《三角恒等變換》word版

1、.第三章 三角恒等變換一、課標(biāo)要求：本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換.三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上.通過本章學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力，使學(xué)生體會(huì)三角恒等變換的工具性作用，學(xué)會(huì)它們?cè)跀?shù)學(xué)中的一些應(yīng)用.1. 了解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用；2. 理解以兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系； 3. 運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、和

2、差化積公式（不要求記憶）作為基本訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步提高運(yùn)用轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問題的自覺性，體會(huì)一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的應(yīng)用.二、編寫意圖與特色1. 本章的內(nèi)容分為兩節(jié)：“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，“簡(jiǎn)單的三角恒等變換”，在學(xué)習(xí)本章之前我們學(xué)習(xí)了向量的相關(guān)知識(shí)，因此作者的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，運(yùn)用向量的知識(shí)來予以證明，降低了難度，使學(xué)生容易接受；2. 本章是以兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)來推導(dǎo)其它的公式；3. 本章在內(nèi)容的安排上有明暗兩條線，明線是建立公式，學(xué)會(huì)變換，暗線是發(fā)展推理和運(yùn)算的能力，因此在本章全部?jī)?nèi)容的安排上，特別注意恰時(shí)

3、恰點(diǎn)的提出問題，引導(dǎo)學(xué)生用對(duì)比、聯(lián)系、化歸的觀點(diǎn)去分析、處理問題，強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)設(shè)計(jì)變換思路的意識(shí)；4. 本章在內(nèi)容的安排上貫徹“刪減繁瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末葉的內(nèi)容”的理念，嚴(yán)格控制了三角恒等變換及其應(yīng)用的繁、難程度，尤其注意不以半角公式、積化和差、和差化積公式作為變換的依據(jù)，而只把這些公式的推導(dǎo)作為變換的基本練習(xí).三、教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排建議本章教學(xué)時(shí)間約8課時(shí)，具體分配如下：3.1兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式 約3課時(shí)3.2簡(jiǎn)單的恒等變換 約3課時(shí)復(fù)習(xí) 約2課時(shí)§3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式一、課標(biāo)要求：本節(jié)的中心內(nèi)容是建立相關(guān)的十

4、一個(gè)公式，通過探索證明和初步應(yīng)用，體會(huì)和認(rèn)識(shí)公式的特征及作用.二、編寫意圖與特色本節(jié)內(nèi)容可分為四個(gè)部分，即引入，兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應(yīng)用，和差公式的探索、證明和初步應(yīng)用，倍角公式的探索、證明及初步應(yīng)用.三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1. 重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立探索和討論交流，導(dǎo)出兩角和差的三角函數(shù)的十一個(gè)公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，為運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換打好基礎(chǔ)；2. 難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索與證明.3.1.1 兩角差的余弦公式一、教學(xué)目標(biāo)掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡(jiǎn)單運(yùn)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎(chǔ).二、教學(xué)重、難點(diǎn)1. 教

5、學(xué)重點(diǎn)：通過探索得到兩角差的余弦公式；2. 教學(xué)難點(diǎn)：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)，這里不僅有學(xué)習(xí)積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識(shí)是否已經(jīng)具備的問題，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和方法的能力問題，等等.三、學(xué)法與教學(xué)用具 1. 學(xué)法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué) 2. 教學(xué)用具：多媒體四、教學(xué)設(shè)想：（一）導(dǎo)入：我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道 ，由此我們能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？根據(jù)我們?cè)诘谝徽滤鶎W(xué)的知識(shí)可知我們的猜想是錯(cuò)誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式（二）探討過程：在第一章三角函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中我們知道，在設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，等于角與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以用角的余弦線來表示，大家思考：怎樣構(gòu)造角和

6、角？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來.）展示多媒體動(dòng)畫課件，通過正、余弦線及它們之間的幾何關(guān)系探索與、之間的關(guān)系，由此得到，認(rèn)識(shí)兩角差余弦公式的結(jié)構(gòu). 思考：我們?cè)诘诙聦W(xué)習(xí)用向量的知識(shí)解決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識(shí)來證明？提示：1、結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個(gè)向量，它們是怎樣表示的？2、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計(jì)算公式得到探索結(jié)果？展示多媒體課件比較用幾何知識(shí)和向量知識(shí)解決問題的不同之處，體會(huì)向量方法的作用與便利之處.思考：，再利用兩角差的余弦公式得出（三）例題講解例1、利用和、差角余弦公式求、的值.解：分析：把、構(gòu)造成兩個(gè)特殊角的和、差. 點(diǎn)評(píng)：把一個(gè)具

7、體角構(gòu)造成兩個(gè)角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.例2、已知，是第三象限角，求的值.解：因?yàn)椋纱说糜忠驗(yàn)槭堑谌笙藿?，所以所?點(diǎn)評(píng)：注意角、的象限，也就是符號(hào)問題.（四）小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角差的余弦公式，首先要認(rèn)識(shí)公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導(dǎo)過程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角、的象限，也就是符號(hào)問題，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.（五）作業(yè)：（胡仕偉）§3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式一、教學(xué)目標(biāo)理解以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)兩角和、差正弦和正切公式的方法，體會(huì)三角恒等變換特點(diǎn)的過程，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用.二、教學(xué)重、難點(diǎn)1.

8、 教學(xué)重點(diǎn)：兩角和、差正弦和正切公式的推導(dǎo)過程及運(yùn)用；2. 教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運(yùn)用.三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：研討式教學(xué)四、教學(xué)設(shè)想： （一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和與差的余弦公式： ；這是兩角和與差的余弦公式，下面大家思考一下兩角和與差的正弦公式是怎樣的呢？提示：在第一章我們用誘導(dǎo)公式五（或六）可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，這對(duì)我們解決今天的問題有幫助嗎？讓學(xué)生動(dòng)手完成兩角和與差正弦和正切公式.讓學(xué)生觀察認(rèn)識(shí)兩角和與差正弦公式的特征，并思考兩角和與差正切公式.（學(xué)生動(dòng)手）通過什么途徑可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同時(shí)除以，得到注意：以上

9、我們得到兩角和的正切公式，我們能否推倒出兩角差的正切公式呢？注意：（二）例題講解例1、已知是第四象限角，求的值.解：因?yàn)槭堑谒南笙藿?，得?，于是有 兩結(jié)果一樣，我們能否用第一章知識(shí)證明？例2、利用和（差）角公式計(jì)算以下各式的值：（1）、；（2）、；（3）、解：分析：解此類題首先要學(xué)會(huì)觀察，看題目當(dāng)中所給的式子與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式中哪個(gè)相象.（1）、；（2）、；（3）、例3、化簡(jiǎn)解：此題與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式不相象，但我們能否發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？ 思考：是怎么得到的？，我們是構(gòu)造一個(gè)叫使它的正、余弦分別等于和的.小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差正弦、余弦和正切公

10、式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.作業(yè)：1、 已知求的值（）2、 已知，求的值（胡仕偉）§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教學(xué)目標(biāo)以兩角和正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用.二、教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式；教學(xué)難點(diǎn)：二倍角的理解及其靈活運(yùn)用.三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：研討式教學(xué)四、教學(xué)設(shè)想：（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和的正弦、余弦和正切公式，；我們由此能否得到的公式呢？（學(xué)生自己動(dòng)手，把上述公式中看成即可），（二）公式推導(dǎo)

11、：；思考：把上述關(guān)于的式子能否變成只含有或形式的式子呢？；注意： （三）例題講解例1、已知求的值解：由得又因?yàn)橛谑牵焕?、已知求的值解：，由此得解得或（四）小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.（五）作業(yè)：（胡仕偉）3.2 簡(jiǎn)單的三角恒等變換（3個(gè)課時(shí)）一、課標(biāo)要求：本節(jié)主要包括利用已有的十一個(gè)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，以及三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用二、編寫意圖與特色本節(jié)內(nèi)容都是用例題來展現(xiàn)的通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析，促使學(xué)生形成對(duì)解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中

12、表達(dá)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力三、教學(xué)目標(biāo)通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析，促使學(xué)生形成對(duì)解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中表達(dá)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生以已有的十一個(gè)公式為依據(jù)，以推導(dǎo)積化和差、和差化積、半角公式的推導(dǎo)作為基本訓(xùn)練，學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會(huì)三角變換的特點(diǎn)，提高推理、運(yùn)算能力教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，

13、不斷提高從整體上把握變換過程的能力五、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：講授式教學(xué)六、教學(xué)設(shè)想： 學(xué)習(xí)和（差）公式，倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行變換的性工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富，這為我們的推理、運(yùn)算能力提供了新的平臺(tái)下面我們以習(xí)題課的形式講解本節(jié)內(nèi)容例1、試以表示解：我們可以通過二倍角和來做此題因?yàn)椋梢缘玫剑灰驗(yàn)?，可以得到又因?yàn)樗伎迹捍鷶?shù)式變換與三角變換有什么不同？代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換對(duì)于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會(huì)有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，這是三

14、角式恒等變換的重要特點(diǎn)例、求證：（）、；（）、證明：（）因?yàn)楹褪俏覀兯鶎W(xué)習(xí)過的知識(shí)，因此我們從等式右邊著手；兩式相加得；即；（）由（）得；設(shè)，那么把的值代入式中得思考：在例證明中用到哪些數(shù)學(xué)思想？例 證明中用到換元思想，（）式是積化和差的形式，（）式是和差化積的形式，在后面的練習(xí)當(dāng)中還有六個(gè)關(guān)于積化和差、和差化積的公式例、求函數(shù)的周期，最大值和最小值解：這種形式我們?cè)谇懊嬉娺^，所以，所求的周期，最大值為，最小值為點(diǎn)評(píng)：例是三角恒等變換在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的舉例，它使三角函數(shù)中對(duì)函數(shù)的性質(zhì)研究得到延伸，表達(dá)了三角變換在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式中的作用小結(jié)：此節(jié)雖只安排一到兩個(gè)課時(shí)的時(shí)間，但也是非常重要的內(nèi)容，我們

15、要對(duì)變換過程中表達(dá)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用作業(yè)：三角恒等變換復(fù)習(xí)課（2個(gè)課時(shí)）cos（-）=coscos+sinsincos（+）=coscos-sinsinsin（+）=sincos+cossinsin（-）=sincos-cossintan（+）= tan（-）= sin2=2sincoscos2=cos2- sin2 =2cos2-1=1-2 sin2tan2= 一、教學(xué)目標(biāo)進(jìn)一步掌握三角恒等變換的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式與二倍角公式，對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和證明：二、知識(shí)與方法：1. 11個(gè)三角恒等變換公式中，余弦的差角公式是其它公式的

16、基礎(chǔ)，由它出發(fā)，用-代替、±代替、=等換元法可以推導(dǎo)出其它公式。你能根據(jù)以下圖回顧推導(dǎo)過程嗎？2化簡(jiǎn)，要求使三角函數(shù)式成為最簡(jiǎn)：項(xiàng)數(shù)盡量少，名稱盡量少，次數(shù)盡量底，分母盡量不含三角函數(shù)，根號(hào)內(nèi)盡量不含三角函數(shù)，能求值的求出值來；3求值，要注意象限角的范圍、三角函數(shù)值的符號(hào)之間聯(lián)系與影響，較難的問題需要根據(jù)上三角函數(shù)值進(jìn)一步縮小角的范圍。4證明是利用恒等變換公式將等式的左邊變同于右邊，或右邊變同于，或都將左右進(jìn)行變換使其左右相等。5. 三角恒等變換過程與方法，實(shí)際上是對(duì)三角函數(shù)式中的角、名、形的變換，即（1）找差異：角、名、形的差別；（2）建立聯(lián)系：角的和差關(guān)系、倍半關(guān)系等，名、形之間

17、可以用哪個(gè)公式聯(lián)系起來；（3）變公式：在實(shí)際變換過程中，往往需要將公式加以變形后運(yùn)用或逆用公式，如升、降冪公式， cos= coscos（-）- sinsin（-），1= sin2+cos2，=tan（450+300）等。例題例1 已知sin（+）=，sin（-）=，求的值。例2求值：cos24°sin6°cos72°例3 化簡(jiǎn)（1）；（2）sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2。例4 設(shè)為銳角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求證：+2=。例5 如下圖，某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠，為降低成本，必須盡量減少水與水渠壁

18、的接觸面。若水渠斷面面積設(shè)計(jì)為定值m，渠深8米。則水渠壁的傾角應(yīng)為多少時(shí)，方能使修建的成本最低？8A E D B C分析：解答此題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，作出橫斷面的圖形，要減少水與水渠壁的接觸面只要使水與水渠斷面周長(zhǎng)最小，利用三角形的邊角關(guān)系將傾角為和橫斷面的周長(zhǎng)L之間建立函數(shù)關(guān)系，求函數(shù)的最小值必修4第三章三角恒等變換一、選擇題1、的值為 （）2、函數(shù)的周期為 （）3、已知，則等于（）4、化簡(jiǎn)，其結(jié)果是（）5.等于 （ ）6. 的值為 ( )7. 已知為第三象限角，則 （ ） 8. 若，則為 （ ） 9. 已知銳角滿足，則等于 （ ） 10. 以下函數(shù)f(x)與g(x)中，不能表

19、示同一函數(shù)的是（）二、填空題11. 已知cos=,且,則cos( )=.12. 已知，則.13. 的值是 .14. 中，則= .三、解答題15. 求函數(shù)在上的最值.16. 已知，為銳角，求.17. 已知，求證：.18. 已知函數(shù)（其中），求：函數(shù)的最小正周期; 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; 函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心參考答案：一、選擇題題號(hào)12345678910答案BDCACBBACD二、填空題11. 12. 13. 14. 三、解答題15. ymax=, ymin=3 16. 17. 略 18. (1) (2)增區(qū)間：，減區(qū)間：，其中Z (3)對(duì)稱軸方程： 對(duì)稱中心：，其中Z12345678910111

20、21314151617181819202123集合 在初中數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)接觸過“集合”一詞在初中代數(shù)里學(xué)習(xí)數(shù)的分類時(shí)，就用到“正數(shù)的集合”，“負(fù)數(shù)的集合”等此外，對(duì)于一元一次不等式2x-13，所有大于2的實(shí)數(shù)都是它的解我們也可以說，這些數(shù)組成這個(gè)不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱為這個(gè)不等式的解集在初中幾何里學(xué)習(xí)圓時(shí)，說圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合幾何圖形都可以看成點(diǎn)的集合一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱集例如，“我?；@球隊(duì)的隊(duì)員”組成一個(gè)集合；“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”也組成一個(gè)集合我們一般用大括號(hào)表示集合，上面的兩個(gè)集合就可以分別表示成我校籃球隊(duì)的隊(duì)員與太平洋，大西

21、洋，印度洋，北冰洋為了方便起見，我們還經(jīng)常用大寫的拉丁字母表示集合例如，A=太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，B=1，2，3，4，5下面是一些常用的數(shù)集及其記法全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N，非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也稱正整數(shù)集，表示成N*或N+；全體整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱整數(shù)集，記作Z；全體有理數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱有理數(shù)集，記作Q；全體實(shí)數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱實(shí)數(shù)集，記作R集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素例如，“地球上的四大洋”這一集合的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋集合的元素常用小寫的拉丁字母表示如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作aA；如果a不是集合A的元素

22、，就說a不屬例如，設(shè)B=1，2，3，4，5，那么集合中的元素必須是確定的這就是說，給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素也就確定了例如，給出集合地球上的四大洋，它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四個(gè)元素，其他對(duì)象都不是它的元素又如，“我國(guó)的小河流”就不能組成一個(gè)集合，因?yàn)榻M成它的對(duì)象是不確定的集合中的元素又是互異的這就是說，集合中的元素是沒有重復(fù)現(xiàn)象的，任何兩個(gè)相同的對(duì)象在同一個(gè)集合中時(shí)，只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素練習(xí) 1(口答)說出下面集合中的元素：(1)大于3小于11的偶數(shù)；(2)平方等于1的數(shù)；(3)15的約數(shù)2用符號(hào)或 填空： 集合的表示方法，常用的有列舉法和描述法

23、列舉法是把集合中的元素一一列舉出來的方法例如，由方程x2-1=0的所有的解組成的集合，可以表示為-1，1注 集合-1，1的元素有2個(gè)一般地，含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集又如，由所有大于0且小于10的奇數(shù)組成的集合，可以表示為1，3，5，7，9描述法是用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法例如，不等式x-32的解集可以表示為xR|x-32，我們約定，如果從上下文看，xR是明確的，那么這個(gè)集合也可以表示為x|x-32集合x|x-32的元素有無限個(gè)一般地，含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集又如，所有直角三角形的集合，可以表示為x|x是直角三角形再看一個(gè)例子，由方程x2+1=0的所有實(shí)數(shù)解組成的

24、集合，可以表示為xR|x2+1=0，這個(gè)集合是沒有元素的一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作 為了形象地表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合例如，圖1-1表示任意一個(gè)集合A；圖1-2表示集合1，2，3，4，5 練習(xí) 1用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽韵录?，然后說出它們是有限集還是無限集：(1)由大于10的所有自然數(shù)組成的集合；(2)由24與30的所有公約數(shù)組成的集合；(3)方程x2-4=0的解的集合；(4)由小于10的所有質(zhì)數(shù)組成的集合2用描述法表示以下集合，然后說出它們是有限集還是無限集：(1)由4與6的所有公倍數(shù)組成的集合；(2)所有正偶數(shù)組成的集

25、合；(3)方程x2-2=0的解的集合；(4)不等式4x-65的解集電子課文·子集、全集、補(bǔ)集 1子集在集合與集合之間，存在著“包含”與“相等”的關(guān)系先看集合與集合之間的“包含”關(guān)系設(shè)A=1，2，3，B=1，2，3，4，5，集合A是集合B的一部分，我們就說集合B包含集合A一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，記作A B(或B A)這時(shí)我們也說集合A是集合B的子集當(dāng)集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時(shí)，則記作A B(或B A)我們規(guī)定：空集是任何集合的子集也就是說，對(duì)于任何一個(gè)集合A，有A再看集合與集

26、合之間的“相等”關(guān)系設(shè)A=x|x2-1=0，B=-1，1，集合A與集合B的元素是相同的，我們就說集合A等于集合B一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A=B由集合的“包含”與“相等”的關(guān)系，可以得出下面的結(jié)論(1)對(duì)于任何一個(gè)集合A，因?yàn)樗娜魏我粋€(gè)元素都屬于集合A本身，所以A A，也就是說，任何一個(gè)集合是它本身的子集我們常常涉及“真正的子集”的問題對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果A B，并且AB，我們就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)用圖形表示如圖1-3顯然，空集是任何非空集合的真

27、子集容易知道，對(duì)于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C事實(shí)上，設(shè)x是集合A的任意一個(gè)元素，因?yàn)锳 B，所以xB，又因?yàn)锽 C，所以xC，從而A C同樣可知，對(duì)于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C(2)對(duì)于集合A，B，如果A B，同時(shí)B A，那么A=B例1 寫出集合a，b的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集解：集合a，b的所有的子集是 ，a，b，a，b，其中 ，a，b是a，b的真子集例2 解不等式x-32，并把結(jié)果用集合表示解：x5，原不等式的解集是x|x5練習(xí) 1寫出集合a，b，c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集2用適當(dāng)?shù)姆?hào)(， ，=， ， )填空

28、：(1)a_a；(2)a_a，b，c；(3)d_a，b，c；(4)a_a，b，c；(5)a，b_b，a；(6)3，5_1，3，5，7；(7)2，4，6，8_(2，8；(8) _1，2，3(2)解不等式3x+24x-1，并把結(jié)果用集合表示 2全集與補(bǔ)集看一個(gè)例子設(shè)集合S是全班同學(xué)的集合，集合A是班上所有參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)的同學(xué)的集合，而集合B是班上所有沒有參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)的同學(xué)的集合，那么這三個(gè)集合有什么關(guān)系呢?容易看出，集合B就是集合S中除去集合A之后余下來的集合一般地，設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集(即A S)，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)，記作 SA，即SA=

29、x|xS，且x A圖1-4中的陰影部分表示A在S中的補(bǔ)集 SA例如，如果S=1，2，3，4，5，6 ，A=1，3，5，那么SA=2，4，6如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集，全集通常用U表示例如，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論問題時(shí)，可以把實(shí)數(shù)集R看作全集U，那么，有理數(shù)集Q的補(bǔ)集 UQ是全體無理數(shù)的集合練習(xí) 1填空：如果S=x|x是小于9的正整數(shù)，A=1，2，3，B=3，4，5，6，那么 SA=_， SB=_2填空：(1)如果全集U=Z，那么N的補(bǔ)集 UN=_；(2)如果全集U=R，那么 UQ的補(bǔ)集 U( UQ)=_ 電子課文·交集、并集 看下面

30、的三個(gè)圖圖1-5(1)中給出了兩個(gè)集合A與B，集合A與B的公共部分就叫做集合A與B的交(圖1-5(2)的陰影部分)，集合A與B合并到一起得到的集合就叫做集合A與B的并(圖1-5(3)的陰影部分)一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作AB(讀作“A交B”)，即AB=x|xA，且xB而由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A與B的并集，記作AB(讀作“A并B”)，即AB=x|xA，或xB例1 設(shè)A=x|x-2，B=x|x3，求AB解：AB=x|x-2x|x3=x|-2x3例2 設(shè)A=x|x是等腰三角形，B=x|x是直角三角形，求AB解：AB=x

31、|x是等腰三角形x|x是直角三角形=x|x是等腰直角三角形例3 設(shè)A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，求AB解：AB=4，5，6，83，5，7，8=3，4，5，6，7，8注 集合中的元素是沒有重復(fù)現(xiàn)象的，在兩個(gè)集合的并集中，原兩個(gè)集合的公共元素只能出現(xiàn)一次，不要寫成AB=3，4，5，5，6，7，8，8例4 設(shè)A=x|x是銳角三角形，B=x|x是鈍角三角形，求AB解：AB=x|x是銳角三角形x|x是鈍角三角形=x|x是斜三角形例5 設(shè)A=x|-1x2，B=x|1x3，求AB解：AB=x|-1x2x|1x3=x|-1x3練習(xí) 1設(shè)A=3，5，6，8，B=4，5，7，8，(1)求AB，

32、AB；(2)用適當(dāng)?shù)姆?hào)( ， )填空：AB_A，B_AB，AB_A，AB_B，AB_AB2設(shè)A=x|x5，B=x|x0，求AB3設(shè)A=x|x是銳角三角形，B=x|x是鈍角三角形 ，求AB4設(shè)A=x|x-2，B=x|x3，求AB5設(shè)A=x|x是平行四邊形，B=x|x是矩形，求AB 由交集定義容易知道，對(duì)于任何集合A，B，有AA=A，A = ，AB=BA由并集定義容易知道，對(duì)于任何集合A，B，有AA=A，A =A，AB=BA例6 設(shè)A=(x，y)|y=-4x+6，B=(x，y)|y=5x-3，求AB解：AB=(x，y)|y=-4x+6(x，y)|y=5x-3=(1，2)注 此題中，(x，y)可以

33、看作直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，也可以看作二元一次方程的一個(gè)解形如2n(nZ)的整數(shù)叫做偶數(shù)，形如2n+1(nZ)的整數(shù)叫做奇數(shù)全體奇數(shù)的集合簡(jiǎn)稱奇數(shù)集，全體偶數(shù)的集合簡(jiǎn)稱偶數(shù)集看下面的例子例7 已知A為奇數(shù)集，B為偶數(shù)集，Z為整數(shù)集，求AB，AZ，BZ，AB，AZ，BZ解：AB=奇數(shù)偶數(shù)= ，AZ=奇數(shù)Z=奇數(shù)=A，BZ=偶數(shù)Z=偶數(shù)=B，AB=奇數(shù)偶數(shù)=Z，AZ=奇數(shù)Z=Z，BZ=偶數(shù)Z=Z例8 設(shè)U=1，2，3，4，5，6，7，8，A=3，4，5，B=4，7，8，求 UA， UB，( UA)( UB)，( UA)( UB)解： UA=1，2，6，7，8，UB=1，2，3，5，6，( UA)( UB

34、)=1，2，6，( UA)( UB)=1，2，3，5，6，7，8練習(xí) 1設(shè)A=(x，y)|3x+2y=1，B=(x，y)|x-y=2，C=(x，y)|2x-2y=3，D=(x，y)|6x+4y=2，求AB，BC，AD2設(shè)A=x|x=2k，kZ，B=x|x=2k+1，kZ，C=x|x=2(k+1)，kZ，D=x|x=2k-1，kZ，在A，B，C，D中，哪些集合相等，哪些集合的交集是空集?3設(shè)U=x|x是小于9的正整數(shù)，A=1，2，3，B=3，4，5，6，求AB， U(AB)4圖中U是全集，A，B是U的兩個(gè)子集，用陰影表示：(1)( UA)( UB)；(2)( UA)( UB) 電子課文

35、·含絕對(duì)值的不等式解法 按商品質(zhì)量規(guī)定，商店出售的標(biāo)明500g的袋裝食鹽，其實(shí)際數(shù)與所標(biāo)數(shù)相差不能超過5g，設(shè)實(shí)際數(shù)是xg，那么，x應(yīng)滿足由絕對(duì)值的意義，這個(gè)結(jié)果也可以表示成|x-500|5這就是一個(gè)含絕對(duì)值的不等式怎樣解含絕對(duì)值的不等式呢?讓我們先看含絕對(duì)值的方程|x|=2，由絕對(duì)值意義可知，方程的解是x=2或x=-2，在數(shù)軸上表示如下(圖1-6)再看相應(yīng)的不等式|x|2與|x|2由絕對(duì)值意義，結(jié)合數(shù)軸表示(圖1-6)可知，不等式|x|2就表示數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于2的點(diǎn)的集合，在數(shù)軸上表示如下(圖1-7)因而不等式|x|2的解集是x|-2x2類似地，不等式|x|2就表示數(shù)軸上到原

36、點(diǎn)的距離大于2的點(diǎn)的集合，在數(shù)軸上表示如下(圖1-8)因而不等式|x|2的解集是x|x-2x|x2=x|x-2，或x2一般地，不等式|x|a(a0)的解集是x|-axa；不等式|x|a(a0)的解集是x|xa，或x-a例1 解不等式|x-500|5解：由原不等式可得-5x-5005，各加上500，得495x505，所以，原不等式的解集是x|495x505例2 解不等式|2x+5|7解：由原不等式可得2x+5-7，或2x+57整理，得x-6，或x1所以，原不等式的解集是x|x-6，或x1)練習(xí) 1解以下不等式：(1)|x|5；(2)|x|10；(3)2|x|8；(4)5|x|7；(5)

37、|3x|12；(6)|4x|142解以下不等式：(1)|x+4|9；(3)|2-x|3；(5)|5x-4|6；電子課文·一元二次不等式解法 在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)、二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)有什么關(guān)系呢?例如一次函數(shù)y=2x-7，它的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下由對(duì)應(yīng)值表與圖象(圖1-9)可以知道：當(dāng)x=3.5時(shí)，y=0，即2x-7=0；當(dāng)x3.5時(shí)，y0，即2x-70；當(dāng)x3.5時(shí)，y0，即2x-70一般地，設(shè)直線y=ax+b與x軸的交點(diǎn)是(x0，0)，就有如下結(jié)果1一元一次方程ax+b=0的解是x02(1)當(dāng)a0時(shí)，一元一次不等式ax+b0的解集是x|

38、xx0，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0；(2)當(dāng)a0時(shí)，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系怎樣呢?讓我們先看一個(gè)例子二次函數(shù)y=x2-x-6的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下由對(duì)應(yīng)值表與圖象(圖1-10)可以知道，當(dāng)x=-2，或x=3時(shí)，y=0，即x2-x-6=0；當(dāng)x-2，或x3時(shí)，y0，即x2-x-60；當(dāng)-2x3時(shí)，y0，即x2-x-60這就是說，如果拋物線y=x2-x-6與x軸的交點(diǎn)是(-2，0)與(3，0)，那么，一元二次方程x2-x-6=0的解就是x1=-2，x2=3同樣，結(jié)合拋物線與x軸

39、的相關(guān)位置，可以得出一元二次不等式x2-x-60的解集是x|x-2，或x3；一元二次不等式x2-x-60的解集是x|-2x3上例說明，由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解和對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，設(shè)=b2-4ac，它的解按照0，=0，0分為三種情況相應(yīng)地，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的相關(guān)位置也分為三種情況(圖1-11)，因此，分這三種情況討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式ax2+bx+c0與ax2+bx+c0的解集(1)如果0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(圖1-11(1)，即方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不

40、相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1x2)那么，不等式ax2+bx+c0的解集是x|xx1，或xx2；不等式ax2+bx+c0的解集是x|x1xx2(2)如果=0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)那么，不等式ax2+bx+c0的解集是不等式ax2+bx+c0的解集是空集 (3)如果0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒有交點(diǎn)(圖1-11(3)，即方程ax2+bx+c=0無實(shí)數(shù)根那么，不等式ax2+bx+c0的解集是R；不等式ax2+bx+c0的解集是 對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a0)的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，再求解例1 解不等式2x2-3x-20解：因?yàn)?，方程2x2-3

41、x-2=0的解是所以，不等式的解集是例2 解不等式-3x2+6x2解：整理，得3x2-6x+20因?yàn)?，方程3x2-6x+2=0的解是所以，原不等式的解集是例3 解不等式4x2-4x+10解：因?yàn)?0，方程4x2-4x+1=0的解是所以，不等式的解集是例4 解不等式-x2+2x-30解：整理，得x2-2x+30因?yàn)?，方程x2-2x+3=0無實(shí)數(shù)解，所以不等式x2-2x+30的解集是 從而，原不等式的解集是 練習(xí) 1解以下不等式：(1)3x2-7x+20；(2)-6x2-x+20；(3)4x2+4x+10；(4)x2-3x+502x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)y=x2-4x+1的值：(1)等于

42、0?(2)是正數(shù)?(3)是負(fù)數(shù)?下面我們研究一下不等式(x+4)(x-1)0的解法這是一元二次不等式，可以按照前面的方法求解如果考慮到這個(gè)不等式的不等號(hào)左邊是兩個(gè)x的一次式的積，右邊是0，那么它可以根據(jù)積的符號(hào)法則化成一次不等式組與因此，(x+4)(x-1)0的解集是上面不等式組的解集的并集由得原不等式的解集是x|-4x1 =x|-4x1用上述方法也可以解像這樣的分式不等式解：這個(gè)不等式的解集是不等式組與的解集的并集由得原不等式的解集是x|-7x3 =x|-7x3練習(xí) 1解以下不等式：(1)(x+2)(x-3)0；(2)x(x-2)02解關(guān)于x的不等式(x-a)(x-b)0(ab)3

43、解以下不等式：4判斷以下說法是否正確：電子課文·邏輯聯(lián)結(jié)詞 我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)過命題，可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題看下面的語(yǔ)句125 3是12的約數(shù) 0.5是整數(shù) 這些語(yǔ)句都是命題其中、是真的，叫做真命題；是假的，叫做假命題有些語(yǔ)句不是命題，例如下面的語(yǔ)句3是12的約數(shù)嗎？(不涉及真假)x5(不能判斷真假)、三個(gè)命題比較簡(jiǎn)單，由簡(jiǎn)單的命題可以組合成新的比較復(fù)雜的命題看下面的例子10可以被2或5整除 菱形的對(duì)角線互相垂直且平分 0.5非整數(shù) 這里的“或”我們已經(jīng)學(xué)過，像不等式x2-x-60的解集是x|x-2，或x3“且”我們也學(xué)過，像不等式x2-x-60的解集是x|-2x3即x|x-2，且

44、x3“非”是否定的意思，“0.5非整數(shù)”是對(duì)命題“0.5是整數(shù)”進(jìn)行否定而得出的新命題“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞像、這樣的命題，不含邏輯聯(lián)結(jié)詞，是簡(jiǎn)單命題；像、這樣的命題，它們由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成，是復(fù)合命題我們常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，來表示命題，上面復(fù)合命題、的構(gòu)成形式分別是：p或q；p且q；非p非p也叫做命題p的否定例1 分別指出以下復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題：(1)24既是8的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)；(2)李強(qiáng)是籃球運(yùn)動(dòng)員或跳高運(yùn)動(dòng)員；(3)平行線不相交解：(1)這個(gè)命題是p且q的形式，其中p：24是8的倍數(shù)，q：24是6的倍數(shù)(2)這個(gè)命題是p或q的形

45、式，其中p：李強(qiáng)是籃球運(yùn)動(dòng)員，q：李強(qiáng)是跳高運(yùn)動(dòng)員(3)這個(gè)命題是非p的形式，其中p：平行線相交 練習(xí) 1分別寫出由以下各組命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題：(1)p：5是15的約數(shù)，q：5是20的約數(shù)(2)p：矩形的對(duì)角線相等，q：矩形的對(duì)角線互相平分2分別用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命題“6是自然數(shù)且是偶數(shù)”是_的形式；(2)命題“3大于或等于2”是_的形式；(3)命題“4的算術(shù)平方根不是-2”是_的形式；(4)命題“正數(shù)或0的平方根是實(shí)數(shù)”是_的形式怎樣判斷一個(gè)復(fù)合命題的真假呢？讓我們分析一下上面講的三種復(fù)合命題先看非p形式的復(fù)合命題：當(dāng)p為真時(shí)

46、，非p為假；當(dāng)p為假時(shí)，非p為真例如，如果p表示“2是10的約數(shù)”為真，那么，非p即“2不是10的約數(shù)”為假非p形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示再看p且q形式的復(fù)合命題：當(dāng)p，q都為真時(shí)，p且q為真；當(dāng)p，q中至少有一個(gè)為假時(shí)，p且q為假例如，如果p表示“5是10的約數(shù)”，q表示“5是15的約數(shù)”，r表示“5是8的約數(shù)”，那么，p且q即“5是10的約數(shù)且是15的約數(shù)”為真，因?yàn)閜，q都為真，p且r即“5是10的約數(shù)且是8的約數(shù)”為假，因?yàn)閞為假p且q形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示最后看p或q形式的復(fù)合命題：當(dāng)p，q至少有一個(gè)為真時(shí)，p 或q為真；當(dāng)p，q都為假時(shí)，p或q為假例如，如果p表示“

47、5是12的約數(shù)”，q表示“5是15的約數(shù)”，r 表示“5是8的約數(shù)”，那么，p或q即“5是12的約數(shù)或是15的約數(shù)”為真，因?yàn)閝為真，p或r即“5是12的約數(shù)或是8的約數(shù)”為假，因?yàn)閜，r都為假p或q形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示像上面那樣表示命題的真假的表叫真值表要注意，這里所學(xué)的“或”與我們?nèi)粘Ｉ钣谜Z(yǔ)中的“或”是有區(qū)別的，例如，日常生活中，我們認(rèn)為“蘋果是長(zhǎng)在樹上或長(zhǎng)在地里”這句話是不妥的那么，學(xué)習(xí)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的意義是什么呢？下面看兩個(gè)日常生活中和“或”、“且”有關(guān)的例子許多電器都有自動(dòng)控制的功能例如，洗衣機(jī)在甩干時(shí)，如果“到達(dá)預(yù)定時(shí)間”或“機(jī)蓋被打開”，就會(huì)停機(jī)，即當(dāng)兩個(gè)條件至少有一個(gè)滿足時(shí)，就會(huì)停機(jī)，相應(yīng)的電路，就叫或門電路又如，電子保險(xiǎn)門在“鑰匙插入”且“密碼正確”兩個(gè)條件都滿足時(shí)，才會(huì)開啟，相應(yīng)的電路，就叫與門電路你能找出這樣的例子嗎？例2 分別指出由以下各組命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題的真假：(1)p：2+2=5，q：32(2)p：9是質(zhì)數(shù)，q：8是12的約數(shù)(3)p：11，2，q：1 1，2(4)p： 0，q： =0解：(1)因?yàn)閜 假q真，所以，“p或q”為真，“p且q”為假，“非p”為真(2)因?yàn)閜假q假