機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩

1、上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出（彈簧振子）什么是振動(dòng)？什么是振動(dòng)？振動(dòng)振動(dòng): 任何物理量在某一定值附近隨時(shí)間周期性變化任何物理量在某一定值附近隨時(shí)間周期性變化力學(xué)量（如位移、速度）力學(xué)量（如位移、速度）電磁量（如電磁量（如I 、V、 E、 B）如何研究振動(dòng)？如何研究振動(dòng)？推廣上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出1 1掌握描述諧振動(dòng)和簡(jiǎn)諧波動(dòng)的各掌握描述諧振動(dòng)和簡(jiǎn)諧波動(dòng)的各物理量物理量（特別是（特別是位相和位相差）的物理意義及各量的相互

2、關(guān)系。位相和位相差）的物理意義及各量的相互關(guān)系。2 2掌握掌握旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法，并能用以分析有關(guān)問(wèn)題。，并能用以分析有關(guān)問(wèn)題。3 3掌握諧振動(dòng)的基本特征。能根據(jù)給定的初始條件掌握諧振動(dòng)的基本特征。能根據(jù)給定的初始條件建立一維諧振動(dòng)的建立一維諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程，并理解其物理意義。理，并理解其物理意義。理解諧振動(dòng)的能量及其特點(diǎn)。解諧振動(dòng)的能量及其特點(diǎn)。4 4理解兩個(gè)同方向、同頻率理解兩個(gè)同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成諧振動(dòng)的合成規(guī)律，以規(guī)律，以及合振動(dòng)振幅極大和極小的條件。及合振動(dòng)振幅極大和極小的條件。上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 簡(jiǎn)諧振動(dòng)：簡(jiǎn)

3、諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移移( (或角位移或角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )規(guī)律隨時(shí)間變化。規(guī)律隨時(shí)間變化。上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出連接在一起的一個(gè)忽略了質(zhì)量的彈簧和連接在一起的一個(gè)忽略了質(zhì)量的彈簧和一個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。一個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。彈簧振子：彈簧振子：理想模型理想模型忽略物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的一切阻力；忽略物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的一切阻力；忽略彈簧的質(zhì)量；忽略彈簧的質(zhì)量；忽略物體的彈性忽略物體的彈性.xO上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出FFxOx

4、O受力情況：受力情況：oxxmmgNF“”表示力與位移的方向相反表示力與位移的方向相反.kxF 物體在任意位置物體在任意位置x 所受的力為所受的力為上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程022 xmkdtxd所所以以kxdtxdmmaF 222 mk令令由牛頓第二定律知由牛頓第二定律知0222 xdtxd 則則受力分析：受力分析：上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出0costAx解此二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程可得解此二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程可得運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程0222 xdtxd 振

5、幅振幅角頻率角頻率初相位初相位為積分常數(shù)為積分常數(shù),Ax可代表任意物理量可代表任意物理量或或0i()etxA上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫(huà)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫(huà)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的 圖圖tx 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出0costAx 此式表示出了作簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的位移隨此式表示出了作簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系時(shí)間變化的關(guān)系. x-t 曲線(xiàn)稱(chēng)之為振動(dòng)曲線(xiàn)曲線(xiàn)稱(chēng)之為振動(dòng)曲線(xiàn). 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為oAA tx02上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè)

6、 返回返回 退出退出 tAdtdxvsin對(duì)振動(dòng)速度求導(dǎo)得振動(dòng)的加速度為對(duì)振動(dòng)速度求導(dǎo)得振動(dòng)的加速度為 tAdtxdacos222 從以上兩式可知，作簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的速?gòu)囊陨蟽墒娇芍?，作?jiǎn)諧振動(dòng)物體的速度和加速度是時(shí)間的周期函數(shù)，而且加速度度和加速度是時(shí)間的周期函數(shù)，而且加速度和位移成正比但方向相反和位移成正比但方向相反.x2 對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求導(dǎo)得振動(dòng)速度為對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求導(dǎo)得振動(dòng)速度為 tAxcosoxxm上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系: :42tAdtdxvsi

7、ntAdtxdacos222 tAxcos初始相位為零時(shí)初始相位為零時(shí)xttat上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 1.1.振幅振幅: : 物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。 2 2 周期和頻率周期和頻率 周期：周期：物體作一次完全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。物體作一次完全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。頻率：頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作完全振動(dòng)的次數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)物體所作完全振動(dòng)的次數(shù)。00cos()cos ()xAtATt2T12T(簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三要素簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三要素)0cos()xAt上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè)

8、 返回返回 退出退出角頻率角頻率: : 物體在物體在 秒內(nèi)所作的完全振動(dòng)的次數(shù)。秒內(nèi)所作的完全振動(dòng)的次數(shù)。2利用上述關(guān)系式，得諧振動(dòng)表達(dá)式：利用上述關(guān)系式，得諧振動(dòng)表達(dá)式：22T對(duì)于彈簧振子，因有對(duì)于彈簧振子，因有mk，得，得2,2mkTkm02cosxAtT0cos(2)xAt上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出3.3.相位和初相相位和初相相位相位 ：決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。)(0t初相位初相位 ：t =0 時(shí)的相位。時(shí)的相位。0怎樣用初始條件求振幅和初相位？怎樣用初始條件求振幅和初相位？ 假設(shè)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體在初始時(shí)刻的速

9、假設(shè)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體在初始時(shí)刻的速度和位移分別為度和位移分別為 和和0v0 x sincos00AvAx有有則則0 t解之可得解之可得 tAdtdxvsin tAxcos上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出22020 vxA 00 xvtg 存在兩個(gè)值，可根據(jù)存在兩個(gè)值，可根據(jù)0在在到到之間，之間，通常通常00sinvA進(jìn)行取舍。進(jìn)行取舍。 相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步調(diào)上的差異。步調(diào)上的差異。 設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為)cos(1011tAx)cos(20

10、22tAx相位究竟是什么東西？相位究竟是什么東西？上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出A/2xto二者的二者的相位差相位差為為20102010()()tt2010t 2010t 20cosA10cosA上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出xto b. b.當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱(chēng)兩個(gè)振動(dòng)為稱(chēng)兩個(gè)振動(dòng)為反相反相；(21)kxto a. a.當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱(chēng)兩個(gè)振動(dòng)為稱(chēng)兩個(gè)振動(dòng)為同相同相；2 k討論：討論：上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 d. d.當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱(chēng)第二個(gè)振稱(chēng)第

11、二個(gè)振動(dòng)動(dòng)落后落后第一個(gè)振第一個(gè)振動(dòng)動(dòng) 。0 xtoxto c. c.當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱(chēng)第二個(gè)振動(dòng)稱(chēng)第二個(gè)振動(dòng)超前超前第一個(gè)振動(dòng)第一個(gè)振動(dòng) ；0上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 相位可以用來(lái)比較不同物理量變化的步調(diào)。相位可以用來(lái)比較不同物理量變化的步調(diào)。對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度，存在對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度，存在: 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移的相位超前位比位移的相位超前 。 2)cos(0tAxm0m0sin()cos( 2)vvtvt m0m0cos()cos()aatat

12、 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 tAxcos簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式振幅振幅A：給出了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)范圍給出了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)范圍角頻率角頻率 ：決定于振動(dòng)系統(tǒng)的固有屬性；決定于振動(dòng)系統(tǒng)的固有屬性；初相位初相位 ：決定于初始時(shí)刻的狀態(tài)。決定于初始時(shí)刻的狀態(tài)。彈簧振子mk sincos00AvAx時(shí)刻0t22020 vxA 00 xvtg 解解析析法法上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出例題分析例題分析 1.一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m 的物體系于一倔強(qiáng)系數(shù)為的物體系于一倔強(qiáng)系數(shù)為 k 的輕彈簧的輕彈簧下，掛

13、在固定的支架上，由于物體的重量使彈簧伸長(zhǎng)下，掛在固定的支架上，由于物體的重量使彈簧伸長(zhǎng)了了l =9.8 10-2m. 如圖所示，如果給物體一個(gè)向下的瞬如圖所示，如果給物體一個(gè)向下的瞬時(shí)沖擊力，使它具有向下的速度時(shí)沖擊力，使它具有向下的速度v =1m s-1，它就上下它就上下振動(dòng)起來(lái)，試寫(xiě)出振動(dòng)方程振動(dòng)起來(lái)，試寫(xiě)出振動(dòng)方程. .解解: : 物體處于平衡時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)物體處于平衡時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)o，向下為向下為y 軸的正向，如圖所示當(dāng)物體偏離軸的正向，如圖所示當(dāng)物體偏離平衡位置時(shí)它所受的合力為平衡位置時(shí)它所受的合力為- -ky ，因此動(dòng)因此動(dòng)力學(xué)方程為力學(xué)方程為oyykmkydtydmmaF

14、 22mgklmgF平衡時(shí)受力分析平衡時(shí)受力分析上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出kydtydm 22則上式變?yōu)閯t上式變?yōu)閙k 2 令令0222 ydtyd 物體在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，只要求出三要素，物體在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，只要求出三要素，即可寫(xiě)出振動(dòng)方程即可寫(xiě)出振動(dòng)方程.oyykmmk lg 1s10098. 08 . 9 mgklF上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 以物體處于平衡位置且向下運(yùn)動(dòng)時(shí)為計(jì)以物體處于平衡位置且向下運(yùn)動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，則時(shí)起點(diǎn)，則y0=0 ，v0= 1m s-1， 于是有于是有 1sin0cos0

15、0 AvAy23,2 23 結(jié)結(jié)合合此此式式該物體的振動(dòng)方程為該物體的振動(dòng)方程為m2310cos1 . 0 ty22020 vyA m1 . 01012 00 xvtg 23,2 230式知從22020 vyA m1 . 01012 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出求解振動(dòng)三要素中的初相位：求解振動(dòng)三要素中的初相位：（一）解析法（一）解析法（二）圖像法（二）圖像法由振動(dòng)曲線(xiàn)決定初相由振動(dòng)曲線(xiàn)決定初相Ax00arccos為四象限角為四象限角 0sin0000000sincosAvAxt0 xx0t0A0v上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè)

16、下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 28、一水平彈簧簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)曲線(xiàn)如圖、一水平彈簧簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)曲線(xiàn)如圖所示當(dāng)振子處在位移為零、速度為所示當(dāng)振子處在位移為零、速度為-A、加速度為零和彈性力為零的狀態(tài)時(shí)，應(yīng)對(duì)應(yīng)加速度為零和彈性力為零的狀態(tài)時(shí)，應(yīng)對(duì)應(yīng)于曲線(xiàn)上的于曲線(xiàn)上的_點(diǎn)當(dāng)振子處在位移的點(diǎn)當(dāng)振子處在位移的絕對(duì)值為絕對(duì)值為A、速度為零、加速度為、速度為零、加速度為-2A和彈和彈性力為性力為-kA的狀態(tài)時(shí)，應(yīng)對(duì)應(yīng)于曲線(xiàn)上的的狀態(tài)時(shí)，應(yīng)對(duì)應(yīng)于曲線(xiàn)上的 x t O A -A a b c d e f _點(diǎn)點(diǎn)a,eb,foxxm上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 30

17、 30、一簡(jiǎn)諧振動(dòng)用余弦函數(shù)表示，其振動(dòng)、一簡(jiǎn)諧振動(dòng)用余弦函數(shù)表示，其振動(dòng)曲線(xiàn)如圖所示，則此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量曲線(xiàn)如圖所示，則此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量為為 A =_； =_； =_ x (cm)t (s)105-101471013O10 cm( /6) rad/s /3上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出6 6 、 已 知 一 質(zhì) 點(diǎn) 沿 軸 作 簡(jiǎn) 諧 振 動(dòng) 其 振 動(dòng) 方 程、 已 知 一 質(zhì) 點(diǎn) 沿 軸 作 簡(jiǎn) 諧 振 動(dòng) 其 振 動(dòng) 方 程為為 與之對(duì)應(yīng)的振動(dòng)曲線(xiàn)是與之對(duì)應(yīng)的振動(dòng)曲線(xiàn)是)4/3cos(tAy(D)AAoyt oyt(C)AAAo

18、yt Aoyt (A)(B)上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出求解振動(dòng)三要素中的初相位：求解振動(dòng)三要素中的初相位：（一）解析法（一）解析法（二）圖像法（二）圖像法（三）旋轉(zhuǎn)矢量法（三）旋轉(zhuǎn)矢量法上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量: :一長(zhǎng)度等于振幅一長(zhǎng)度等于振幅A的矢量的矢量 在紙平面在紙平面A 可直觀地領(lǐng)會(huì)簡(jiǎn)諧振可直觀地領(lǐng)會(huì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式中各個(gè)物理量的動(dòng)表達(dá)式中各個(gè)物理量的意義。意義。 內(nèi)繞內(nèi)繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其角速度與諧振動(dòng)的點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其角速度與諧振動(dòng)的角頻率相等，這個(gè)矢量

19、稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)矢量。角頻率相等，這個(gè)矢量稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)矢量。上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出A xox t 0 x在任意刻在任意刻t，矢量，矢量 端點(diǎn)在端點(diǎn)在x軸上的投影為軸上的投影為 A tAxcos沿沿ox 軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體在軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體在t 時(shí)刻相對(duì)于原點(diǎn)的位移時(shí)刻相對(duì)于原點(diǎn)的位移.所以所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用旋轉(zhuǎn)矢量表示旋轉(zhuǎn)矢量表示. .旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 的模的模A簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 轉(zhuǎn)動(dòng)角速度轉(zhuǎn)動(dòng)角速度A簡(jiǎn)諧振動(dòng)角頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)角頻率上頁(yè)

20、上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出旋轉(zhuǎn)矢量法優(yōu)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)矢量法優(yōu)點(diǎn)：直觀地表達(dá)諧振動(dòng)的各特征量直觀地表達(dá)諧振動(dòng)的各特征量便于解題便于解題, 特別是確定初相位特別是確定初相位便于振動(dòng)合成便于振動(dòng)合成由由x、v 的符號(hào)確定的符號(hào)確定 所在所在的象限：的象限：A上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出)cm(x24o解：解：作作t = 0時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量0A求：求：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 x = -12 cm處所需最短時(shí)間。處所需最短時(shí)間。已知：已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0時(shí)時(shí), 00vcm,

21、120 x作作x = -12cm處的旋轉(zhuǎn)矢量處的旋轉(zhuǎn)矢量A12-120AAs5 . 061minTt上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出利用旋轉(zhuǎn)矢量法作利用旋轉(zhuǎn)矢量法作 x-t 圖圖:xx(cm)t(s)t=0OOTA12Tt6Tt2Tt上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出AXM 點(diǎn)點(diǎn): :MAvmAam20taxa 沿沿X 軸的投軸的投影為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度、影為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度、加速度表達(dá)式加速度表達(dá)式。a,xv)2cos(tvm)cos(taama上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回

22、退出退出兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：相位之差為相位之差為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為)cos(111tAx)cos(222tAx.)()(1212ttxO1A1Df22A上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出例題例題10-110-1 一物體沿一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12 m, ,周期周期T=2 s。當(dāng)。當(dāng)t=0時(shí)時(shí), ,物體的位移物體的位移x=0.06 m, ,且向且向x軸正軸正向運(yùn)動(dòng)。求向運(yùn)動(dòng)。求:(1):(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式;(2);(2)t =T/4時(shí)物體的時(shí)物體的位置、速度

23、和加速度位置、速度和加速度;(3);(3)物體從物體從x =- -0.06 m向向x軸負(fù)方軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解解: : (1)(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn), ,諧振動(dòng)方程寫(xiě)為諧振動(dòng)方程寫(xiě)為初始條件初始條件：t = 0 s, , x0=0.06 m,可得可得)cos(0tAx其中其中A=0.12 m, ,T=2 s, , 12 sT00.12cos0.0603 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出0 12cos(t 3) mx.-=據(jù)初始條件據(jù)初始條件 xO0f若用旋轉(zhuǎn)矢量法求解

24、若用旋轉(zhuǎn)矢量法求解0，根據(jù)初始條件可畫(huà)出振幅的初始位置，如下圖所示。振幅的初始位置，如下圖所示。A00sin0vA 得0 3 從而可得從而可得0 3 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出(2) (2) 由由(1)(1)求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得在在t=T/4=0.5 s時(shí)，從前面所列的表達(dá)式可得時(shí)，從前面所列的表達(dá)式可得1d0.12sin( 3) m sdxvtt 22d0.12 cos( 3) m sdvatt 110.12 sin( 0.5)m s0.18m s3v0.12cos( 0.5)m0.104m3x 2220.12 cos

25、( 0.5)m s1.03m s3a(2)t =T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度時(shí)物體的位置、速度和加速度 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出( (3) 3) 當(dāng)當(dāng)x=- -0.06 m時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為t1 1, ,得得因該時(shí)刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去因該時(shí)刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去 ，43s11t設(shè)物體在設(shè)物體在t2 2時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是32s83. 12t11cos()32t 124,333t 1233t (3)物體從物體從x =-0.06 m向向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡

26、位置所需時(shí)間需時(shí)間上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出因此從因此從x=- -0.06 m處第一次回到平衡位置的時(shí)間：處第一次回到平衡位置的時(shí)間：另解：從另解：從t1 1時(shí)刻到時(shí)刻到t2 2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為210.83sttt 3252360.83st 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出例例. .已知已知 x xt t 曲線(xiàn)曲線(xiàn), ,寫(xiě)出振動(dòng)方程寫(xiě)出振動(dòng)方程cmA2 解解 ? t 34134 1cmtx)3234cos(2 32 2A 0 t t 32 x34 34 s1上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回

27、返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出作業(yè)：作業(yè)：P46101，102， 103上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出1. 1. 單擺單擺一根不會(huì)伸長(zhǎng)的細(xì)線(xiàn)，上端固定，下端懸掛一個(gè)一根不會(huì)伸長(zhǎng)的細(xì)線(xiàn)，上端固定，下端懸掛一個(gè)很小重物，重物略加移動(dòng)就可以在豎直平面內(nèi)來(lái)回?cái)[動(dòng)。很小重物，重物略加移動(dòng)就可以在豎直平面內(nèi)來(lái)回?cái)[動(dòng)。上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出單擺受力分析如右圖所示，單擺受力分析如右圖所示，sinmgFCol根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可得根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可得5oq很小時(shí)（小于很小時(shí)（小于），可

28、取），可取22dsindmgmlt222ddgtl 其中其中2gl上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出單擺在擺角很小時(shí)，在平衡位置附近作單擺在擺角很小時(shí)，在平衡位置附近作角諧振動(dòng)角諧振動(dòng)，周期，周期的表達(dá)式可寫(xiě)為的表達(dá)式可寫(xiě)為q轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角22gTlm0cos(t)=+qqf由初始條件求得。由初始條件求得。角振幅角振幅和初相和初相0m上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 根據(jù)上述周期的級(jí)數(shù)公式，可以將周期計(jì)算到根據(jù)上述周期的級(jí)數(shù)公式，可以將周期計(jì)算到所要求的任何精度。所要求的任何精度。當(dāng)當(dāng)q不是很小，物體不再作諧振動(dòng)，

29、而不是很小，物體不再作諧振動(dòng)，而T單擺周期單擺周期的關(guān)系為的關(guān)系為m與角振幅與角振幅0T很小時(shí)單擺的周期。很小時(shí)單擺的周期。m為為224mm022211 31sinsin222 42TT上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出o2. 2. 復(fù)擺復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱(chēng)為復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱(chēng)為復(fù)擺( (物理擺物理擺) )。 剛體的質(zhì)心為剛體的質(zhì)心為C, , 對(duì)過(guò)對(duì)過(guò)O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J, , O、C 兩點(diǎn)間距兩點(diǎn)間距離的距離為離的距離為h。據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得gmhC角度較小時(shí)角度較小時(shí)若若sindd22mgh

30、tJmghtJ22dd令令Jmgh20dd222t22JTmgh上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出例題例題10-210-2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的平底船，其平均水平截面積為的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為，吃水深度為h，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方向的振動(dòng)周期。向的振動(dòng)周期。解：解： 船靜止時(shí)浮力與重力平衡，船靜止時(shí)浮力與重力平衡，mghSg OyPPy 船在任一位置時(shí)，以水面為坐標(biāo)原點(diǎn)船在任一位置時(shí)，以水面為坐標(biāo)原點(diǎn), ,豎豎直向下的坐標(biāo)軸為直向下的坐標(biāo)軸為y軸，船的位移用軸，船的位移用y表示。表示。上頁(yè)上頁(yè)

31、 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出船的位移為船的位移為y時(shí)船所受合力為時(shí)船所受合力為船在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率和周期為船在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率和周期為因因得得,mSh()FhySgmgy Sg Sgm22mTgS2hTg上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出動(dòng)能動(dòng)能勢(shì)能勢(shì)能以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的系統(tǒng)總的機(jī)械能：機(jī)械能：2222011sin ()22KEmvmAt222011cos ()22PEkxkAtKPEEE222220011sin (

32、)cos ()22KPEEEmAtkAt上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的機(jī)械能守恒。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的機(jī)械能守恒。能量能量平均值平均值上述結(jié)果對(duì)任一諧振系統(tǒng)均成立。上述結(jié)果對(duì)任一諧振系統(tǒng)均成立?？紤]到考慮到，系統(tǒng)總能量為，系統(tǒng)總能量為2km212EkA，表明，表明222200111sin ()d24KTEmAttkAT22200111cos ()d24PTEkAttkAT2KPEEE上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線(xiàn):pEk

33、EEOtOtx221kAE tAxcos上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出步驟：步驟：一階微分方程，再根據(jù)初始條件，即可求出振動(dòng)一階微分方程，再根據(jù)初始條件，即可求出振動(dòng)從給定系統(tǒng)的能量關(guān)系式出發(fā)，得到振動(dòng)的從給定系統(tǒng)的能量關(guān)系式出發(fā)，得到振動(dòng)的方程。方程。上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出例題例題10-3 在橫截面為在橫截面為S的的U形管中有適量液體，形管中有適量液體，液體總長(zhǎng)度為液體總長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為，密度為，密度為，求液面上下，求液面上下m起伏的振動(dòng)頻率（忽略液體與管壁間的摩擦）起伏的振動(dòng)頻率（忽

34、略液體與管壁間的摩擦）。解：解：選如圖所示坐標(biāo)系，兩液面相齊時(shí)的平衡位置選如圖所示坐標(biāo)系，兩液面相齊時(shí)的平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)。系統(tǒng)的勢(shì)能為系統(tǒng)的勢(shì)能為2pEy Sg液體的動(dòng)能為液體的動(dòng)能為2k1d2dyEmt由能量守恒得由能量守恒得221d2d常量yEmy Sgt上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并整理可得對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并整理可得22d20dySgytm液體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率及周期分別為液體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率及周期分別為2 Sgm222mTSg又因?yàn)橛忠驗(yàn)閙lS22lTg上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 解：解：設(shè)棒長(zhǎng)為設(shè)棒長(zhǎng)為2 2R, , 質(zhì)量為質(zhì)量為m，在，在lABOO且不