（整理版）靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念解題

1、靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念解題初學(xué)導(dǎo)數(shù)的同學(xué)往往感覺(jué)導(dǎo)數(shù)的概念比擬抽象，對(duì)定義的方法也不太熟悉，要結(jié)合瞬時(shí)速度、光滑曲線的切線、斜率等實(shí)際背景，從物理和幾何兩方面入手，逐步理解導(dǎo)數(shù)的概念，熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進(jìn)行解題，求導(dǎo)的本質(zhì)是求極限，在求極限的過(guò)程中，要準(zhǔn)確分析和把握給定的極限式與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是能夠順利求導(dǎo)的關(guān)鍵。例1、求函數(shù)在x1處的導(dǎo)數(shù)。解析1：導(dǎo)數(shù)定義法，。解析2：導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法，。點(diǎn)評(píng)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的根本方法。確定y=f(x)在點(diǎn)x= x0處的導(dǎo)數(shù)有兩種方法：一是導(dǎo)數(shù)定

2、義法，二是導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法。例2、設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x= x0處可導(dǎo)，試求以下各極限的值。1；2(3)假設(shè)，那么等于 a.-1 b.-2 c.1 d.解析：123，應(yīng)選c. 點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題不能盲目地套用導(dǎo)數(shù)的定義，要準(zhǔn)確地分析和把握給定的極限式與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將所求極限的形式恒等變形轉(zhuǎn)化為極限的結(jié)構(gòu)形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，因此，必須深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念。例3、設(shè)，試問(wèn)fx在x=0處是否可導(dǎo)？解析：函數(shù)fx在x=0的兩側(cè)不包括x=0在內(nèi)雖然其對(duì)應(yīng)法那么是用同一個(gè)式子表示的，但在x=0處其對(duì)應(yīng)值為零，對(duì)應(yīng)法那么和兩側(cè)的不同，故按導(dǎo)數(shù)定義：由f0=0，即fx在x=0處有定義。

3、所以fx在x=0處可導(dǎo)，即f0=0。點(diǎn)評(píng)：對(duì)分段表示的非初等函數(shù)，在判斷函數(shù)在區(qū)間的交接點(diǎn)處是否可導(dǎo)時(shí)，都應(yīng)該從定義出發(fā)求其導(dǎo)數(shù)，當(dāng)交接點(diǎn)的兩側(cè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法那么用不同式子表示時(shí)，應(yīng)分別求函數(shù)在該點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)，看其是否存在且相等，從而決定在該點(diǎn)處函數(shù)是否可導(dǎo)。請(qǐng)讀者判斷函數(shù)，在x=0處是否連續(xù)、可導(dǎo)？例4、設(shè)fxx(2| x |)，那么f0的值等于 a.0 b.1 c解析：由導(dǎo)數(shù)的定義知f02，故應(yīng)選c.點(diǎn)評(píng)：此題也是求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般要用定義求解，應(yīng)防止出現(xiàn)以下錯(cuò)誤： ， 從而f00。例5、設(shè)函數(shù)在x處可導(dǎo)，證明： = fx 證明：= fx+ fx= fx點(diǎn)評(píng)：值得注意的是，假

4、設(shè)極限存在，f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)不一定存在，讀者可以從函數(shù)y=x在x=0處的可導(dǎo)性來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。但假設(shè)極限存在，那么f(x)在x處可導(dǎo)，讀者可自行證明。例6、曲線和在它們的交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形的面積是_.解析：由方程組 得曲線的交點(diǎn)是a(1,1).對(duì)曲線求導(dǎo)數(shù)， 曲線在點(diǎn)a處的切線斜率k1=，切線方程是l1：y=x+2。對(duì)曲線求導(dǎo)數(shù)，。曲線在點(diǎn)a處的切線斜率k1=，切線方程是l2：y=2x1。又l1、l2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,0)，,0它們與軸所圍成的三角形的面積為：點(diǎn)評(píng)：此題先求曲線的交點(diǎn)，再由導(dǎo)數(shù)求過(guò)該交點(diǎn)曲線的切線方程，最后求得所圍成的圖形面積。例7、求曲線y=x3在

5、橫坐標(biāo)分別為0、x0、x的點(diǎn)處的切線方程。錯(cuò)解：設(shè)所求切線的斜率為k，那么按導(dǎo)數(shù)的幾何意義，k= fx=3x2，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式，所求切線方程分別為：y-0=3x2x-01 y-=3x2x- x02 y- x3=3x2x-x3顯然，以上得到的三個(gè)方程不是直線方程因?yàn)樗鼈兙皇莤、y的一次式，故結(jié)果是錯(cuò)誤的。究其原因，對(duì)方程1、2錯(cuò)在切線的斜率不應(yīng)該用任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)代入，而應(yīng)該分別用在x=0、x= x0處的導(dǎo)數(shù)值代入，對(duì)方程3錯(cuò)在沒(méi)有把切點(diǎn)坐標(biāo)x，y其中y=x3和切線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)區(qū)分開(kāi)來(lái)，均采用了記號(hào)x，y。正確解法應(yīng)為：設(shè)所求切線的斜率為k，那么按導(dǎo)數(shù)的幾何意義，斜率k分別為：k1=

6、f0=3x2x=0=0， k2= fx0=3x2x= x0=3，k3=3x2。根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式，所求切線方程分別為：y-0=0×x-0，即y=01， y-=3x- x0，即y=3x-22， y- x3=3x2x-x，即y=3x2x-2x33，。其中3，式中x，y的為切線上點(diǎn)的坐標(biāo)，x，y為切點(diǎn)坐標(biāo)y=x3。點(diǎn)評(píng)：有人認(rèn)為方程1，即y=0x軸穿過(guò)曲線y=x3，不是該曲線在點(diǎn)0，0處的切線方程，你認(rèn)為這種說(shuō)法正確嗎？從此例可知，求曲線在某點(diǎn)處的切線方程有兩種方法：1假設(shè)曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，那么曲線在該點(diǎn)處的切線斜率存在，由點(diǎn)斜式即可求出切線方程；2假設(shè)曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)在某

7、點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，可由切線的定義求出切線的方程。如函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在，畫(huà)出函數(shù)的圖象，再由切線的定義，不難得出曲線在x=0處的切線方程為：x=0y軸，斜率不存在。例8、求過(guò)點(diǎn)2，0與曲線相切的直線方程。錯(cuò)解：設(shè)所求切線的斜率為k，那么，故所求直線方程為： 即 。假設(shè)作出曲線及直線的圖象，就可以看出所求的直線和曲線不相切。錯(cuò)因在于一開(kāi)始就沒(méi)有判定所給的點(diǎn)2，0是否在曲線上，而想當(dāng)然的把該點(diǎn)當(dāng)作切點(diǎn)來(lái)考慮了。事實(shí)上點(diǎn)2，0根本不在曲線上。正確解法：設(shè)平面上通過(guò)點(diǎn)2，0的所有直線方程y軸除外為：y=kx-2，切點(diǎn)為x0，y0，那么在切點(diǎn)處，直線和曲線的縱坐標(biāo)相等且具有相同的斜率，因此有：，解得：k=-1，x0=1，故所求直線方程為：y=-x-2即y=-x+2。點(diǎn)評(píng)：解答此類問(wèn)題常見(jiàn)的錯(cuò)誤是：不能確定所給點(diǎn)的位置，或忽略切點(diǎn)既在曲線上，也在切線上這一關(guān)鍵條件，或受思維定勢(shì)的消極影響，先設(shè)出切線方程，再利用直線和拋物線相切的條件，使得解題的運(yùn)算量變大。數(shù)學(xué)問(wèn)題的