線性代數(shù)第三章矩陣的初等變換與線性方程組課件

1、2021/8/61線性代數(shù)線性代數(shù)2021/8/62第三章第三章 矩陣的初等變換矩陣的初等變換與線性方程組與線性方程組第一節(jié)第一節(jié) 矩陣的初等變換矩陣的初等變換 第二節(jié)第二節(jié) 矩陣的秩矩陣的秩 第三節(jié)第三節(jié) 線性方程組的解線性方程組的解 2021/8/63 本章先引進矩陣的初等變換，建立本章先引進矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念矩陣的秩的概念, ,并利用初等變換討論矩并利用初等變換討論矩陣的秩的性質(zhì)然后利用矩陣的秩討論線陣的秩的性質(zhì)然后利用矩陣的秩討論線性方程組無解、有唯一解或有無窮多解的性方程組無解、有唯一解或有無窮多解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性充分必要條件，并介紹用初等變換解

2、線性方程組的方法方程組的方法2021/8/641 矩陣的初等變換矩陣的初等變換一、消元法解線性方程組一、消元法解線性方程組 二、矩陣的初等變換二、矩陣的初等變換 三、小結三、小結 2021/8/65引例引例)1(求解線性方程組求解線性方程組 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程組的過程分析：用消元法解下列方程組的過程2 2021/8/66解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 1

3、32 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx13422021/8/67)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：2021/8/68于是解得于是解得 33443231xxxxx.3為任意取值為任意取值其中其中x方方程程組組的的解解可可記記作作或或令令,3cx ,3344321 cccxxxxx.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c 303

4、40111cx即即（2）2021/8/69小結：小結：1上述解方程組的方法稱為消元法上述解方程組的方法稱為消元法 2始終把方程組看作一個整體變形，用到始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換如下三種變換（1）交換方程次序；）交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個方程；）以不等于的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的）一個方程加上另一個方程的k倍倍ij（與相互替換）（與相互替換）（以替換）（以替換）ik ij（以替換）（以替換）ik i2021/8/6103上述三種變換都是可逆的上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變

5、換后的方程組是同解的故這三種方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換變換是同解變換ji)(A若若),(B)(B則則);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B則則);(Aik )(B則則).(Ak ji2021/8/611因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算算若記若記 97963422644121121112)(bAB則對方程組的變換完全可以轉換為對矩陣則對方程組的變換完全可以轉換為對矩陣B(方方程組（程組（1）的增廣矩陣）的變換）的增廣矩陣）的

6、變換2021/8/612定義定義1 ）；記記作作兩兩行行對對調(diào)調(diào)兩兩行行（對對調(diào)調(diào)jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以數(shù)數(shù) k）記記作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）記記作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的對對應應的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:2021/8/613定義定義2 矩陣的矩陣的初等列變換初等列變換與與初等行變換初等行變換統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為初等變換初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換

7、, 且變換類且變換類型相同型相同 同理可定義矩陣的初等列變換同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是所用記號是把把“r”換成換成“c”)jirr kri 逆變換逆變換;jirr 逆變換逆變換;)1(krkrii 或或jikrr 逆變換逆變換.)(jijikrrrkr 或或2021/8/614等價，記作等價，記作與與就稱矩陣就稱矩陣，矩陣矩陣經(jīng)有限次初等變換變成經(jīng)有限次初等變換變成如果矩陣如果矩陣BABABA行行等等價價，記記作作與與就就稱稱矩矩陣陣，成成矩矩陣陣經(jīng)經(jīng)有有限限次次初初等等行行變變換換變變?nèi)缛绻鼐仃囮嘊ABABAr等等價價，記記作作列列與與就就稱稱矩矩陣陣，成成矩矩陣陣經(jīng)經(jīng)有有限

8、限次次初初等等列列變變換換變變?nèi)缛绻鼐仃囮嘊ABABAc2021/8/615等價關系的性質(zhì)：等價關系的性質(zhì)：；反身性反身性）（A A 1A;B , B A 2則則若若對對稱稱性性）（C. AC,BB, A 3則則若若）傳傳遞遞性性（具有上述三條性質(zhì)的關系稱為等價具有上述三條性質(zhì)的關系稱為等價例如，兩個線性方程組同解，例如，兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價就稱這兩個線性方程組等價2021/8/616用矩陣的初等行變換用矩陣的初等行變換 解方程組（解方程組（1）：）： 97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r2021

9、/8/617331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 2021/8/6185 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 2021/8/619對對應應的的方方程程組組為為5B 33443231xxxxx方方程程組組的的解解可可記記作作或或令令,3cx 33

10、44321cccxxxxx 30340111c.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c2021/8/620.54都稱為行階梯形矩陣都稱為行階梯形矩陣和和矩陣矩陣BB特點：特點：（1）、可劃出）、可劃出一條階梯線，線一條階梯線，線的下方全為零；的下方全為零；5 00000310003011040101B （2）、每個）、每個臺階臺階 只有一行，只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元零元2021/8/621.1 5的其他元素都為零的其他元素都為零列列，且這些非零元所在的，

11、且這些非零元所在的零行的第一個非零元為零行的第一個非零元為即非即非還稱為行最簡形矩陣，還稱為行最簡形矩陣，行階梯形矩陣行階梯形矩陣B注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的 行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標準形標準形.,A nm和行最簡形和行最簡形變換把他變?yōu)樾须A梯形變換把他變?yōu)樾须A梯形總可經(jīng)過有限次初等行總可經(jīng)過有限次初等行對于任何矩陣對于任何矩陣 2021/8/622 000003100030110401015 B214ccc 3

12、215334cccc 例如，例如，F(xiàn) 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的標標準準形形稱稱為為矩矩陣陣矩矩陣陣BF2021/8/623.為零為零陣，其余元素全陣，其余元素全的左上角是一個單位矩的左上角是一個單位矩F標標準準形形總總可可經(jīng)經(jīng)過過初初等等變變換換化化為為矩矩陣陣 Anm nmrOOOEF .,的行數(shù)的行數(shù)行階梯形矩陣中非零行行階梯形矩陣中非零行就是就是三個數(shù)唯一確定，其中三個數(shù)唯一確定，其中此標準形由此標準形由rrnm特點：特點： 所有與矩陣所有與矩陣 等價的矩陣組成的一個集等價

13、的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形合，稱為一個等價類，標準形 是這個等價類是這個等價類中最簡單的矩陣中最簡單的矩陣. .AF2021/8/624 化成行最簡形。化成行最簡形。，把，把設設例例EAA,032203120 1 100032010203001120),( EA解：解： 649100324010436001行變換行變換2021/8/625定理定理1 設設 與與 為為 矩陣，那么矩陣，那么ABnm （1） 的充分必要條件是存在的充分必要條件是存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 ， 使使BArmP;BPA （2） 的充分必要條件是存在的充分必要條件是存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 ， 使使B

14、AcnQ;BAQ （3） 的充分必要條件是存在的充分必要條件是存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 階可逆矩陣階可逆矩陣 ,使使BAnQ.BPAQ mP2021/8/626推論：方陣可逆的充分必要條件是推論：方陣可逆的充分必要條件是 EAr:),(),(的行最簡形，即的行最簡形，即是是應應，則，則的行最簡形記作的行最簡形記作若把若把AEXEEA.EAr，即，即并可驗證并可驗證1 AXEAX).,(),(1 AEEAr2021/8/627利用初等變換求逆陣的方法：利用初等變換求逆陣的方法：. )(2 1 AEEAEAnn就就變變成成時時，原原來來的的變變成成當當把把施施行行初初等等行行變變換換，矩矩陣陣即

15、即對對).,(),(1 AEEAr2021/8/628. ,343122321 1 AA求求設設 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 2021/8/629 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r2021/8/630 . 1BA 矩陣矩陣的方法，還可用于求的方法，還可用于求利用初等行

16、變換求逆陣利用初等行變換求逆陣E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行變初等行變換換2021/8/631例例.341352,343122321 , BABAXX，其其中中使使求求矩矩陣陣解解.1BAXA 可可逆逆，則則若若 343431312252321)(BA2021/8/632 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr 2021/8/633， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312r

17、r 325rr 2021/8/634例例3 3 求解矩陣方程求解矩陣方程XAAX ，其中，其中 010312022A解：解：AXEAXAAX )(),(AEA ).,(XEr2021/8/635例例4 4 設設 的行最簡形矩陣為的行最簡形矩陣為 ，求求 ，并求一個可逆矩陣，并求一個可逆矩陣 ，使，使 264211112AFFP.FPA 2021/8/6361.1.初等行初等行( (列列) )變換變換 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijikcckrr 初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同且變換類型相同3.3.矩陣等價具有的性質(zhì)矩陣等價具有的性

18、質(zhì) ;1 反身性反身性 ;2 對稱性對稱性 .3 傳遞性傳遞性2.2.A初等變換初等變換B. BA2021/8/6374. 利用初等變換求逆陣的步驟是利用初等變換求逆陣的步驟是: EA構造矩陣構造矩陣1 1,2 AEEAEA對對應應部部分分即即為為右右邊邊后后化化為為單單位位矩矩陣陣將將施施行行初初等等行行變變換換對對2021/8/6382 矩陣的秩矩陣的秩一、矩陣秩的概念一、矩陣秩的概念 二、矩陣秩的求法二、矩陣秩的求法 三、小結三、小結 2021/8/639. , 數(shù)數(shù)是是唯唯一一確確定定的的梯梯形形矩矩陣陣中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行階階把把它它變變?yōu)闉樾行须A階變變換換總總可可

19、經(jīng)經(jīng)過過有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩陣陣nmA ., 12階階子子式式的的稱稱為為矩矩陣陣階階行行列列式式，的的中中所所處處的的位位置置次次序序而而得得變變它它們們在在不不改改元元素素處處的的個個），位位于于這這些些行行列列交交叉叉列列（行行中中任任取取矩矩陣陣在在定定義義kAkAknkmkkkAnm 矩陣的秩矩陣的秩. 個個階子式共有階子式共有的的矩陣矩陣knkmCCkAnm 2021/8/640.)(0102等于零等于零并規(guī)定零矩陣的秩并規(guī)定零矩陣的秩的秩，記作的秩，記作稱為矩陣稱為矩陣的最高階非零子式，數(shù)的最高階非零子式，數(shù)稱為矩陣稱為矩陣，那末，那末于于）全等）全等階子式（如果

20、存在的話階子式（如果存在的話，且所有，且所有式式階子階子的的中有一個不等于中有一個不等于設在矩陣設在矩陣定義定義ARArADrDrA .)( 子子式式的的最最高高階階數(shù)數(shù)中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩陣陣AARAnm 簡單結論簡單結論: :，對于對于TA).()(ARART 顯有顯有1、2021/8/641，階階可可逆逆矩矩陣陣設設An , 0 A,AA的的最最高高階階非非零零子子式式為為,)(nAR .,EAEA的的標標準準形形為為單單位位陣陣故故.為為滿滿秩秩矩矩陣陣，故故稱稱可可逆逆矩矩陣陣可可逆逆矩矩陣陣的的秩秩等等于于階階數(shù)數(shù).奇奇異異矩矩陣陣為為降降秩秩矩矩陣陣4、2、;

21、)(sARsA 階階子子式式不不為為零零，則則中中有有某某個個若若矩矩陣陣.)(tARtA 階階子子式式都都為為零零，則則中中所所有有若若矩矩陣陣3、.,min)(0nmARnmA 矩矩陣陣，則則為為若若2021/8/642例例1.174532321的秩的秩求矩陣求矩陣 A解解中，中，在在 A，階子式只有一個階子式只有一個的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR2021/8/643例例2.00000340005213023012的秩的秩求矩陣求矩陣 B解解行行，其其非非零零行行有有是是一一個個行行階階梯梯形形矩矩陣陣，3B.4階子式全為零階子式全為零的所有的所有B, 0400

22、230312 而而. 3)( BR2021/8/644例例3 3，求求該該矩矩陣陣的的秩秩已已知知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解計算計算A的的3階子式，階子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR2021/8/645做做初初等等變變換換，對對矩矩陣陣 510231202231A另解另解,000031202231510231202231 顯然，非零行的行數(shù)為顯然，非零行的行數(shù)為2， . 2 AR此方法簡單！此方法簡單！2021/8/646., 梯形梯形等行變換把他變?yōu)樾须A等行變換把

23、他變?yōu)樾须A總可經(jīng)過有限次初總可經(jīng)過有限次初因為對于任何矩陣因為對于任何矩陣nmA 問題：問題：經(jīng)過初等變換矩陣的秩變嗎？經(jīng)過初等變換矩陣的秩變嗎？ . ,1 BRARBA 則則若若定理定理推論推論 若可逆矩陣若可逆矩陣 使使 則則 QP,BPAQ )()(BRAR 2021/8/647初等變換求矩陣秩的方法：初等變換求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例例4的的一一個個最最高高階階非非零零子子式式秩秩，并并求求的的求求矩矩陣陣設設AAA,41461351021

24、632305023 階梯形矩陣：階梯形矩陣：作初等行變換，變成行作初等行變換，變成行對對A解解2021/8/648 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 2021/8/649 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 2021/8/650 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 2021/8/651 84000840001134041461 00000840001134041461

25、 由階梯形矩陣有三個非零行可知由階梯形矩陣有三個非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr 2021/8/652 . 的的一一個個最最高高階階子子式式求求 A , 3)( AR . 3階階的的最最高高階階非非零零子子式式為為知知A階子式共有階子式共有的的 3A . 403534個個 CC階階梯梯形形矩矩陣陣為為的的行行則則矩矩陣陣記記),(),(42154321aaaBaaaaaA 的行階梯形矩陣，的行階梯形矩陣，考察考察A 000400140161, 3)( BR2021/8/653的的前前三三行行構構成成的的子子式式計計算算B .3階階非非零零子子式式中中必必有有故故 B.

26、4個個且且共共有有623502523 1106502523 116522 . 016 則這個子式便是則這個子式便是 的一個最高階非零子式的一個最高階非零子式.A2021/8/654例例5 5 4321,6063324208421221bA設設 .)(的的秩秩及及矩矩陣陣求求矩矩陣陣bABA 解解),( bABB 的的行行階階梯梯形形矩矩陣陣為為設設分析：分析：的行階梯形矩陣，的行階梯形矩陣，就是就是則則AA).()(),(BRARbAB及及中中可可同同時時看看出出故故從從 2021/8/655 46063332422084211221B 13600512000240011221131222rr

27、rr 143rr 2021/8/656 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( BRAR2021/8/657例例6 設設 3651231121A已知已知 ，求，求 與與 的值。的值。2)( AR 2021/8/658矩陣秩的的性質(zhì)：矩陣秩的的性質(zhì)：1、.,min)(0nmARnmA 矩矩陣陣，則則為為若若，對于對于TA).()(ARART 顯有顯有2、 . ,3BRARBA 則則、若若 . ,4ARPAQRQP 則則可可逆逆、若若 ., )(),(max5BRARBARBRAR 、 .

28、 6BRARBAR 、 .,min 7BRARABR 、 ., 8nBRAROBAlnnm 則則若若、 . 1, )( ARbARARbB為為列列向向量量時時有有特特別別地地，當當2021/8/659。nERAEREAR )2()()(證明：證明：得得：有有性性質(zhì)質(zhì)因因為為6,2)()(EAEEA ，所所以以而而)()(AEREAR 。nEAREAR )()(例例7 設設A為為n階矩陣，證明階矩陣，證明R(A+E)+R(A-E).n 2021/8/660例例8 證明：若證明：若 且且 ，則，則 ,CBAlnnm nAR )().()(CRBR 2021/8/661(2)(2)初等變換法初等變換

29、法1. 矩陣秩的概念矩陣秩的概念2. 求矩陣秩的方法求矩陣秩的方法(1)(1)利用定義利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù)即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));2021/8/662思考題思考題的的秩秩，其其中中階階矩矩陣陣求求例例：Ann)2( abbbabbbaA2021/8/6633 線性方程組的解線性方程組的解一、線性方程組有解的判定條件一、線性方程組有解的判定條件 二、線性方程組的解法二、線性方程組的解法 三、小結、思考題三、小結

30、、思考題2021/8/664的的解解討討論論線線性性方方程程組組的的秩秩，和和增增廣廣矩矩陣陣如如何何利利用用系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣bAxBA 問題：問題：11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb （3）線性方程組（線性方程組（3）如果有解，就稱它是相容的，）如果有解，就稱它是相容的，如果無解，就稱它不相容。如果無解，就稱它不相容。2021/8/665 000000000100111,1, 111rrrnrrrndddbbbbB .,)()3;,)()2;,)()12nbARARnbARARbARARbxAnnm 條件是條件是有

31、無限多解的充分必要有無限多解的充分必要件是件是有唯一解的充分必要條有唯一解的充分必要條無解的充分必要條件是無解的充分必要條件是元非齊次線性方程組元非齊次線性方程組定理定理證明：證明： 只需證條件的充分性即可。只需證條件的充分性即可。的行最簡形為：),(不妨設,)(為了敘述方便，設bABrAR2021/8/6661( )( ),1,101rR AR BBdBr 1 1) ) 若若則則 中中的的于于是是 的的第第行行對對應應矛矛盾盾方方程程，故故方方程程組組無無解解。1()(),0,rijR AR BnBdbB 2 2) ) 若若則則 中中的的（或或不不出出現(xiàn)現(xiàn)），且且也也不不出出現(xiàn)現(xiàn) 于于是是

32、對對應應方方程程組組1122nnxdxdxd 故方程有惟一解。故方程有惟一解。1( )( ),0,rR AR BrnBdB 3) 3) 若則 中的（或不出若則 中的（或不出現(xiàn)）于是 對應方程組現(xiàn)）于是 對應方程組 2021/8/66711111,111,rn rnrrrr n rnrxb xbxdxb xbxd 11,rnn rxcxc 令令自自由由未未知知量量則則111 11,11 1,11n rn rrrr n rn rrrnn rxb cbcdxb cbcdxcxc 2021/8/6681111100rbbc 112rrrnxxxxx 1,001n rr n rn rbbc 1000rd

33、d （*）解（解（*）稱為線性方程組（）稱為線性方程組（3）的通解。）的通解。由于參數(shù)由于參數(shù)1,n rcc 可取任意值，故方程組（可取任意值，故方程組（3）有無限）有無限多個解。多個解。2021/8/669定理定理4 n元齊次線性方程組元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充有非零解的充分必要條件是分必要條件是R(A)n.定理定理5 線性方程組線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是有解的充分必要條件是R(A)=R(A,b).定理定理6 矩陣方程矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是有解的充分必要條件是R(A)=R(A,B).定理定理7 設設AB=C，則則 .)(),(min)(BRARCR 202

34、1/8/670小結小結有唯一解有唯一解bAx nBRAR nBRAR 有無窮多解有無窮多解. .bAx 方程組的通解方程組的通解組的任一解，稱為線性組的任一解，稱為線性定義：含有參數(shù)的方程定義：含有參數(shù)的方程齊次線性方程組齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；便可寫出其通解；非齊次線性方程組：非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；簡形矩陣，便可寫出其通解；2021/8/671例例1 1 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組

35、.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221施行初等行變換：施行初等行變換：對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 A13122rrrr 2021/8/672 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得與原方程組同解的方程組即得與原方程組同解的方程組 , 0342, 0352432431xxxxxx2021/8/673 ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形形式式，把把

36、它它寫寫成成通通常常的的參參數(shù)數(shù)令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx2021/8/674例例 求解非齊次線性方程組求解非齊次線性方程組 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解對增廣矩陣對增廣矩陣B進行初等變換，進行初等變換， 322122351311321B13122rrrr 10450104501132123rr 200001045011321, 3)(, 2)( BRAR顯顯然然，故方程組無解故方程組無解2021/8/675例例 求解非齊次方程組的通解求解非齊次方程組的通解.2132130432143214

37、321 xxxxxxxxxxxx解解 對增廣矩陣對增廣矩陣B進行初等變換進行初等變換 2132111311101111B 21210014200011112021/8/676.00000212100211011 , 2 BRAR由由于于故方程組有解，且有故方程組有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx2021/8/677.02102112000011424321 xxxxxx.,42任任意意其其中中xx所以方程組的通解為所以方程組的通解為2021/8/678例例 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情況況下下，是是有有解解的的充充要要條條件件證證明明方方程程組組. 054321515454343232121 aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解證解證對增廣矩陣對增廣矩陣B進行初等變換，進行初等變換，方程組的增廣矩陣為方程組的增廣矩陣為2021/8/679 543211000111000011000011000011aaaaaB 5143210000011000011000011000011iiaaaaa 051 iiaBRAR2021/8/680. 051 iia是是方方程程組組有有解解的的充充要要條條件件由于原方