數學物理方程_定解問題

1、第二篇第二篇 數學物理方程數學物理方程數學物理思想數學物理思想數學物理方程（簡稱數學物理方程（簡稱數理方程數理方程）是指從物理）是指從物理學及其它各門自然科學、技術科學中所導學及其它各門自然科學、技術科學中所導出的函數方程，主要指偏微分方程和積分方出的函數方程，主要指偏微分方程和積分方程程數學物理方程所研究的內容和所涉及的領數學物理方程所研究的內容和所涉及的領域十分廣泛，它深刻地描繪了域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中自然界中的的許多許多物理現(xiàn)象物理現(xiàn)象和和普遍規(guī)律普遍規(guī)律.物理規(guī)律是代表某物理物理規(guī)律是代表某物理現(xiàn)象的物理量在空間的現(xiàn)象的物理量在空間的分布規(guī)律和時間的變化分布規(guī)律和時間的變化

2、規(guī)律。可用規(guī)律?？捎胾(r,t)表示。表示。物理規(guī)律反應的是同一物理規(guī)律反應的是同一類物理現(xiàn)象遵從的共同類物理現(xiàn)象遵從的共同規(guī)律，具有普遍性。規(guī)律，具有普遍性。 對于具體問題，由于所對于具體問題，由于所處的處的“環(huán)境環(huán)境”或或“歷史歷史原因原因”不同，代表同一不同，代表同一類物理現(xiàn)象的物理量的類物理現(xiàn)象的物理量的具體表達式不同。具體表達式不同。物理規(guī)律的物理規(guī)律的普遍性普遍性具體問題的具體問題的特殊性特殊性泛定方程：泛定方程：數學上，數學物理方程本身叫做泛定方程。邊界條件：邊界條件：物理量在邊界處需滿足的關系。初始條件：物理量在一開始的狀態(tài)值初始條件：物理量在一開始的狀態(tài)值。定解條件：邊界條件

3、和初始條件合稱為定解條件定解條件：邊界條件和初始條件合稱為定解條件。定解問題：由泛定方程和定解條件構成的數理問題定解問題：由泛定方程和定解條件構成的數理問題。幾個概念幾個概念振（波）動是研究源與波、場振（波）動是研究源與波、場之間的變化關系之間的變化關系熱傳導、擴散是研究熱源與溫熱傳導、擴散是研究熱源與溫度場、濃度之間的關系度場、濃度之間的關系泊松（泊松（S. D. Poisson S. D. Poisson 1781178118401840，法國數學家），法國數學家）方程表示的是靜態(tài)勢（或場）方程表示的是靜態(tài)勢（或場）和源分布之間的關系和源分布之間的關系定解定解問題問題從物理規(guī)律角度來分析，

4、數學物理定解問題表征的從物理規(guī)律角度來分析，數學物理定解問題表征的是場和產生這種場的源之間的關系是場和產生這種場的源之間的關系多數為二多數為二階線性偏階線性偏微分方程微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足播滿足波動方程波動方程熱傳導問題和擴散問題滿足熱傳導問題和擴散問題滿足熱傳導方熱傳導方程程靜電場和引力勢滿足靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方拉普拉斯方程或泊松方程程或泊松方程第七章第七章 數學物理定解問題數學物理定解問題7.1 數學建模數學建模-數學物理方程的建立數學物理方程的建立具有波動方具有波動方程的數理方程的數理方程的建立程的建立弦的橫振動弦的橫振動 桿的縱振

5、動桿的縱振動 再討論再討論定解條定解條件件傳輸線方程傳輸線方程 一、波動方程一、波動方程1. 弦的微小橫振動弦的微小橫振動考察一根長為考察一根長為l且兩端固定、水平拉緊的弦且兩端固定、水平拉緊的弦討論如何將這一物理問題轉化為數學上的定解問討論如何將這一物理問題轉化為數學上的定解問題要確定弦的運動方程，需要明確：題要確定弦的運動方程，需要明確：確定確定弦的弦的運動運動方程方程 （2）被研究的物理量遵循哪）被研究的物理量遵循哪些物理定理？些物理定理？牛頓第二定律牛頓第二定律. （3）按物理定理寫出數學物理）按物理定理寫出數學物理方程（即建立泛定方程）方程（即建立泛定方程） 要研究的物理量是什么？要

6、研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移弦沿垂直方向的位移 ； ( , )u x t任選一小段弧任選一小段弧ABC（端點除外），作為研究對（端點除外），作為研究對象。象。 由于其長度非常小由于其長度非常小, 可以看作質點。可以看作質點。 下面下面分析該弧段所遵循的物理規(guī)律。分析該弧段所遵循的物理規(guī)律。圖圖7.1注意：注意： 物理問題涉及的因素較多，往往還需要物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當假設才能使方程簡化引入適當假設才能使方程簡化 數學物理方程必須反映弦上任一位置上數學物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點不能取在

7、端點上，但可以取除端點之外的任不能取在端點上，但可以取除端點之外的任何位置作為考察點何位置作為考察點 根據牛頓第二定律根據牛頓第二定律mFau在橫向的運動方程可以描述為在橫向的運動方程可以描述為 2211sinsind( d )ttTTg ss u（7.1.1） 作用于小段作用于小段ABC的縱向合力應該為零：的縱向合力應該為零： 2211coscos0TT (7.1.2) 僅考慮僅考慮微小微小的橫振動，的橫振動， 21,2221,夾角夾角為很小的量，忽略為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據級數展開式有及其以上的高階小量，則根據級數展開式有 2112cos11, cos12! 311111

8、222sintan, sintan3!222d(d )(d )1 () ddxsxuuxx注意到: tansinxuux故由圖故由圖7.1得得1122dtansin, tansinxxxxxuu這樣，這樣，(7.1.1)和和(7.1.2)簡化為簡化為21d21dd (9.1.3) 0 (9.1.4) xxttxxxT uT ug xuxTT(7.1.3)(7.1.4)因此在微小橫振動條件下，可得出因此在微小橫振動條件下，可得出 12TT ，弦中張力不隨，弦中張力不隨x而變，而變， 可記為可記為 21TTT故有 d()ddxxttxxxT uug xux (7.1.5) 變化量dx可以取得很小，

9、根據微分知識有下式成立 dddxxxxxxxxuuuxuxx這樣，這樣，ABC段的運動方程段的運動方程(7.1.5)(7.1.5)就成為就成為 0 ttxxuTug (7.1.6)即為即為2ttxxua ug （7.1.7）上式即為弦作微小橫振動的運動方程，簡稱為弦振動方程上式即為弦作微小橫振動的運動方程，簡稱為弦振動方程 其中其中2/aT討論：討論：（1）若設弦的重量遠小于弦的張力，則上式）若設弦的重量遠小于弦的張力，則上式(7.1.7)右端的重力加速度項可以忽略由此得到下列齊次右端的重力加速度項可以忽略由此得到下列齊次偏微分方程：偏微分方程： 2ttxxua u （7.1.8） 稱式（稱式

10、（7.1.8）為弦的自由振動方程。）為弦的自由振動方程。(2) 如果在弦的單位長度上還有橫向外力 ( , )F x t作用，則式(7.1.8)應該改寫為 2( , )ttxxua uf x t (7.1.9) 式中式中( , )( , )F x tf x t稱為力密度稱為力密度 t，為，為時刻作用于時刻作用于x處單位質量上的橫向外力處單位質量上的橫向外力式（式（7.1.97.1.9）稱為弦的）稱為弦的受迫振動受迫振動方程方程. . 2、 均勻桿的縱振動均勻桿的縱振動B段的運動方程為段的運動方程為 dd( d )xxxttxxxuYSuYSuYSxS x ux（7.1.10） 可得可得 0 xx

11、ttYuu（7.1.11） 這就是桿的縱振動方程桿的縱振動方程 一根桿，只要其中任一小段做縱向移動，必然使一根桿，只要其中任一小段做縱向移動，必然使它的鄰段壓縮或伸長，這鄰段的壓縮或伸長又使它的鄰段壓縮或伸長，這鄰段的壓縮或伸長又使它自己的鄰段壓縮或伸長。這樣，任一小段的縱它自己的鄰段壓縮或伸長。這樣，任一小段的縱振動必然傳播到整個桿振動必然傳播到整個桿,這種振動的傳播是這種振動的傳播是縱波縱波.3. 傳輸線方程（電報方程）傳輸線方程（電報方程） 在非常長的兩條平行傳輸線的輸入端加上交變電源時，等效電路為設傳輸線上任一點處的電壓和電流分別為u(x,t), i(x,t)傳輸線所滿足的方程分別為傳

12、輸線所滿足的方程分別為 2222()LCRC GLGRxttvvvv （7.1.10） 2222()iiLCRCGLGRittix (7.1.11) 式（7.1.10）及（7.1.11）即為一般的傳輸線方程（或電報方程） 令令 無損耗情況下無損耗情況下2222L Cxtvv（7.1.12） 上式具有與振動方程類似的數學形式，盡管它們的物理本質根本不同。LCa1222222xvatv7.2.1 數學建模數學建模穩(wěn)定場方程類型的建立穩(wěn)定場方程類型的建立 1 靜電場的電勢方程靜電場的電勢方程 直角坐標系中泊松方程泊松方程為 2222220UUUxyz (7.1)V0若空間中無電荷，即電荷密度，上式成

13、為 2222220UUUxyz (7.8) 稱這個方程為拉普拉斯方程拉普拉斯方程. 二、穩(wěn)定場方程二、穩(wěn)定場方程2. 穩(wěn)定溫度分布穩(wěn)定溫度分布 導熱物體內的熱源分布和邊界條件不隨時間變化導熱物體內的熱源分布和邊界條件不隨時間變化 故熱傳導方程中對時間的偏微分項為零，從而熱傳導方程即為下列拉普拉斯方程和泊松方程. 2222220uuuxyz (7.1.19)22222221( , , )uuuf x y zxyza (7.1.20)7. 波動方程的定解條件波動方程的定解條件定解條件：初始條件和邊界條件1.初始條件初始條件 波動方程含有對時間的二階偏導數，它給出振動過程中每點的加速度要確定振動狀態(tài)

14、，需知道開始時刻每點的位移和速度 波動方程的初始條件通常是 00( , )|( , )( ), ( , )|( ,0)0)(ttttu x tu xxu x tu xx （7.2.1） 7. 數學物理定解條件數學物理定解條件例例7.2.1 一根長為 l的弦，兩端固定于 0 x 和xl,在距離坐標原點為 b的位置將弦沿著橫向拉開距離的位置將弦沿著橫向拉開距離 h，如圖7.5所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。 x u o b l h 圖 7.5 【解解】 初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有 0( , )|( ,0)0tttu x tu x 初始位移如圖所示 (0)( ,0)

15、() ()hxxlbu xhlxbxLlb2.邊界條件邊界條件 常見的線性邊界條件分為三類： 第一類邊界條件第一類邊界條件 直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數值 第二類邊界條件第二類邊界條件 規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向導數的數值 000,000( , , , )|(, )xyzu x y z tf xyz t （7.2.2） 000000,(, )xyzuf xyz tn（7.2.3） 第三類邊界條件第三類邊界條件 規(guī)定了所研究的物理量及其外法向導數的線性組合在邊界上的數值 000000,()(, )nxyzuHuf xyz t（7.2.4） ftH其中其中是時間是時間的已知

16、函數，為常系數為常系數 7.2.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件 泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件不包含初始條件,而只有邊界條件. 邊界條件分為三類: 1、在邊界上直接給定未知函數u, 即為第一類邊界條件2、在邊界上給定未知函數導數的值,即為第二類邊界條件3、在邊界上給定未知函數和它的導數的某種線性組合, 即第三類邊界條件. 第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫成第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫成 ( , )uutn (7.2.5)其中是邊界上的變點； unu表示物理量沿邊界外法線方向的方向導數； , 為常數，它們不同時為零 7.3其它邊界條件其它邊界條件

17、除了前面我們介紹的第一、第二、第三類邊第一、第二、第三類邊界條件界條件之外，還有其它邊界條件，如自然邊界自然邊界條件，銜接條件條件，銜接條件, 周期性條件周期性條件 7.2.4 數學物理定解問題的適定性數學物理定解問題的適定性 (1) 解的存在性解的存在性 看所歸結出來的定解問題是否有解； (2) 解的唯一性解的唯一性 看是否只有一個解 (3) 解的穩(wěn)定性解的穩(wěn)定性 定解問題來自實際，它的解答也應回到實際中去。應當要求：定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性定解問題的適定性. 當定解問題的自由項自由項或定解條件有微小變化時，解是否相應地只有微小的變化量 三類典型的數學物理方程

18、三類典型的數學物理方程雙曲型方程雙曲型方程波動方程為代表波動方程為代表拋物型方程拋物型方程熱傳導方程為代表熱傳導方程為代表橢圓型方程橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程退化為拉普拉斯方程 7.2.6 數學物理定解問題的求解方法數學物理定解問題的求解方法 1.行波法；行波法；2.分離變量法；分離變量法；3.冪級數解法；冪級數解法；4.格林函數法；格林函數法； 5.積分變換法；積分變換法；6.保角變換法；保角變換法； 7.變分法；變分法；8.計算機仿真解法；計算機仿真解法；9.數值計算法數值計算法典型綜合實例典型綜合實例 l0 xxl0t ()x lx例例 長為的弦在端固定，另一端自由，且在

19、初始時刻時處于水平狀態(tài)，初始速度為，且已知弦作微小橫振動，試寫出此定解問題. 【解解】 （1）確定泛定方程）確定泛定方程： x0 x 取弦的水平位置為軸，為原點， 弦作自由（無外力）橫振動，所以泛定方程為齊次波動方程 20ttxxua u(2)確定邊界條件確定邊界條件 對于弦的固定端，顯然有 (0, )0ut 另一端自由，意味著其張力為零故0 x lux(3)確定初始條件確定初始條件 ( ,0)0u x0t 根據題意，當時，弦處于水平狀態(tài)，即初始位移為零 初始速度 0|()tux lxt綜上討論，故定解問題為綜上討論，故定解問題為20 (0,0) (0, )0,|0 (0) ( ,0)0,(

20、,0)() (0) ttxxxx ltua uxl tututu xu xx lxxl歷年試題一、填空題一、填空題 (2010)5、常見的三類數學物理方程根據物理過程可分、常見的三類數學物理方程根據物理過程可分為為 、 和和 ；一、填空題一、填空題 (2009)5. (6分)常見的數學物理方程都是線性二階偏微分方程，主要有 ， 和 三類，對應于數學上的分類，即 ， 和 ；四、簡述題四、簡述題(2008)3 簡述數理方程分析物理問題的步驟以及數理方程、邊界條件的分類。（9分）作業(yè)：作業(yè)： 122頁：頁： 第第3, 7題；題； 128頁：頁： 第第1, 3題題. 7.3 行波法行波法對于常微分方程

21、的求解對于常微分方程的求解, 一般是先求方程的通解一般是先求方程的通解,而通解中含有任意常數而通解中含有任意常數(積分常數積分常數), 用初始條件用初始條件確定這些常數確定這些常數. 本節(jié)仿照這個方法求解偏微分方本節(jié)仿照這個方法求解偏微分方程的定解問題程的定解問題.先求通解先求通解(其中含其中含有任意函數有任意函數)用定解條件確定用定解條件確定這些函數這些函數波動方程的初值問題（一維）波動方程的初值問題（一維）)(),()(),(, 0 ),(0022222xtxuxtxuRxttxfxuatuttt（I）1. 無界弦的自由振動無界弦的自由振動)(),()(),(, 0 ,0022222xtx

22、uxtxuRxtxuatuttt可以改寫為0uxatxat作線性變換,atx atx 方程改寫為02u02u022222xuatuatx atx uuxu22222222uuuxuuuatuuuatu222222222uuuatu02u)(Fu)()( )()(),(212fffdFu)()(),(21atxfatxftxu此即為原方程的通解。利用初值條件確定函數f1, f2.)()0 ,(xxu)()()(21xxfxf)()0 ,(xxut)()()(21xxfxfa)()(d)(1)()(0201210 xfxfaxfxfxx其中 為任意一點.0 x)()(21d)(21)(21)(02

23、0110 xfxfaxxfxx)()(21d)(21)(21)(020120 xfxfaxxfxxd)(212)()(),(atxatxaatxatxtxu達朗貝爾公式達朗貝爾公式d)(212)()(),(atxatxaatxatxtxu)()(21)()(21atxatxaatxatx把定解問題的解表示為左、右行進波把定解問題的解表示為左、右行進波相疊加的方法稱為相疊加的方法稱為“行波法行波法”。也可寫為也可寫為物理意義：物理意義：)(),(1atxftxu)()0 ,(1xfxu0t0tt )(),(010atxftxuuxxtuOO0 x00atx xO0 xatx 0)(1xfu )(

24、1atxfuatxO0 xatx 0)(2atxfu)(2xfu at右傳播波右傳播波左傳播波左傳播波例1：xuxuxuatuttt0022222,cos0d)(212)()(),(atxatxaatxatxtxu解：由達朗貝爾公式解：由達朗貝爾公式d212)cos()cos(atxatxaatxatxxtxatcoscos2. 無界弦的強迫振動無界弦的強迫振動)(),()(),(, 0 ),(0022222xtxtuxtxuRxttxfxuatutt)(),()(),( ,0022222xtxtuxtxuxuatutt0),(0),( ),(0022222tttxtutxutxfxuatu（

25、I）（II）（III）疊加原理疊加原理定解問題（I）的解),(Itxu是定解問題(II)的解),(IItxu),(IIItxu與定解問題（III）的解之和。問題（II）的解可以用達朗貝爾公式來求解。故只須考慮求解問題（III）的解。我們利用齊次化原理來求解問題（III）的解。(在此從略)3. 半無界弦的自由振動半無界弦的自由振動)(), 0()(),( ),(),(0 , 0 ,0022222tgtuxtxtuxtxuxtxuatutt我們先考慮0)(tg情形，即一端 x = 0 固定的振動。希望能利用達朗貝爾公式來求解。d)(212)()(),(atxatxaatxatxtxu為此，我們要作

26、奇延拓)0(),()0(),(),(xtxuxtxutxU)0()()0()()(xxxxx)0()()0()()(xxxxx)(),( ),(),( , 0 ,0022222xtxtUxtxUxtxUatUttd)(212)()(),(atxatxaatxatxtxU為了得到半無界問題的解，只須限制0 x當0, 0atxx時，當0, 0atxx時，d)(212)()(),(atxatxaatxatxtxud)(212)()(),(atxxataxatatxtxu當在當在 x = 0處有一個自由端，即處有一個自由端，即0), 0(tux則需要作偶延拓。則需要作偶延拓。例例303,0 t, 0 ,00202222xtttuxuxuxxutu0, 0txx當d)3(212)()(),(22txtxtxtxtx