相互獨(dú)立，且都服從以 以為參數(shù)的（）分布因而，由定理2即得121lim |

2、()|1nnPXXXpn=lim |AnnPpn 證畢證畢注注 貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)n充分充分大時，事件大時，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率nA/n與事件與事件A的概率的概率p有較有較大偏差的概率很小大偏差的概率很小.lim|0AnnPpn=或或.事件發(fā)生的頻率可以代替事件的概率下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在不要求隨機(jī)變量的方差存在. 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對于任意正數(shù)

3、則對于任意正數(shù) ，有，有定理定理4（辛欽大數(shù)定律）（辛欽大數(shù)定律）11lim|1niniPXnm=辛欽辛欽 1、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑值提供了一條實(shí)際可行的途徑.注注2、伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況、伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況.3、辛欽定理具有廣泛的適用性、辛欽定理具有廣泛的適用性. 要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量 ，要收割某些有代表性塊，例如要收割某些有代表性塊，例如n 塊塊地地. 計算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)計算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較較大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝大時，可用它作為整個地區(qū)平均

4、畝產(chǎn)量的一個估計產(chǎn)量的一個估計.三、小結(jié)三、小結(jié)大大數(shù)數(shù)定定律律 大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性平均結(jié)果的穩(wěn)定性2()()kkE XD Xm=()kE Xm= ( , )Anb n plim |1AnnPpn=伯努利大數(shù)定律11lim |1niniPXnm=切比雪夫大數(shù)定律11lim | 1niniPXnm=辛欽大數(shù)定律 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(),E Xm=方差2(),D X=則由切比雪夫不等式，有(3 )_.P Xm解：解：(3 )P Xm=()3 )P XE X2()(3 )D X思考題思考題3.8 切比雪夫不等式與大數(shù)定律221.99=122m m 解：解：)(2iXE 2)()(iiXEXD