等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)公開(kāi)課

1、2021/8/612021/8/62等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式: :2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （形式形式1:1:形式形式2:2:復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧2021/8/63. .將等差數(shù)列前將等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 看作是一個(gè)關(guān)于看作是一個(gè)關(guān)于n n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù) 有什么特點(diǎn)？有什么特點(diǎn)？2) 1(1dnnnaSn當(dāng)當(dāng)d00時(shí)時(shí),S,Sn n是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)21()22nddSnan 則則 Sn=An2+Bn令令1,22ddABa 2021/8/64 例例.若一個(gè)等差數(shù)列前若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)和為項(xiàng)和為34，

2、最后三項(xiàng)，最后三項(xiàng)和為和為146，且所有項(xiàng)的和為，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)列共有列共有_項(xiàng)。項(xiàng)。2021/8/65等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差數(shù)列也在等差數(shù)列,公差為公差為在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,其前其前n項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為Sn,則有則有性質(zhì)性質(zhì)2:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則則 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1為中為中間兩項(xiàng)間兩項(xiàng)),此時(shí)有此時(shí)有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶n2dnd1nnaa 2021/8/66性質(zhì)性質(zhì)2:(2)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)若項(xiàng)數(shù)為奇

3、數(shù)2n1,則則 S2n-1=(2n 1)an (an為中間項(xiàng)為中間項(xiàng)), 此時(shí)有此時(shí)有:S奇奇S偶偶= ,SS 奇奇偶偶兩等差數(shù)列前兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系性質(zhì)性質(zhì)4:若數(shù)列若數(shù)列an與與bn都是等差數(shù)列都是等差數(shù)列,且且前前n項(xiàng)的和分別為項(xiàng)的和分別為Sn和和Tn,則則nnab 性質(zhì)性質(zhì)3: 為等差數(shù)列為等差數(shù)列.nSnan1nn 2121nnST 2021/8/67等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用：等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用： 例例1、已知一個(gè)等差數(shù)列前已知一個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為25， 前前2n項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為100，求前，求前3n項(xiàng)和。項(xiàng)和。2021/8/68例例2.設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差

4、數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn,若若S3=9,S6=36,則則a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27例例3.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,已知公差已知公差d=1/2,且且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.145 C.110 D.90BA3.等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用2021/8/69等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用：等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用： 例例4、已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列 的前的前10項(xiàng)之和項(xiàng)之和 為為140，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為125 ， 求第求第6項(xiàng)。項(xiàng)。 na2021/8/610解：由

5、已知解：由已知1210140aaa13579125aaaaa則則24681015aaaaa6515a63a 故故2021/8/6111732225662256)(63542111212111daddada5 d 解一解一：設(shè)首項(xiàng)為：設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為公差為d,則則 例例. 一個(gè)等差數(shù)列的前一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)之和為項(xiàng)之和為354，前前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為32：27，求公差。求公差。2021/8/612 由 2732354奇偶偶奇SSSS6SSd偶奇5d162192奇偶SS解二：解二：例例5. 一個(gè)等差數(shù)列的前一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)之和為項(xiàng)之和為354，前前1

6、2項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為32：27，求公差。求公差。 2021/8/613等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用：等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用： 例、例、已知一個(gè)等差數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，已知一個(gè)等差數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)， 且奇數(shù)項(xiàng)之和為且奇數(shù)項(xiàng)之和為77，偶數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為 66，求中間項(xiàng)及總項(xiàng)數(shù)。，求中間項(xiàng)及總項(xiàng)數(shù)。2021/8/614解：由解：由 中間項(xiàng)中間項(xiàng)SS奇偶得中間項(xiàng)為得中間項(xiàng)為11又由又由143SS奇偶得得13n 2021/8/615例例6.兩等差數(shù)列兩等差數(shù)列an 、bn的前的前n項(xiàng)和分項(xiàng)和分別是別是Sn和和Tn,且且71427nnSnTn 求求 和和 . 55abnnab5

7、56463ab 146823nnanbn 等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用2021/8/616例例6.(09寧夏寧夏)等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和為為Sn,已知已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則則m= .例例7.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an=2n-7,則則|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .10153等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用2021/8/617例例8.設(shè)等差數(shù)列的前設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn,已知已知a3=12,S120,S13013a1+136d02437d 等差數(shù)

8、列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì)2021/8/618(2) 11(1)2nSnan nd1(122 )(1)2ndn nd25(12)22ddnnSn圖象的對(duì)稱軸為圖象的對(duì)稱軸為5122nd由由(1)知知2437d 由上得由上得51213622d1362n即即由于由于n為正整數(shù)為正整數(shù),所以當(dāng)所以當(dāng)n=6時(shí)時(shí)Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.2021/8/619等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用：等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用： na例例9：已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列 中，中， 求求 的值。的值。 qppSqSqp ,qpS2021/8/620解法解法1：dadqqqapdpppaq1112121dqpq

9、paqpSqp211代入下式得：代入下式得：qp 2021/8/621pqqpBqpApBqAqqBpAp22221BqpA2A pqB pqpq解法解法2：設(shè)：設(shè)*2NnBnAnSnp qSpq 2021/8/622解法解法3：由已知：由已知11(1)2(1)2pqp pSpadqq qSqadp1()(1)()2pqpqpq adqp兩式相減得兩式相減得pq1112pqad 1()(1)()()2p qpqpqSpq adpq 2021/8/623212nSnn 例例7 7.已知數(shù)列已知數(shù)列 前前n項(xiàng)和項(xiàng)和 ，（1）求證：）求證： 為等差數(shù)列；為等差數(shù)列；（）記數(shù)列（）記數(shù)列 的前項(xiàng)和為的

10、前項(xiàng)和為 ， 求求 的表達(dá)式的表達(dá)式.nananTnTna2021/8/624例例8. 已知正整數(shù)數(shù)列已知正整數(shù)數(shù)列 中中,前前n項(xiàng)和項(xiàng)和 滿足滿足 na,)3(1212nnaSnS na求證求證: 為等差數(shù)列為等差數(shù)列.2021/8/625例例9.已知數(shù)列已知數(shù)列 的首項(xiàng)的首項(xiàng)a,其前其前n項(xiàng)和項(xiàng)和sn和和an之間的關(guān)系滿之間的關(guān)系滿 an)2(1222nSSnnnS1(1) 求證求證 : 為等差數(shù)列；為等差數(shù)列；(2) 求求 an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. na2021/8/626練習(xí)：已知在等差數(shù)列練習(xí)：已知在等差數(shù)列 an n 中中, ,a10=23, ,a25=-22 , ,Sn為其前為

11、其前n項(xiàng)和項(xiàng)和. .（1 1）問(wèn)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)？）問(wèn)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)？（2 2）求）求S10（3 3）求使）求使 Sn0的最小的正整數(shù)的最小的正整數(shù)n. . (4) (4) 求求| |a1 1|+|+|a2 2|+|+|a3 3|+|+|+|a2020| |的值的值2021/8/6271.1.根據(jù)等差數(shù)列前根據(jù)等差數(shù)列前n n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式. .1112nnnanaSSn 2 2、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求 的最值的最值. .ndandSn)2(2122021/8/6283.等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差數(shù)列也在等差數(shù)列,公差為公差為在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,其前其前n項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為Sn,則有則有性質(zhì)性質(zhì)2:若若Sm=p,Sp=m(mp),則則Sm+p=性質(zhì)性質(zhì)3:若若Sm=Sp (mp),則則 Sp+m=性質(zhì)性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則則 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1為中為中間兩項(xiàng)間兩項(xiàng)),此時(shí)有此時(shí)有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶n2d0nd1nnaa (m+p)2021/8/629性質(zhì)性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)若項(xiàng)數(shù)為