（整理版）數(shù)列的綜合問題與數(shù)列的應(yīng)用

1、6-4數(shù)列的綜合問題與數(shù)列的應(yīng)用根底穩(wěn)固強化1.(·杭州第一次質(zhì)檢)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為sn，那么a6a7>0是s9s3的()a充分但不必要條件 b必要但不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件答案a解析s9s3a4a5a6a7a8a903(a6a7)0a6a70，a6a7>0a6a70，但a6a70/ a6a7>0，應(yīng)選a.2(·淄博模擬)an是遞增數(shù)列，且對任意nn*都有ann2n恒成立，那么實數(shù)的取值范圍是()a(，) b(0，)c2，) d(3，)答案c解析ann2n(n)2，對任意nn*，an1>an，1，2，應(yīng)選c.3(文)設(shè)函

2、數(shù)f(x)xmax的導(dǎo)函數(shù)f (x)2x1，那么數(shù)列(nn*)的前n項和是()a. b.c. d.答案a解析f (x)mxm1a2x1，a1，m2，f(x)x(x1)，sn.(理)(·北京西城期末)各項均不為零的數(shù)列an，定義向量cn(an，an1)，bn(n，n1)，nn*a假設(shè)對于任意nn*總有cnbn成立，那么數(shù)列an是等差數(shù)列b假設(shè)對于任意nn*總有cnbn成立，那么數(shù)列an是等比數(shù)列c假設(shè)對于任意nn*總有cnbn成立，那么數(shù)列an是等差數(shù)列d假設(shè)對于任意nn*總有cnbn成立，那么數(shù)列an是等比數(shù)列答案a解析假設(shè)對任意nn*，有cnbn，那么，所以an1anan2an1，

3、即2an1anan2，所以數(shù)列an為等差數(shù)列4(文)(·山西運城教學(xué)檢測)數(shù)列an的前n項和為sn，過點p(n，sn)和q(n1，sn1)(nn*)的直線的斜率為3n2，那么a2a4a5a9的值等于()a52 b40c26 d20答案b解析由題意得3n2，sn1sn3n2，即an13n2，an3n5，因此數(shù)列an是等差數(shù)列，a510，而a2a4a5a92(a3a7)4a540，應(yīng)選b.(理)兩個正數(shù)a、b的等差中項是，一個等比中項是2，且a<b，那么雙曲線1的離心率e等于()a. b.c. d.答案d解析ab7，a·b12，b>a>0，a3，b4.e.5(

4、·江西新余四中期末)在abc中，是角a、b、c成等差數(shù)列的()a充分非必要條件 b充要條件c必要非充分條件 d既不充分也不必要條件答案a解析2sinasincsin2a2cosacosccos2a2cos(ac)10cosbbac2ba、b、c成等差數(shù)列但當(dāng)a、b、c成等差數(shù)列時，不一定成立，如a、b、c.故是充分非必要條件應(yīng)選a.6(·東北三省四市第三次聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an滿足a12，an11，記數(shù)列an的前n項之積為tn，那么t的值為()a1 b2c. d.答案d解析a12，a21，a31，a413，a512.an4an，an是以4為周期的數(shù)列，t42××

5、;()×(3)1.tt×a×a，應(yīng)選d.7某程序框圖如下圖，該程序運行后輸出的k的值是()a8b9c10 d11答案d解析由程序框圖可知，s12222k2k11，由s<得，2k1<，k9.1222291023，s的值加上29后，變?yōu)閟1023<，此時k的值增加1變?yōu)閗10，再執(zhí)行一次循環(huán)體后，s10232102047，k10111，此時不滿足s<，輸出k的值11后結(jié)束點評這是最容易出錯的地方，解這類題時，既要考慮等比數(shù)列求和，在k取何值時，恰滿足s，又要顧及s與k的賦值語句的先后順序8(文)數(shù)列an的通項公式為an2n(nn*)，把數(shù)列an

6、的各項排列成如下圖的三角形數(shù)陣：22223242526272829210記m(s，t)表示該數(shù)陣中第s行的第t個數(shù)，那么m(11,2)對應(yīng)的數(shù)是_(用2n的形式表示，nn)答案257解析由數(shù)陣的排列規(guī)律知，第m行的最后一個數(shù)是數(shù)列an的第123m項，且該行有m項，由此可知第11行的第2個數(shù)是數(shù)列an的第257項，對應(yīng)的數(shù)是257.(理)假設(shè)數(shù)列an滿足d(nn*，d為常數(shù))，那么稱數(shù)列an為調(diào)和數(shù)列數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且x1x2x20200，那么x5x16_.答案20解析由題意，假設(shè)an為調(diào)和數(shù)列，那么為等差數(shù)列，為調(diào)和數(shù)列，數(shù)列xn為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，x5x16x1x20x2x19

7、x10x1120.故填20.9(文)(·江蘇鎮(zhèn)江市質(zhì)檢)1，x1，x2,7成等差數(shù)列，1，y1，y2,8成等比數(shù)列，點m(x1，y1)，n(x2，y2)，那么線段mn的中垂線方程是_答案xy70解析由條件得x13，x25，y12，y24，mn的中點(4,3)，kmn1，mn的中垂線方程為y3(x4)，即xy70.(理)雙曲線an1y2anx2an1an(n2，nn*)的焦點在y軸上，一條漸近線方程是yx，其中數(shù)列an是以4為首項的正項數(shù)列，那么數(shù)列an的通項公式是_答案an2n1解析雙曲線方程為1，焦點在y軸上，又漸近線方程為yx，又a14，an4×2n12n1.10(文)

8、(·北京海淀)數(shù)列an的前n項和為sn，假設(shè)a12，且snsn12n(n2，nn*)(1)求sn；(2)是否存在等比數(shù)列bn滿足b1a1，b2a3，b3a9？假設(shè)存在，那么求出數(shù)列bn的通項公式；假設(shè)不存在，那么說明理由解析(1)因為snsn12n，所以有snsn12n對n2，nn*成立即an2n對n2成立又a1s12×1，所以an2n對nn*成立所以an1an2對nn*成立所以an是等差數(shù)列所以snn2n，nn*.(2)存在由(1)知an2n對nn*成立，那么a36，a9a12，所以由b1a1，b2a3，b3a9，得3.即存在以b12為首項，公比為3的等比數(shù)列bn，其通項

9、公式為bn2·3n1.(理)(·天津十二區(qū)縣聯(lián)考一)數(shù)列an的前n項和sn滿足：sna(snan1)(a為常數(shù)，且a0，a1)(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bnasn·an，假設(shè)數(shù)列bn為等比數(shù)列，求a的值(3)在滿足條件(2)的情形下，設(shè)cn，數(shù)列cn的前n項和為tn，求證：tn>2n.解析(1)s1a(s1a11)，a1a，當(dāng)n2時，sna(snan1)，sn1a(sn1an11)，兩式相減得ana·an1，a，即an是等比數(shù)列，ana·an1an.(2)由(1)知anan，sn，bn(an)2an，假設(shè)bn為等比數(shù)列，那么有bb1

10、b3，而b12a2，b2a3(2a1)，b3a4(2a2a1)，故a3(2a1)22a2·a4(2a2a1)，解得a，再將a代入，得bn()n成立，所以a.(3)證明：由(2)知bn()n，所以cn2，所以cn>2，tnc1c2cn>(2)(2)(2)2n>2n.能力拓展提升x2y210x內(nèi)，過點(5,3)有n條長度成等差數(shù)列的弦，最短弦長為數(shù)列an的首項a1，最長弦長為an，假設(shè)公差d(，那么n的取值集合為()a4,5,6 b6,7,8,9c3,4,5 d3,4,5,6答案a解析圓x2y210x，(x5)2y2an10，最短弦長a18，108(n1)d，d，d(，

11、<，4n<7，又nn*，n的取值為4,5,6，應(yīng)選a.12(文)(·安徽百校論壇聯(lián)考)a>0，b>0，a為a，b的等差中項，正數(shù)g為a，b的等比中項，那么ab與ag的大小關(guān)系是()aabag babagcabag d不能確定答案c解析由條件知，ab2a，abg2，ag>0，agg2，即agab，應(yīng)選c.(理)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，公比q1，設(shè)p(loga5loga7)，qlog，p與q的大小關(guān)系是()apq bp<qcpq dp>q答案d解析ploglog，qlog，q1，a3a9，>又ylogx在(0，)上遞減，log<l

12、og，即q<p.應(yīng)選d.13(·湖北荊門調(diào)研)秋末冬初，流感盛行，荊門市某醫(yī)院近30天每天入院治療流感的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列an，a11，a22，且an2an1(1)n(nn*)，那么該醫(yī)院30天入院治療流感的人數(shù)共有_人答案255解析an2an1(1)n(nn*)，n為奇數(shù)時，an2an，n為偶數(shù)時，an2an2，即數(shù)列an的奇數(shù)項為常數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成以2為首項，2為公差的等差數(shù)列故這30天入院治療流感人數(shù)共有15(15×2×2)255人14(·江蘇，13)設(shè)1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的

13、等差數(shù)列，那么q的最小值是_答案解析a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，且a11，a3q，a5q2，a7q3，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，a4a21，a6a22，a21，qa3a21，q2a5a4a212，q3a7a6a223，q1，q且q，q，q的最小值為.15(·蚌埠質(zhì)檢)數(shù)列an滿足，a11，a22，an2，nn*.(1)令bnan1an，證明：bn是等比數(shù)列；(2)求an的通項公式解析(1)b1a2a11，當(dāng)n2時，bnan1anan(anan1)bn1，所以bn是以1為首項，為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知bnan1ann1，當(dāng)n2時，ana1(a2a1)

14、(a3a2)(anan1)11n211n1，當(dāng)n1時，111a1.所以ann1(nn*)16(文)(·山東文，20)等比數(shù)列an中，a1、a2、a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1、a2、a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)假設(shè)數(shù)列bn滿足：bnan(1)nlnan，求數(shù)列bn的前2n項和s2n.解析(1)依次驗證知a12，a26，a318時符合題意，an2·3n1.(2)bnan(1)nlnan2·3n1(1)nln(2·3n1)2·3n

15、1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3s2nb1b2b2n2(1332n1)111(1)2n(ln2ln3)123(1)2n·2nln32×nln332nnln31.(理)(·湖南六校聯(lián)考)為加強環(huán)保建設(shè)，提高社會效益和經(jīng)濟效益，某市方案用假設(shè)干年時間更換一萬輛燃油型公交車，每更換一輛新車，那么淘汰一輛舊車替換車為電力型和混合動力型車今年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛；方案以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型車每年比上一年多投入a輛(1)求經(jīng)過n年，該市被更換的公交車總數(shù)s(n)；(2)假設(shè)該市方案7年內(nèi)完成全部更換，

16、求a的最小值解析(1)設(shè)an，bn分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數(shù)量，依題意，an是首項為128，公比為150%的等比數(shù)列，bn是首項為400，公差為a的等差數(shù)列an的前n項和sn256()n1bn的前n項和tn400na，所以經(jīng)過n年，該市更換的公交車總數(shù)為：s(n)sntn256()n1400na.(2)假設(shè)方案7年內(nèi)完成全部更換，所以s(7)10000，所以256()71400×7a10000，即21a3082，所以a146.又an*，所以a的最小值為147.1假設(shè)x的方程x2xa0和x2xb0(ab)的四個根可組成首項為的等差數(shù)列，那么b的值可以為()a.

17、 b.c. d.答案d解析由題意四個根為、，那么b×，或b×，選d.2(·河南新鄉(xiāng)、平頂山、許昌調(diào)研)設(shè)正項等比數(shù)列an的前n項之積為tn，且t1032，那么的最小值為()a2 b.c2 d.答案b解析由條件知，t10a1a2a10(a5a6)532，an>0，a5a62，·a5a6·()(a5a6)×2，等號在a5a6時成立3(·銀川一中三模)函數(shù)f(x)x2bx的圖象在點a(1，f(1)處的切線l與直線3xy20平行，假設(shè)數(shù)列的前n項和為sn，那么s的值為()a. b.c. d.答案d解析此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及數(shù)

18、列求和知識；由于f (x)2xb，據(jù)題意那么有f (1)2b3，故b1，即f(x)x2x，從而，其前n項和sn(1)()()1，故s.an的前20項的和是100，那么a6·a15的最大值是()a25 b50c100 d不存在答案a解析由條件知，a6a15a1a20s20×10010，a6>0，a15>0，a6·a15()225，等號在a6a155時成立，即當(dāng)an5(nn*)時，a6·a15取最大值25.5(·黃岡月考)在數(shù)列an中，a11，anan1an1(1)n(n2，nn*)，那么的值是()a. b.c. d.答案c解析a11，

19、anan1an1(1)n，a2a1a11，a22，；a3a2a21，a3；a4a3a31，a43；a5a4a41，a5，.6(·北京海淀期中)數(shù)列a：a1，a2，an(0a1<a2<<an，n3)具有性質(zhì)p：對任意i，j(1ijn)，ajai與ajai數(shù)列0,1,3具有性質(zhì)p；數(shù)列0,2,4,6具有性質(zhì)p；假設(shè)數(shù)列a具有性質(zhì)p，那么a10；假設(shè)數(shù)列a1，a2，a3(0a1<a2<a3)具有性質(zhì)p，那么a1a32a2.a4個 b3個c2個 d1個答案b解析數(shù)列0,1,3中a3a22，a3a24都不是該數(shù)列中的一項，即其不具有性質(zhì)p不正確；數(shù)列0,2,4,6

20、經(jīng)驗證滿足條件，即其具有性質(zhì)p正確；假設(shè)數(shù)列a具有性質(zhì)p，因n3，故其最大項an>0，那么有anan2an>an不是數(shù)列中的項，故anan0必為數(shù)列中的一項，即a1正確；假設(shè)數(shù)列a1，a2，a3(0a1<a2<a3)具有性質(zhì)p，那么a10,0<a2<a3，a2a3>a3不是數(shù)列中的項，必有a3a2a2，即a32a2，因a10，故a1a32a27(·杭州二檢)an是公差不為0的等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，其中a12，b11，a2b2,2a4b3，且存在常數(shù)、，使得anlogbn對每一個正整數(shù)n都成立，那么_.答案4解析設(shè)an的公差為d，bn的公比

21、為q，那么，解得(舍去)或，所以an2n，bn4n1.假設(shè)anlogbn對每一個正整數(shù)n都成立，那么滿足2nlog4n1，即2n(n1)log4，因此只有當(dāng)2，2時上式恒成立，所以4.8(·天津市二十區(qū)縣聯(lián)考)sn是數(shù)列an的前n項和，向量a(an1，2)，b(4，sn)滿足ab，那么_.答案解析a(an1，2)，b(4，sn)滿足ab，a·b0，4an42sn0，即sn2an2，sn12an12(n2)兩式相減得an2an1，2.由sn2an2(nn*)，得a12.an是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，an2n.9(·蘇州檢測)正整數(shù)按以下方法分組：1，2,3,4，5,6,7,8,9，10,11,12,13,14,15,16，記第n組中各數(shù)之和為an；由自然數(shù)的立方構(gòu)成以下數(shù)組：03,13，13,23，23,33，33,43，記第n組中后一個數(shù)與前一個數(shù)的差為bn，那么anbn_.答案2n3解析由題意知，前n組共有135(2n1)n2個數(shù)，所以第n1組的最后一個數(shù)為(n1)2，第n組的第一個數(shù)為(n1)21，第n組共有2n1個數(shù)，