函數(shù)奇偶性的典型例題

1、函數(shù)奇偶性的典型例題例1設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1-x)，當(dāng)-1x0時(shí)，f (x)=-x，則f (8.6) = _.解析f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，x = 0是y =f(x)對(duì)稱軸.又f(1+x)=f(1-x)，x=1也是y=f(x)對(duì)稱軸.故y=f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3.答案0.3蘇州進(jìn)步網(wǎng): szjjedu 整理例2定義在(-1，1)上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，并且在(-1，1)上f(x)是減函數(shù)，求滿足條件f(1-a)+f(1-a2)0的a取值范圍.解析f(x)的定義域是(-1，1)

2、，-11-a1，-11-a21 .又f(x)是奇函數(shù)，-f(1-a2)=f-(1-a2)=f(a2-1).又f(1-a)+f(1-a2)0，有f(1-a)-f(1-a2)=f(a2-1).f(x)在(-1，1)是減函數(shù)，1-aa2-1由組成不等式組：所求a的范圍為：0a1.答案0a1例3定義在區(qū)間(-，+)上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在0，+上的圖象與f(x)的圖象重合.設(shè)ab0，給出下列不等式，其中成立的是( )f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)f(a)-f(-b)g(b)-g(-a)f(a)-f(-b)g(b)-g(-a)A.B.

3、C.D.解析本題可采用三種解法：解法一：直接根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義：由f(x)是奇函數(shù)得：f(-a)=-f(a)，f(-b)=-f(b)，g(a)=f(a)，g(b)=f(b)，g(-a)=g(a)，g(-b)=g(b)以上四個(gè)不等式分別可簡(jiǎn)化為f(b)0；f(b)0；f(a)0；f(a)0蘇州進(jìn)步網(wǎng): szjjedu 整理又f(x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，且ab0，故f(a)f(b)f(0)=0，從而以上不等式中成立.故選C.解法二：結(jié)合函數(shù)圖象由如圖(下圖)，分析得：f(a)=g(a)=g(-a)=-f(-a)，f(b)=g(b)=g(-b)=-f(-b)，從而根據(jù)所給結(jié)論，得到與是正確的.故

4、選C.解法三：利用間接法，即構(gòu)造滿足題意的兩個(gè)模型函數(shù)：f(x)=x，g(x)=，取特殊值a，b.如：a=2，b=1，可驗(yàn)證正確的是與，故選C.答案C點(diǎn)撥(1)本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等性質(zhì)，還考查了圖象的對(duì)稱性和不等式，體現(xiàn)了高考突出重點(diǎn)知識(shí)的考查及在各知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)上出題這一觀點(diǎn)，函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對(duì)稱性的反映，也體現(xiàn)了在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的定義域的兩個(gè)區(qū)間上函數(shù)值及其性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，這是對(duì)稱思想的應(yīng)用.例4設(shè)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x-1時(shí)，y=f(x)的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，0)，斜率為1的射線，又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在(0，2)，且過(guò)點(diǎn)(-1，1)

5、的一段拋物線，試寫(xiě)出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并在圖中作出其圖象.解析(1)當(dāng)x-1時(shí)，設(shè)f(x)=x+b，則射線過(guò)點(diǎn)(-2，0)，0=-2+b即b=2.f(x)=x+2.(2)當(dāng)-1<x<1時(shí)，設(shè)f(x)=ax2+2. 拋物線過(guò)點(diǎn)(-1，1)，1=a·(-1)2+2，即a=-1，f(x)=-x2+2.(3)當(dāng)x1時(shí)，f(x)=-x+2.綜上可知：f(x)=作圖由讀者自己完成. 答案見(jiàn)解析例5設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)=-f(x)，當(dāng)0x1時(shí)，f (x)=x，則f (7.5) =( ) 蘇州進(jìn)步網(wǎng): szjjedu 整理A.0.5B.-0.5C.1.5D.

6、-1.5解析y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，點(diǎn)(0，0)是其對(duì)稱中心.又f (x+2 )=-f(x)=f (-x)，即f (1+ x) = f (1-x)， 直線x = 1是y = f (x)的對(duì)稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數(shù).f (7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f (0.5) =-0.5.答案B例6已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間-2，2上的偶函數(shù)，當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)是減函數(shù)，如果不等式f(1-m)f(m)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析f(x)在0，2上是減函數(shù)，在-2，0上是增函數(shù)，故分類可得：(1)當(dāng)解得m，故此情況不存在；(2)當(dāng)解得0m1；f(x)在

7、0，2上為減函數(shù)，f(1-m)f(m)可轉(zhuǎn)化為1-mm.m.0m.蘇州進(jìn)步網(wǎng): szjjedu 整理(3)當(dāng)解得-1m0；f(1-m)=f(m-1)，f(1-m)f(m)可轉(zhuǎn)化為f(m-1)f(m).f(x)在-2，0上是增函數(shù)，m-1m .-1m0.(4)當(dāng)解得1m2.0m-11.f(1-m)=f(m-1).f(1-m)f(m)可轉(zhuǎn)化為f(m-1)f(m).f(x)在0，2上是減函數(shù)，m-1m無(wú)解.綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍為-1m.答案-1m例7設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(-，0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1).求a的取值范圍，并

8、在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間.解析設(shè)0<x1<x2，則-x2<-x1<0，f(x)在區(qū)間(-，0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(-x2)<f(-x1).f(x)為偶函數(shù)，f(-x2)=f(x2)，f(-x1)=f(x1). f(x2)<f(x1).f(x)在(0，+)內(nèi)單調(diào)遞減.由f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)得：2a2+a+1>3a2-2a+1.解得0<a<3.又a2-3a+1=(a-)2-.函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是，+.結(jié)合0<a<3，得函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間為，3.答案，3 蘇州進(jìn)步網(wǎng): szjjed

9、u 整理例8已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f(x)(-1x1)是奇函數(shù)，又知y=f(x)在0，1上是一次函數(shù)，在1，4上是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為-5.(1)證明：f(1)+f(4)=0；(2)試求y=f(x)，x1，4的解析式；(3)試求y=f(x)在4，9上的解析式.解析(1)證明：y=f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，f(4)=f(4-5)=f(-1)，又y=f(x)(-1x1)是奇函數(shù)，f(1)=-f(-1)=-f(4).f(1)+f(4)=0.(2)當(dāng)x1，4時(shí)，由題意，可設(shè)f(x)=a(x-2)2-5(a0)，由f(1)+f(

10、4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0，解得a=2，f(x)=2(x-2)2-5(1x4).(3)y=f(x)(-1x1)是奇函數(shù)，f(0)=-f(-0)，f(0)=0，又y=f(x) (0x1)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=kx(0x1)，f(1)=2(1-2)2-5=-3，又f(1)=k·1=k，k=-3.當(dāng)0x1時(shí)，f(x)=-3x，當(dāng)-1x0時(shí)，f(x)=-3x，當(dāng)4x6時(shí)，-1x-51，f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15，當(dāng)6x9時(shí)，1x-54，f(x)=f(x-5)=2(x-5)-22-5=2(x-7)2-5.f(x)=.答案見(jiàn)解析蘇州進(jìn)步網(wǎng):

11、 szjjedu 整理例9分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且則不等式的解集是( )A.B.C.D.解析結(jié)合新知識(shí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與函數(shù)的性質(zhì)在其交匯處知識(shí)重構(gòu)，畫(huà)出函數(shù)草圖.f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，所以f(x)g(x)是奇函數(shù).由題設(shè)可知當(dāng)x<0時(shí)，f(x)g(x)的導(dǎo)數(shù)值大于0，故此時(shí)函數(shù)f(x)g(x)為增函數(shù)，結(jié)合已知條件及奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可畫(huà)出函數(shù)草圖，選出正確答案為D.答案D例10設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?5，5.若當(dāng)x0，5時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集為_(kāi).蘇州進(jìn)步網(wǎng): szjjedu 整理解析根椐函數(shù)的奇偶性作出圖象

12、.由圖象易知不等式的解集是(-2，0)(2，5答案(-2，0)(2，5例11已知函數(shù)y= f (x)在(0，2)上是增函數(shù)，y= f(x+2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )A.B.C.D.解析y= f(x+2)是偶函數(shù)，f(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，f(x)在(0，2)上是增函數(shù)，如圖所示，由圖可知距x=2越近，函數(shù)值越大，所以答案選B.答案B例12若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3，7上的最小值是5，那么f(x)在區(qū)間-7，-3上( ).A.最小值是5B.最小值是-C.最大值是-D.最大值是5解析用定義去求，可設(shè)x為-7，-3上任意一個(gè)值，則-x3，7，由題意f(-x)，由于f(x)是奇函數(shù)，所以有f(-x)=-f(x)，則-f(x)，得f(x)-，故，-為f(x)在-7，-3上的最大值，故選C.答案C蘇州進(jìn)步網(wǎng): szjjedu 整理例13解方程：解析兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)得于是f(2x)=f(x2+1)易證f(x)為奇函數(shù)，且是R上的增函數(shù)，所以2x=x2+1.解得x=1.答案點(diǎn)撥本題構(gòu)造函數(shù)