高等固體物理4

1、2021/8/61第四章第四章 維度維度4.1 4.1 半導(dǎo)體低維電子系統(tǒng)半導(dǎo)體低維電子系統(tǒng) 4.2 4.2 二維體系中的相變二維體系中的相變4.3 4.3 準(zhǔn)一維體系的準(zhǔn)一維體系的PeierlsPeierls 不穩(wěn)定性和電荷密度波不穩(wěn)定性和電荷密度波2021/8/624.1 4.1 半導(dǎo)體低維電子系統(tǒng)半導(dǎo)體低維電子系統(tǒng)1.維度維度 三維自由電子氣體，沿三維自由電子氣體，沿z方向?qū)w系的尺寸限制：方向?qū)w系的尺寸限制： zW02202222)21(:)21)(,2,2)(2)( nzmzVnWmWnxykmkknnnn對(duì)對(duì)于于拋拋物物線線型型的的限限制制勢(shì)勢(shì)為為電電子子的的波波長(zhǎng)長(zhǎng)如如限限制制

2、勢(shì)勢(shì)為為方方勢(shì)勢(shì)阱阱：平平面面上上的的分分量量。是是波波矢矢在在F n=1k n=2電子只占據(jù)電子只占據(jù)n=1的子帶，二維體系的子帶，二維體系n1也占據(jù)，準(zhǔn)二維體系也占據(jù)，準(zhǔn)二維體系2021/8/632. Si反型層及反型層及GaAs-AlGaAs異質(zhì)結(jié)異質(zhì)結(jié)2021/8/642021/8/65金屬金屬SiO2耗盡層耗盡層反型層反型層F geV導(dǎo)帶導(dǎo)帶價(jià)帶價(jià)帶F 價(jià)帶價(jià)帶導(dǎo)帶導(dǎo)帶 zAsGaAlxx 1GaAsnmlsVcmcmnnmeVxse422642111010/10101042,067. 03 . 0, 3 . 0 程程長(zhǎng)長(zhǎng)的的彈彈性性散散射射平平均均自自由由高高遷遷移移率率：電電子子

3、有有效效質(zhì)質(zhì)量量導(dǎo)導(dǎo)帶帶底底能能量量差差nmlsVcmcmVnmeVmSigse12040:/1010)101(202 . 0)100(2421112彈彈性性散散射射平平均均自自由由程程遷遷移移率率：表表面面電電子子的的有有效效質(zhì)質(zhì)量量： 2021/8/66Split gates and one-dimensional electron gasesThis split-gate technique was pioneered by the Semiconductor Physics Group at the Cavendish Laboratory of the University of C

4、ambridge, in England, in 1986, by Trevor Thornton and Professor Michael Pepper. 2021/8/673.量子化霍爾效應(yīng)（量子化霍爾效應(yīng)（Quantum Hall Effects (QHE) )(1)霍爾效應(yīng)基礎(chǔ)霍爾效應(yīng)基礎(chǔ)E. Hall, Am. J. Math. 2, 287 (1879)= Hall effect I+ -VVcurrent sourceresistivityHall voltageBxyzd2021/8/68根據(jù)德魯特電導(dǎo)理論根據(jù)德魯特電導(dǎo)理論, 金屬中的電子在被雜質(zhì)散射前的一段時(shí)金屬中的電子在

5、被雜質(zhì)散射前的一段時(shí)間間t t內(nèi)在電場(chǎng)下加速內(nèi)在電場(chǎng)下加速, 散射后速度為零散射后速度為零. t t稱為弛豫時(shí)間稱為弛豫時(shí)間. 電子的電子的平均遷移速度為平均遷移速度為:meEvd/t t 電流密度為電流密度為:Enevjd0 mne/20t t 若存在外加靜磁場(chǎng)若存在外加靜磁場(chǎng), 則電導(dǎo)率和電阻率都變?yōu)閺埩縿t電導(dǎo)率和電阻率都變?yōu)閺埩?yyyxxyxxyyyxxyxx ,此處此處jEEj ,仍成立仍成立有磁場(chǎng)時(shí)有磁場(chǎng)時(shí), 加入羅侖茲力加入羅侖茲力, 電子遷移速度為電子遷移速度為mcBvEevddt t)( 2021/8/69穩(wěn)態(tài)時(shí)穩(wěn)態(tài)時(shí), , , , 假定磁場(chǎng)沿假定磁場(chǎng)沿z z方向方向, ,

6、在在xy xy 平面內(nèi)平面內(nèi)dnevj yxcyxycxjjEjjE t t t t 00mceBc 202000)(1,)(1,1t t t t t t t t ccyxxycyyxxcyxxyyyxx 易得易得2222,xyxxxyxyxyxxxxxx 如果如果 , 則當(dāng)則當(dāng) 為為0時(shí)時(shí) 也為也為0. 0 xy xx xx 2021/8/610另一方面另一方面t t cxxxyBnec 由此由此, , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), , , , 為霍爾電導(dǎo)為霍爾電導(dǎo)0 xx yxyxEj xy BnecxyH 在量子力學(xué)下（在量子力學(xué)下（E沿沿x方向）方向）eExceAPmH 2)(21選擇矢量勢(shì)選擇矢量勢(shì)

7、)0 , 0(BxA 波函數(shù)為波函數(shù)為)()()(212)(),(222222xxeExklxmdxdmxeyxyccyiky 21 eBclc經(jīng)典回旋半徑經(jīng)典回旋半徑xxyxyxyEEj 2021/8/611,.3,2,1 ,0,)(),()2()21()(22002)()(22220 imeEklxlxxHeeyxmeEkleEiEcyccilxxyikicyccicy 解為：解為：Landau 能級(jí)能級(jí) In two-dimensional systems, the Landau energy levels are completely seperate while in three-d

8、imensional systems the spectrum is continuous due to the free movement of electrons in the direction of the magnetic field. 2021/8/612計(jì)算平均速度計(jì)算平均速度 011*drximvBEcdrceBxyimviixiiy BneEcjy 與經(jīng)典結(jié)果相同與經(jīng)典結(jié)果相同. .在在LandauLandau能級(jí)上能級(jí)上, , 縱向電流為縱向電流為0.0.(2)整數(shù)量子霍爾效應(yīng)整數(shù)量子霍爾效應(yīng)1975年年S.Kawaji等首次測(cè)量了反型層的霍爾電導(dǎo)等首次測(cè)量了反型層的霍爾電

9、導(dǎo), 1978年年 Klaus von Klitzing 和和Th. Englert 發(fā)現(xiàn)霍爾平臺(tái)發(fā)現(xiàn)霍爾平臺(tái), 但但直到直到1980年年, 才注意到霍爾平臺(tái)的量子化單位才注意到霍爾平臺(tái)的量子化單位 , 2eh2021/8/613K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 495 (1980) for a sufficiently pure interface ( Si-MOSFET ) = integer quantum Hall effect The Nobel Prize in Physics 1985fo

10、r the discovery of the quantized Hall effect. K. von Klitzing（1943）2021/8/6142021/8/615實(shí)驗(yàn)設(shè)置示意圖實(shí)驗(yàn)設(shè)置示意圖 實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的霍爾電阻實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的霍爾電阻1, 霍爾電阻有臺(tái)階霍爾電阻有臺(tái)階,2, 臺(tái)階高度為臺(tái)階高度為 , i 為整數(shù)為整數(shù), 對(duì)應(yīng)于占滿第對(duì)應(yīng)于占滿第 i 個(gè)個(gè)Landau能級(jí)能級(jí),精度大約為精度大約為5ppm.3, 臺(tái)階處縱向電阻為零臺(tái)階處縱向電阻為零.2ieh2021/8/6162021/8/6172021/8/618When these levels are well resolved

11、, if a voltage is applied between the ends of a sample, the voltage drop between voltage probes along the edge of a sample can go to zero in particular ranges of B, and the Hall resistance becomes extremely accurately quantised2021/8/619由于雜質(zhì)的作用由于雜質(zhì)的作用, Landau, Landau能級(jí)的態(tài)密度將展寬能級(jí)的態(tài)密度將展寬( (如下圖如下圖). ).

12、兩種狀態(tài)兩種狀態(tài): : 擴(kuò)展態(tài)擴(kuò)展態(tài) 和和 局域態(tài)局域態(tài)只有擴(kuò)展態(tài)可以傳導(dǎo)霍爾電流只有擴(kuò)展態(tài)可以傳導(dǎo)霍爾電流(0(0度下度下), ), 因此若擴(kuò)展態(tài)的占據(jù)數(shù)不變因此若擴(kuò)展態(tài)的占據(jù)數(shù)不變, , 則霍爾電流不變則霍爾電流不變. . 當(dāng)當(dāng)FermiFermi能級(jí)位于能隙中時(shí)能級(jí)位于能隙中時(shí), , 出現(xiàn)霍爾平臺(tái)出現(xiàn)霍爾平臺(tái). . Laughlin(1981) Laughlin(1981) 和和 Halperin(1982)Halperin(1982)基于規(guī)范變換證明：基于規(guī)范變換證明：iehGiRhcieBnLandauihceBEgLandaumEgBnecGFermiHHcFH221)()(2)(

13、)( 能能級(jí)級(jí)：個(gè)個(gè)如如電電子子占占據(jù)據(jù)簡(jiǎn)簡(jiǎn)并并度度能能級(jí)級(jí)加加磁磁場(chǎng)場(chǎng)無(wú)無(wú)外外磁磁場(chǎng)場(chǎng)，能能級(jí)級(jí)處處于于能能隙隙中中如如 2021/8/620應(yīng)用：應(yīng)用： (a)(a)電阻標(biāo)準(zhǔn)電阻標(biāo)準(zhǔn))102(806.25812199082 精精度度年年起起，電電阻阻標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)：自自eh2021/8/621應(yīng)用：應(yīng)用： (b)(b)精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的測(cè)量精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的測(cè)量022 hce 2021/8/622(3)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)1982年年, 崔琦崔琦, H.L. Stomer 等發(fā)現(xiàn)具有分?jǐn)?shù)量子數(shù)的霍爾平臺(tái)等發(fā)現(xiàn)具有分?jǐn)?shù)量子數(shù)的霍爾平臺(tái), 一年后一年后, R.B.Laughlin寫下了一個(gè)波函數(shù)

14、寫下了一個(gè)波函數(shù), 對(duì)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)給出了很好的解釋對(duì)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)給出了很好的解釋.D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. G. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982) for an extremely pure interface ( GaAs/AlGaAs heterojunction ) where electrons could move ballistically = fractional quantum Hall effect R.B.Laughlin, Phys. Rev. Lett. 50, No.1

15、8 (1983) The Nobel Prize in Physics 1998Robert B. Laughlin(1950)DANIEL C. TSUI(1939)Horst L. Stormer(1949)for their discovery of a new form of quantum fluid with fractionally charged excitations.2021/8/623分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng):崔琦崔琦, Stomer , Stomer 等發(fā)現(xiàn)等發(fā)現(xiàn), , 當(dāng)當(dāng)LandauLandau能級(jí)的占據(jù)數(shù)能級(jí)的占據(jù)數(shù)為為整整數(shù)數(shù)mpmpEghnvc,)(

16、有霍爾平臺(tái)有霍爾平臺(tái)2021/8/6242021/8/625分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)不可能在單粒子圖象下解釋分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)不可能在單粒子圖象下解釋, , 引入相互作用引入相互作用 jijiiiiirrerVceApmH22)(21在超強(qiáng)磁場(chǎng)下在超強(qiáng)磁場(chǎng)下, , 電子位于第一電子位于第一LandauLandau能級(jí)能級(jí). . 其單粒子波函數(shù)為其單粒子波函數(shù)為iyxzmIzzmcmm ,!2)4/|exp(122* 這一狀態(tài)對(duì)應(yīng)于電子在一由下式給出的面積內(nèi)運(yùn)動(dòng)這一狀態(tài)對(duì)應(yīng)于電子在一由下式給出的面積內(nèi)運(yùn)動(dòng))1(2|22 mlmzmc Laughlin Laughlin 建議了如下形式的波函數(shù)建議了如下形式

17、的波函數(shù) jikckmjilzzzz)4/exp()()(22 這一狀態(tài)的占據(jù)數(shù)為這一狀態(tài)的占據(jù)數(shù)為mv1 2021/8/626Laughlin 計(jì)算了計(jì)算了m=3, m=5時(shí)這一波函數(shù)的能量時(shí)這一波函數(shù)的能量, 發(fā)現(xiàn)比對(duì)應(yīng)發(fā)現(xiàn)比對(duì)應(yīng)密度下密度下CDW的能量要低的能量要低. 這一狀態(tài)稱為這一狀態(tài)稱為分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài), 或或Laughlin態(tài)態(tài), 當(dāng)密度改變從而偏離占據(jù)數(shù)當(dāng)密度改變從而偏離占據(jù)數(shù)1/3, 1/5時(shí)時(shí), 對(duì)應(yīng)于準(zhǔn)對(duì)應(yīng)于準(zhǔn)粒子激發(fā)粒子激發(fā), 激發(fā)譜具有能隙激發(fā)譜具有能隙, 準(zhǔn)粒子的電荷為分?jǐn)?shù)準(zhǔn)粒子的電荷為分?jǐn)?shù)(1/3, 1/5). 因因此此Laughlin態(tài)是一個(gè)態(tài)是一個(gè)

18、不可壓縮的量子液體狀態(tài)不可壓縮的量子液體狀態(tài). FQHE 態(tài)態(tài). 綠球代表被暫時(shí)凍結(jié)的電子綠球代表被暫時(shí)凍結(jié)的電子, 藍(lán)色為代表藍(lán)色為代表性電子的電荷密度性電子的電荷密度, 黑色箭頭代表磁通線黑色箭頭代表磁通線.3/1 v2021/8/627同同 IQHE一樣一樣, Fermi 能級(jí)處于能隙位置時(shí)能級(jí)處于能隙位置時(shí), 出現(xiàn)出現(xiàn)FQHE 平臺(tái)平臺(tái). 不同之處在于不同之處在于IHQE的能隙來(lái)源于單粒子態(tài)在強(qiáng)磁的能隙來(lái)源于單粒子態(tài)在強(qiáng)磁場(chǎng)中的量子化場(chǎng)中的量子化, 而而FQHE的能隙來(lái)源于多體關(guān)聯(lián)效應(yīng)的能隙來(lái)源于多體關(guān)聯(lián)效應(yīng). Haldane 和和 Halperin, 利用級(jí)聯(lián)模型利用級(jí)聯(lián)模型, 指出

19、指出Laughlin 態(tài)的態(tài)的準(zhǔn)粒子和準(zhǔn)空穴激發(fā)將凝聚為高階分?jǐn)?shù)態(tài)準(zhǔn)粒子和準(zhǔn)空穴激發(fā)將凝聚為高階分?jǐn)?shù)態(tài), 如從如從 1/3 態(tài)態(tài)出發(fā)出發(fā), 加入準(zhǔn)粒子導(dǎo)致加入準(zhǔn)粒子導(dǎo)致 2/5態(tài)態(tài), 加入空穴導(dǎo)致加入空穴導(dǎo)致2/7態(tài)態(tài). 準(zhǔn)粒子準(zhǔn)粒子由這些態(tài)激發(fā)出來(lái)并凝聚為下一級(jí)的態(tài)由這些態(tài)激發(fā)出來(lái)并凝聚為下一級(jí)的態(tài) . P 為偶數(shù)為偶數(shù), 對(duì)應(yīng)于粒子型元激發(fā)對(duì)應(yīng)于粒子型元激發(fā)對(duì)應(yīng)于空穴型元激發(fā)對(duì)應(yīng)于空穴型元激發(fā)1 1 mppv2021/8/628級(jí)聯(lián)模型的特點(diǎn)級(jí)聯(lián)模型的特點(diǎn): : 1. 1. 無(wú)法解釋那一個(gè)子態(tài)是較強(qiáng)的態(tài)無(wú)法解釋那一個(gè)子態(tài)是較強(qiáng)的態(tài). . 2. 2. 幾次級(jí)聯(lián)后幾次級(jí)聯(lián)后, , 準(zhǔn)粒子的數(shù)目

20、將超過(guò)電子的數(shù)目準(zhǔn)粒子的數(shù)目將超過(guò)電子的數(shù)目. .3. 3. 系統(tǒng)在分?jǐn)?shù)占據(jù)數(shù)之間沒(méi)有定義系統(tǒng)在分?jǐn)?shù)占據(jù)數(shù)之間沒(méi)有定義. .4. 4. 準(zhǔn)粒子具有分?jǐn)?shù)電荷準(zhǔn)粒子具有分?jǐn)?shù)電荷. .復(fù)合費(fèi)米子模型復(fù)合費(fèi)米子模型 (CF)(CF) 一個(gè)復(fù)合費(fèi)米子由一個(gè)電子和偶數(shù)個(gè)磁通線構(gòu)成一個(gè)復(fù)合費(fèi)米子由一個(gè)電子和偶數(shù)個(gè)磁通線構(gòu)成. . 復(fù)復(fù)合費(fèi)米子包含了所有的多體相互作用合費(fèi)米子包含了所有的多體相互作用. . FQHE FQHE是是CFCF在一個(gè)有效磁場(chǎng)下的在一個(gè)有效磁場(chǎng)下的IQHE.IQHE. CF CF 具有整數(shù)電荷具有整數(shù)電荷. . CF CF 模型可以給出所有觀察到的分?jǐn)?shù)態(tài)模型可以給出所有觀察到的分?jǐn)?shù)態(tài),

21、 , 包括這些態(tài)的相包括這些態(tài)的相對(duì)強(qiáng)度及當(dāng)減小溫度對(duì)強(qiáng)度及當(dāng)減小溫度, , 提高樣品質(zhì)量時(shí)出現(xiàn)的次序提高樣品質(zhì)量時(shí)出現(xiàn)的次序. . CF CF 指出指出: v=1/2 : v=1/2 態(tài)態(tài), , 對(duì)應(yīng)的有效磁場(chǎng)為對(duì)應(yīng)的有效磁場(chǎng)為0, 0, 是具有金屬是具有金屬特征的特殊狀態(tài)特征的特殊狀態(tài). .2021/8/6292021/8/6302021/8/6312021/8/6322021/8/6332021/8/634新進(jìn)展新進(jìn)展觀察到分?jǐn)?shù)電荷漲落觀察到分?jǐn)?shù)電荷漲落. .FQHE FQHE 的的Ginsburg Landau Ginsburg Landau 理論理論. .費(fèi)米費(fèi)米, , 玻色玻色 和

22、分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì). .邊緣態(tài)和共形場(chǎng)論邊緣態(tài)和共形場(chǎng)論. .利用一維結(jié)觀察分?jǐn)?shù)電荷利用一維結(jié)觀察分?jǐn)?shù)電荷 C.L. Kane and M.P.A. Fisher, Shot in the Arm for Fractional Charge, Nature 389, 119 (1997).2021/8/635The Quantum Hall effect (QHE) is one example of a quantum phenomenon that occurs on a truly macroscopic scale. The signature of QHE is the quanti

23、zation plateaus in the Hall resistance (Rxy) and vanishing magnetoresistance (Rxx) in a magnetic field. The QHE, exclusive to two-dimensional metals, has led to the establishment of a new metrological standard, the resistance quantum, , that contains only fundamental constant. As with many other qua

24、ntum phenomena, the observation of the QHE usually requires low temperatures (previously reported highest temperature was 30 K). In graphene, a single atomic layer of graphite, however, we have observed a well-defined QHE at room temperature owing to the unusual electronic band structure and the rel

25、ativistic nature of the charge carriers of graphene.Room-Temperature Quantum Hall Effect in GraphenePI: Philip Kim, Department of Physics, Columbia UniverstySupported by NSF (No. DMR-03-52738 and No. CHE-0117752), NYSTARDOE (No. DE-AIO2-04ER46133 and No. DE-FG02-05ER46215), and Keck FoundationNHMFLT

26、=300 K B=45 TNovoselov, K.S.; Jiang, Z.; Zhang, Y.; Morozov, S.V.;Stormer, H.L.; Zeitler, U.; Maan, J.C.; Boebinger, G.S.;Kim, P. and Geim, A.K., Science, 315 (5817), 1379 (2007).Figure: Magnetoresistance (Rxx) and Hall resistance (Rxy) ofgraphene as a function of the back gate voltage (Vg) in amagn

27、etic field of B=45 T at room temperature. h/e22021/8/6364.2 4.2 二維體系中的相變二維體系中的相變連續(xù)相變的描述：序參量連續(xù)相變的描述：序參量 非零非零零零維度對(duì)相變、臨界行為有重要影響維度對(duì)相變、臨界行為有重要影響一維體系，一維體系，T0T0時(shí)，體系總是無(wú)序，不存在長(zhǎng)程序，無(wú)相變時(shí)，體系總是無(wú)序，不存在長(zhǎng)程序，無(wú)相變二維體系？二維體系？相變?nèi)Q于序參量的自由度數(shù)相變?nèi)Q于序參量的自由度數(shù)N=1,N=1,有相變，如二維有相變，如二維IsingIsing模型模型N=3,N=3,無(wú)相變，如二維無(wú)相變，如二維HeisenbergHeise

28、nberg模型模型N=2: N=2: 序參量為零，但可有準(zhǔn)長(zhǎng)程序，序參量為零，但可有準(zhǔn)長(zhǎng)程序， Kosterlitz-Thouless(K-T)Kosterlitz-Thouless(K-T)相變相變 相變概念的拓寬相變概念的拓寬 )()()()()()()(三維三維二維二維一維一維TcrerGTTr 2021/8/637序參量自由度序參量自由度n=2n=2的二維系統(tǒng)：的二維系統(tǒng)： 自旋自旋X-YX-Y模型模型，二維超流體、二維超導(dǎo)體及二維晶體等，二維超流體、二維超導(dǎo)體及二維晶體等低溫下，自旋的關(guān)聯(lián)隨距離作代數(shù)式的衰減。對(duì)有限尺寸的低溫下，自旋的關(guān)聯(lián)隨距離作代數(shù)式的衰減。對(duì)有限尺寸的樣品，二維

29、樣品，二維X-YX-Y模型的低溫相就呈現(xiàn)出表觀的長(zhǎng)程序（準(zhǔn)長(zhǎng)模型的低溫相就呈現(xiàn)出表觀的長(zhǎng)程序（準(zhǔn)長(zhǎng)程序），到高溫，則為沒(méi)有長(zhǎng)程序的無(wú)序相所取代，期間有程序），到高溫，則為沒(méi)有長(zhǎng)程序的無(wú)序相所取代，期間有無(wú)相變？無(wú)相變？19701970年：年：BrezinskiiBrezinskii提出渦旋對(duì)松解所對(duì)應(yīng)的連續(xù)相變思想提出渦旋對(duì)松解所對(duì)應(yīng)的連續(xù)相變思想 (Z.Eksp.Tev.Fiz.,59,907(1970)(Z.Eksp.Tev.Fiz.,59,907(1970)19731973年：年：KosterlitzKosterlitz和和ThoulessThouless討論二維超流相變，獨(dú)立提討論二維

30、超流相變，獨(dú)立提 出類似想法并發(fā)展為較完整理論（出類似想法并發(fā)展為較完整理論（J.Phys.C,6,1181(1973)J.Phys.C,6,1181(1973)基本思想：拓?fù)淙毕莼舅枷耄和負(fù)淙毕? (如渦旋（如渦旋（Vortex)Vortex)介入的相變介入的相變2021/8/638拓?fù)浼ぐl(fā)：拓?fù)浼ぐl(fā)： 二維點(diǎn)陣格點(diǎn)：格點(diǎn)二維點(diǎn)陣格點(diǎn)：格點(diǎn)i i上的自旋與上的自旋與X X軸夾角為軸夾角為通過(guò)任意一些格點(diǎn)，劃一閉合回路通過(guò)任意一些格點(diǎn)，劃一閉合回路L L，沿此回路逆時(shí)針?lè)剑卮嘶芈纺鏁r(shí)針?lè)较蚶@行一周，相鄰兩格點(diǎn)的方向角之差：向繞行一周，相鄰兩格點(diǎn)的方向角之差：i LiLiiii 1的的，拓拓

31、撲撲性性激激發(fā)發(fā)角角將將是是多多值值的的，拓拓?fù)鋼湫孕悦棵總€(gè)個(gè)格格點(diǎn)點(diǎn)上上自自旋旋的的方方向向?yàn)闉橥赝負(fù)鋼浜珊蓻Q決定定了了渦渦旋旋的的強(qiáng)強(qiáng)度度，稱稱非非拓拓?fù)鋼湫孕约ぜぐl(fā)發(fā)角角是是確確定定的的，單單值值的的，每每個(gè)個(gè)格格點(diǎn)點(diǎn)上上自自旋旋的的方方向向nnnLLL,.)2, 1(2, 0)2(:0)1( 0)(0)(20)(4)()(:)( rdvvvvvervvrDvvvvvvvrrvrvsvsvzvssvsvs之之間間沒(méi)沒(méi)有有相相互互作作用用：和和可可以以證證明明：和和無(wú)無(wú)源源場(chǎng)場(chǎng)分分為為無(wú)無(wú)旋旋場(chǎng)場(chǎng)將將速速度度場(chǎng)場(chǎng)定定義義速速度度場(chǎng)場(chǎng)看看成成流流體體中中的的速速度度勢(shì)勢(shì)，將將 拓?fù)浼ぐl(fā)和非拓

32、撲激發(fā)和非拓?fù)浼ぐl(fā)可分拓?fù)浼ぐl(fā)可分開(kāi)來(lái)討論開(kāi)來(lái)討論2021/8/639自旋渦旋自旋渦旋正渦旋正渦旋負(fù)渦旋負(fù)渦旋2021/8/640拓?fù)湫栽ぐl(fā)之間的相互作用拓?fù)湫栽ぐl(fā)之間的相互作用荷荷。該該拓拓?fù)鋼湫孕栽ぜぐl(fā)發(fā)的的拓拓?fù)鋼渲弥蒙仙?，其其電電荷荷量量正正比比于于激激發(fā)發(fā)的的位位維維點(diǎn)點(diǎn)電電荷荷位位于于拓拓?fù)鋼湫孕栽g間的的相相互互作作用用。這這些些二二點(diǎn)點(diǎn)電電荷荷之之用用在在形形式式上上等等同同于于二二維維拓拓?fù)鋼湫孕栽ぜぐl(fā)發(fā)的的相相互互作作 )(40)(2)(rEErverExyvzv 定定義義新新的的二二維維矢矢量量場(chǎng)場(chǎng)：平平面面上上的的二二維維矢矢量量是是無(wú)無(wú)源源場(chǎng)場(chǎng)拓拓?fù)鋼湫?/p>

33、性元元激激發(fā)發(fā)所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的二維靜電場(chǎng)二維靜電場(chǎng)二維點(diǎn)電荷：二維點(diǎn)電荷：二二維維泊泊松松方方程程二二維維平平面面內(nèi)內(nèi)：在在垂垂直直于于直直線線的的任任何何均均勻勻帶帶電電的的直直線線電電荷荷，（足足三三維維泊泊松松方方程程分分布布在在二二維維平平面面里里，滿滿220222222)ln(2)()2()()(4)()1(yxrrrqrVrqrVrqrVzyx )ln(2),(arrqqrrUjijiji 2021/8/641K-TK-T相變相變正渦旋正渦旋負(fù)渦旋負(fù)渦旋渦旋對(duì)渦旋對(duì)低溫下，正負(fù)渦旋構(gòu)成束低溫下，正負(fù)渦旋構(gòu)成束縛對(duì)，對(duì)長(zhǎng)程的自旋排列縛對(duì)，對(duì)長(zhǎng)程的自旋排列影響不大，系統(tǒng)具有拓?fù)溆绊懖淮?/p>

34、，系統(tǒng)具有拓?fù)溟L(zhǎng)程序。長(zhǎng)程序。高于某臨界溫度，系統(tǒng)中高于某臨界溫度，系統(tǒng)中產(chǎn)生大量的單個(gè)渦旋，導(dǎo)產(chǎn)生大量的單個(gè)渦旋，導(dǎo)致拓?fù)溟L(zhǎng)程序被破壞。致拓?fù)溟L(zhǎng)程序被破壞。2021/8/642壞壞準(zhǔn)準(zhǔn)長(zhǎng)長(zhǎng)程程序序大大量量渦渦旋旋自自發(fā)發(fā)產(chǎn)產(chǎn)生生，破破以以上上渦渦旋旋自自由由能能為為負(fù)負(fù)相相變變：自自由由能能等等于于零零自自由由能能：點(diǎn)點(diǎn)陣陣間間距距。相相應(yīng)應(yīng)的的熵熵一一個(gè)個(gè)渦渦旋旋的的能能量量：處處的的自自旋旋對(duì)對(duì)能能量量的的貢貢獻(xiàn)獻(xiàn)與與渦渦旋旋中中心心距距離離作作簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧近近似似：只只考考慮慮最最近近鄰鄰相相互互作作用用模模型型量量： cBcBvBLvijjiijjiijjiTkJTaLTkaLJFaLT

35、kaaLJrdrJErrJrJHJHYXssJHHamiltonHeisenberg2)ln()ln(,)ln(:)ln(22)2()22(2)(2)cos(:)(22022 2021/8/643考慮低溫下存在具有有限能量的束縛渦旋對(duì)（可由熱激發(fā)，不考慮低溫下存在具有有限能量的束縛渦旋對(duì)（可由熱激發(fā)，不破壞長(zhǎng)程的自旋序破壞長(zhǎng)程的自旋序) )及及核核心心能能中中。溫溫度度已已包包含含在在能能量量，表表示示渦渦旋旋的的核核心心區(qū)區(qū)域域的的為為渦渦旋旋度度量量渦渦旋旋系系統(tǒng)統(tǒng)的的約約化化KEnrsrsEarrrsrsKHHamiltoncrcarrv),()()(ln)()(2 渦旋對(duì)類似于屏蔽正負(fù)

36、電荷相互作用的電介質(zhì)的作用渦旋對(duì)類似于屏蔽正負(fù)電荷相互作用的電介質(zhì)的作用K-TK-T理論是對(duì)屏蔽效應(yīng)的重正化群的處理。理論是對(duì)屏蔽效應(yīng)的重正化群的處理。自由能的第自由能的第n n級(jí)微商在相變點(diǎn)出現(xiàn)突變就稱為第級(jí)微商在相變點(diǎn)出現(xiàn)突變就稱為第n n級(jí)相變級(jí)相變K-TK-T相變是無(wú)窮級(jí)相變是無(wú)窮級(jí)2021/8/644Two dimensional helium Since helium is attracted to almost anything* , it will form a 2D film. Most long-range order is forbidden in 2D (Mermin-

37、Wagner theorem), e.g. BEC not allowed for T0 because the system is susceptible to long-range phase decoherence. However, it does become a superfluid. The transition is called the Kosterlitz-Thouless transition. Superfluid-normal fluid transition is caused by vortex-anti-vortex unbinding. KT predicts

38、 algebraic decay of single particle density matrix*except for Cs 0( )Tsarn rn2021/8/6452d helium energetics In contrast to 3D the energy is a smooth function of temperature. Bump in Cv above the transition. No feature at the transition (only an essential singularity)2021/8/6464.3 4.3 準(zhǔn)準(zhǔn)一一維體系的維體系的Pei

39、erlsPeierls不穩(wěn)定性和電荷密度波不穩(wěn)定性和電荷密度波1.1.一維體系一維體系 導(dǎo)電聚合物、金屬鹵化物、導(dǎo)電聚合物、金屬鹵化物、KCPKCP晶體、過(guò)渡金屬三硫化合晶體、過(guò)渡金屬三硫化合物、電荷轉(zhuǎn)移有機(jī)復(fù)合物、有機(jī)超導(dǎo)體物、電荷轉(zhuǎn)移有機(jī)復(fù)合物、有機(jī)超導(dǎo)體BechgaardBechgaard鹽鹽(TMTSF)(TMTSF)2 2X,X,有機(jī)鐵磁體有機(jī)鐵磁體m-PDPC,m-PDPC,半導(dǎo)體納米線或量子線半導(dǎo)體納米線或量子線2.2.一維晶格的能帶和布里淵區(qū)一維晶格的能帶和布里淵區(qū)constant charge distributionparabolic energy bandsfilled

40、up to the Fermi wavevectormetallic conductivityankkmkEF4142)(220 2021/8/647格點(diǎn)原子對(duì)電子的散射格點(diǎn)原子對(duì)電子的散射( (電聲相互作用電聲相互作用) )： 2221 alk：兩兩格格點(diǎn)點(diǎn)反反射射波波位位相相差差為為播播，受受格格點(diǎn)點(diǎn)反反射射，相相鄰鄰的的電電子子在在一一維維晶晶格格中中傳傳波波長(zhǎng)長(zhǎng)為為也也有有能能隙隙同同理理，上上發(fā)發(fā)生生跳跳躍躍，出出現(xiàn)現(xiàn)能能隙隙在在電電子子的的能能譜譜對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)動(dòng)動(dòng)量量：，的的電電子子波波不不能能繼繼續(xù)續(xù)傳傳播播波波長(zhǎng)長(zhǎng)為為偏偏離離電電子子波波傳傳播播產(chǎn)產(chǎn)生生影影響響，格格原原子子對(duì)對(duì)之之間間不不能能完完全全抵抵消消，晶晶不不斷斷增增加加，各各反反射射波波動(dòng)動(dòng)量量增增加加，能能譜譜接接近近自自由由電電子子能能譜譜而而衰衰減減本本不不因因晶晶格格原原子子的的反