小波分析理論及其應用(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上上海大學20102011學年冬季學期研究生課程課程名稱： 信息采集與處理技術 課程編號： 論文題目: 小波分析理論及其應用 研究生姓名: 劉金鼎 學 號: 論文評語:成 績: 任課教師: 昝鵬 評閱日期: 專心-專注-專業(yè)小波分析理論及其應用劉金鼎（上海大學 機電工程與自動化學院，上海 ）摘要：小波分析的理論與方法是從Fourier分析的思想方法演變而來的。就象Fourier分析分為積分Fourier變換和Fourier級數(shù)一樣，小波分析也分為(積分)小波變換和小波級數(shù)兩部分，(積分)小波變換的主體是連續(xù)小波變換，多尺度小波變換和s進小波變換；而小波級數(shù)的主體部分是關

2、于小波框架的理論。小波分析理論深刻，應用廣泛，并且仍在迅速發(fā)展之中。本文作者作為初學者，單單就（積分）小波變換這一理論中比較基本和初步的東西所作的一點歸納和整理，介紹了小波變換的定義及特點，以及多分辨率分析的問題，最后以一些圖像去噪應用來形象說明小波分析的作用。關鍵詞：傅里葉分析；小波分析；多分辨率PXI BusLIU Jin-ding(School of Mechatronics Engineering & Automation, Shanghai University, Shanghai , China)Abstract: The theory and methods of wav

3、elet analysis comes from Fourier analysis .Just as Fourier analysis is divided into Fourier transform and Fourier series, wavelet analysis is divided into the wavelet transform and wavelet series. The main body of the wavelet transform is the continuous wavelet transform, multi-scale wavelet transfo

4、rm and s-dyadic wavelet transform, while the main part of the wavelet series is wavelet frame. Wavelet analysis is a kind of profound theory, which is used widely and develops rapidly. The author of the paper is a beginner of wavelet theory; he just summarized and organized some fundamental theory o

5、f wavelet analysis. The paper introduced the definition and characteristics of wavelet analysis, and then talked about the theory of multi- resolution ratio. In the end, a few of image denoising abstract applications were used to explain the function of wavelet analysis vividly.Key words: Fourier an

6、alysis; wavelet analysis; multi- resolution ratio1 引言1.1 問題的提出Fourier變換只能告訴我們信號尺度的范圍，而無法給出信號的結(jié)構以及它蘊含的大小不同尺度的串級過程，即Fourier變換在時空域中沒有任何分辨率。此外，傅立葉分析無法解決信號奇異性的位置。20世紀80年代初由法國油氣工程師Morlet提出的小波分析1（wavelet Analysis，又稱子波分析)能成功地解決這些問題。因此小波分析是Fourier分析發(fā)展史上的一個里程碑。小波分析一面世，立刻成為國際研究熱點。目前小波分析在信號處理、圖像壓縮、語音編碼、模式識別、地震勘

7、探、大氣科學以及許多非線性科學領域內(nèi)取得了大量的研究成果。小波分析之所以廣泛得到應用在于:它具有時域和頻域同時具有良好的局部性質(zhì)；能將信號(時間序列)分解成交織在一起的多尺度成分，從而能夠不斷地聚集到所研究對象的任意微小細節(jié)；同時具有數(shù)學上嚴格意義的突變點診斷能力。1.2 小波分析的形成及發(fā)展小波分析是一調(diào)和分析方法2,3，是Fourier分析發(fā)展史上的一個里程碑式的進展，被人們譽為數(shù)學“顯微鏡”。小波分析理論及其方法的形成和應用在科學技術界引起一場軒然大波并成蔓延之勢。小波理論形成經(jīng)歷了三個階段2:(1)Fourier變換(FT)階段：在信號分析中，我們對信號的基本刻化，往往采取時域和頻域兩

8、種基本形式。時域分析無法得到關于信號變化的更多信息(如采樣、周期等)。1822年Fourier提出的頻域分析法Fourier變換（），能揭示信號f(t)的能量在各個頻率成分中的分布情況。設信號為，其Fourier變換為：許多時域上看不清的問題，通過就顯得清晰了。Fourier變換將信號的時域特征和頻率特征聯(lián)系起來，能分別從時域和頻域上觀察信號，但不能把二者有機結(jié)合起來。另外，F(xiàn)ourier變換是整個時間域內(nèi)的積分，識別出的頻率在什么時候產(chǎn)生并不知道，因此不能反映某一局部時間內(nèi)信號的頻譜特性，即在時間域上沒有任何分辨率。這樣在信號分析中就面臨一對矛盾：時域和頻域的局部化矛盾。Fourier變換對

9、具有突變的信號，如地震波、暴雨、洪水等的分析帶來諸多不便和困難。這就促使尋求一種信號時頻局部分析新方法。 (2)短時Fourier變換(SFT)階段1946年Gabor提出SFT。短時Fourier變換又稱加窗Fourier變換，由Gabor1946年提出。其基本思想是:把信號劃分成許多小的時間間隔，用Fourier變換分析每一個時間間隔，以確定該間隔存在的頻率，以達到時頻局部化之目的。短時Fourier變換的表達式為：SFT能實現(xiàn)信號時頻局部化分析，但窗函數(shù)一選定，其窗口的大小和形狀固定不變，其分辨率是有限的。由于頻率與周期成反比，反映信號高頻成分需要較高的時間分辨率(窄的時間窗)，反映低頻

10、成分需要較低的時間分辨率(寬的時間窗)。因此，加窗Fourier變換對研究高頻率信號和低頻率信號都不是有效的。(3)小波分析階段小波分析是一種窗口的大小固定、形狀可變的時頻局部化信號分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低頻率分辨率。小波在繼承SFT的基礎上，Morlet提出了小波變換法(WT)。WT可研究信號在各個時刻或各空間位置在不同尺度上的演變情況，實現(xiàn)了時頻局部化分析。小波理論的思想源于信號分析的伸縮與平移。1980年由Morlet首創(chuàng)。1984年他與Grossman共同提出連續(xù)小波變換的幾何體系，成為小波分析發(fā)展的里程碑。19

11、85年，法國數(shù)學家Meyer創(chuàng)造性構造了規(guī)范正交基，提出了多分辨率概念和框架理論。小波熱由此興起。1986年Battle和Lemarie記又分別獨立地給出了具有指數(shù)衰減的小波函數(shù)；同年，Mallat創(chuàng)造性地發(fā)展了多分辨分析概念和理論并提出子決速小波變換算法Mallat算法。Daubechies(1988)構造了具有有限緊支集的正交小波基，Chui和王建忠(1990)構造了基于樣條函數(shù)的正交小波。至此，小波分析的系統(tǒng)理論得以建立。最近有人又提出了小波包理論，它是小波理論的進一步發(fā)展。 2 小波變換的基本理論小波即小區(qū)域的波，是一種特殊的長度有限、平均值為零的波形。它有兩個特點：一是“小”，即在時

12、域具有緊支集或近似緊支集；二是正負交替的“波動性”，也即支流分量為零。2.1連續(xù)小波變換4,52.1.1 連續(xù)小波基函數(shù)所謂小波(Wavelet)，即存在于一個較小區(qū)域的波。小波函數(shù)的數(shù)學定義是：設為一平方可積函數(shù)，即，若其傅立葉變換滿足： 時，則稱為一個基本小波或小波母函數(shù)，并稱上式是小波函數(shù)的可容許條件。根據(jù)小波函數(shù)的定義，小波函數(shù)一般在時域具有緊支集或近似緊支集，即函數(shù)的非零值定義域具有有限的范圍，這即所謂“小”的特點;另一方面，根據(jù)可容許性條件可知，即直流分量為零，因此小波又具有正負交替的波動性。 將小波母函數(shù)進行伸縮和平移，設其伸縮因子(亦稱尺度因子)為，平移因子為，并記平移伸縮后的

13、函數(shù)為，則：并稱 為參數(shù) 和 小波基函數(shù)。由于 和 均取連續(xù)變換的值，因此又稱為連續(xù)小波基函數(shù)，它們是由同一母函數(shù) 經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。定義小波母函數(shù)的窗口寬度為，窗口中心為，則可以求得連續(xù)小波基函數(shù)的窗口中心及窗口寬度分別為：設是的傅立葉變換，頻域窗口中心為，窗口寬度為，的傅立葉變換為，則有:所以此時頻域窗口中心及窗口寬度分別為： 由此可見，連續(xù)小波的時、頻窗口中心和寬度均是尺度因子的函數(shù)，均隨著的變化而伸縮，并且還有即連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積是不變的，這正是Heisenberg測不準原理。將不同a、b值下的時頻窗口繪在同一個圖上，就得到小波基函數(shù)的相平面（如圖1所示）。圖1小

14、波基函數(shù)的相平面對不同的頻率成分，在時域上的取樣步長是可調(diào)的，高頻者(對應小的m值)采樣步長小，低頻者(對應大的m值)采樣步長大。也就是說，小波變換能實現(xiàn)了窗口的大小固定，形狀可變的時頻局部化，見圖1。正是這個意義上小波變換被譽為數(shù)學“顯微鏡”。2.1.2 連續(xù)小波變換將空間的任意函數(shù)在小波基下進行展開，稱其為函數(shù)的連續(xù)小波變換CWT，變換式為： 當小波的容許性條件成立時，其逆變換為：其中為的容許性條件我們可以這樣理解，傅立葉分析是將信號分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加，同樣小波分析是將信號分解為一系列小波函數(shù)的疊加，而這些小波函數(shù)都是由一個母小波函數(shù)經(jīng)過平移和尺度伸縮得來的。小波分析優(yōu)于傅

15、立葉分析的地方是，它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)。而且由于對高頻成分采用逐漸精細的時域或頻域取樣步長，從而可以聚焦到對象的任何細節(jié)，所以被稱為“數(shù)學顯微鏡”。小波分析廣泛應用與信號處理、圖像處理、語音識別等領域?？梢赃@樣理解小波變換的含義：打個比喻，我們用鏡頭觀察目標信號f (t)， (t)代表鏡頭所起的所用。b 相當于使鏡頭相對于目標平行移動，a的所用相當于鏡頭向目標推進或遠離。由此可見，小波變換有以下特點：Ø 多尺度/多分辨的特點，可以由粗及細地處理信號；Ø 可以看成用基本頻率特性為()的帶通濾波器在不同尺度a下對信號做濾波。Ø 適當?shù)剡x擇小波，使(t

16、)在時域上為有限支撐,Y()在頻域上也比較集中，就可以使WT在時、頻域都具有表征信號局部特征的能力。2.2離散小波變換6計算機中的圖像信息是以離散信號形式存放的，所以需要將連續(xù)小波變換離散化。而最基本的離散化方法就是二進制離散，一般將這種經(jīng)過離散化的小波及其變換叫做二進小波和二進變換。需要注意的是這里的離散化都是針對連續(xù)的尺度因a和連續(xù)平移因子b的，而不是針對時間t的。這兒限制尺度因子a總是正數(shù)。（1）尺度與位移的離散化對連續(xù)小波基函數(shù)尺度因子和平移因子進行離散化可以得到離散小波變換，從而減少小波變換系數(shù)的冗余度。在離散化時通常對尺度因子和平移因子按冪級數(shù)進行離散化，即?。檎麛?shù)，但一般都假定

17、），得到離散小波函數(shù)為：其對應系數(shù)為：（2）二進制小波變換二進小波變換是一種特殊的離散小波變換，特別地令參數(shù)，則有。該二進尺度分解的原理在二十世紀三十年代由 Littlewood 和 Paley 在數(shù)學上進行了研究證明。離散小波變換為：離散二進小波變換為：2.3 多分辨率分析7Mallat在構造正交小波基時提出了多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis）的概念，從空間概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，并將在此之前的所有正交小波基的構造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構造方法以及正交小波的快速算法Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當于快速傅立葉變換在經(jīng)

18、典傅立葉分析中的地位。多分辨率分析可形象地表示為一組嵌套的多分辨率子空間（如圖2所示）。W1W2W3V3圖2嵌套的多分辨率子空間假設原信號的頻率空間為，經(jīng)第一級分解后被分解成兩個子空間：低頻的和高頻的；經(jīng)第二級分解后被分解成低頻的和高頻的。這種子空間的分解過程可以記為：其中符號表示兩個子空間的“正交和”；代表與分辨率對應的多分辨率分析子空間；與尺度函數(shù)相對應的小波函數(shù)的伸縮和平移構成的矢量空間是的正交補空間；各是反映空間信號細節(jié)的高頻子空間，是反映空間信號概貌的低頻子空間。由離散小波框架可得到子空間的以下特性：這一結(jié)果表明：分辨率為20=1的多分辨率分析子空間可以用有限個子空間來逼近。3 小波

19、分析的應用3.1 利用小波對信號進行處理的一般步驟小波的應用主要是信號的處理，其中最典型的應用是小波圖象壓縮。另外，小波在諸如信號去噪、特征提取等多方面均有成功的應用。下面以圖象去噪為例說明小波應用策略。小波的各種應用均可分為以下三步7：1）取樣：這是一個預處理過程。取樣方法應遵循取樣定理8。1）對原始信號作小波變換，將信號由空域變換到頻域；2）對小波系數(shù)做相應處理；3）對處理后的小波系數(shù)做小波逆變換，重構還原原信號。3.2小波圖像去噪因為噪聲信號多包含在具有較高頻率的細節(jié)中，所以小波去噪首先對圖像信號進行小波分解，可利用門限閾值對所分解的小波系數(shù)進行處理，然后對圖像信號進行小波重構，抑制圖像信號中的無用部分，恢復圖像信號中的有用部分。如圖3所示，具體步驟為9：1）圖像信號的小波分解：選擇合適的小波及恰當?shù)姆纸鈱哟蜰，對目標圖像進行N層的小波分解；2）對分解后的高頻系數(shù)進行閾值量化：對于分解的每一層，選擇恰當?shù)拈撝担瑢υ搶痈哳l系數(shù)進行閾值量化處理。利用軟閾值或硬閾值門限處理相應的小波系數(shù), 獲得新的被壓縮的小波系數(shù)；3）重構圖像：根據(jù)小波分解后的第N層近似的低頻系數(shù)和經(jīng)過閾值量化處理后的細節(jié)高頻系數(shù)