（整理版）課時提升作業(yè)(三十三)第五章第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、課時提升作業(yè)(三十三) 第五章 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用一、選擇題1.(·臨川模擬)數(shù)列an的首項為3,bn為等差數(shù)列且bn=an+1-an,假設(shè)b3=-2,b2=12,那么a8=()(a)0(b)-109(c)-78(d)112.(·海淀模擬)數(shù)列an滿足:a1=1,an>0,an+12-an2=1(nn+),那么使an<5成立的n的最大值為()(a)4(b)5(c)24(d)253.(·蚌埠模擬)向量a=(an,2),b=(an+1,25),且a1=1,假設(shè)數(shù)列an的前n項和為sn,且ab,那么sn=()(a)541-(15)n(b)141-(15)

2、n(c)141-(15)n-1(d)541-(15)n-14.(·撫州模擬)等差數(shù)列an的前n項和為sn,假設(shè)(s8-s5)(s8-s4)<0,那么()(a)|a6|>|a7|(b)|a6|<|a7|(c)|a6|=|a7|(d)a6=05.(·石家莊模擬)萊因德紙草書是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題目:把100個面包分給五個人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的17是較小的兩份之和,問最小一份為()(a)53(b)103(c)56(d)1166.數(shù)列an為等差數(shù)列,公差為d,假設(shè)a11a10<-1,且它的前n項和sn有最大值

3、,那么使得sn<0的n的最小值為()(a)11(b)19(c)20(d)217.(·商洛模擬)函數(shù)f(x)=x2+2bx過(1,2)點,假設(shè)數(shù)列1f(n)的前n項和為sn,那么s的值為()(a)2 0122 011(b)2 0102 011(c)2 0132 012(d)2 0122 0138.(能力挑戰(zhàn)題)甲、乙兩間工廠的月產(chǎn)值在元月份時相同,甲以后每個月比前一個月增加相同的產(chǎn)值.乙以后每個月比前一個月增加產(chǎn)值的百分比相同.到11月份發(fā)現(xiàn)兩間工廠的月產(chǎn)值又相同.比擬甲、乙兩間工廠6月份的月產(chǎn)值大小,那么有()(a)甲的產(chǎn)值小于乙的產(chǎn)值(b)甲的產(chǎn)值等于乙的產(chǎn)值(c)甲的產(chǎn)值大

4、于乙的產(chǎn)值(d)不能確定二、填空題9.設(shè)曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為an,那么數(shù)列ann+1的前n項和sn等于.10.從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升純酒精,然后填滿水,再倒出1升混合溶液后又用水填滿,以此繼續(xù)下去,那么至少應(yīng)倒次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w積之比低于10%.11.設(shè)數(shù)列an中,a1=2,an+1=an+n+1,那么通項an=.12.(能力挑戰(zhàn)題)數(shù)列an的前n項和記為sn,a1=t,點(sn,an+1)在直線y=2x+1上,nn+,假設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列,那么實數(shù)t=.三、解答題13.等比數(shù)列an的前n項和為sn,s1,s3,s2成等差數(shù)列,(

5、1)求an的公比q.(2)假設(shè)a1-a3=3,求sn.14.(·安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+sinx的所有正的極小值點從小到大排成的數(shù)列為xn.(1)求數(shù)列xn的通項公式.(2)設(shè)xn的前n項和為sn,求sinsn.15.(·新余模擬)數(shù)列an滿足a1=1,an-an+1=anan+1,數(shù)列an的前n項和為sn.(1)求證:數(shù)列1an為等差數(shù)列.(2)設(shè)tn=s2n-sn,求證:tn+1>tn.答案解析1.【解析】選b.數(shù)列bn的公差為-14,故b1=26,a8-a1=b1+b2+b7=7×26+7×62×(-14)=-112,故a8

6、=-109.2.【解析】1=1,an>0,an+12-an2=1(nn+)可得an2=n,即an=n,要使an<5,那么n<25,應(yīng)選c.3.【解析】ab,得25an=2an+1,即an+1an=15,數(shù)列an是公比為15的等比數(shù)列,那么sn=1-(15)n1-15=541-(15)n.4.【解析】選a.由(s8-s5)(s8-s4)<0知s8-s5>0且s8-s4<0或s8-s5<0且s8-s4>0,當(dāng)s8-s5>0且s8-s4<0時,有a6+a7+a8>0,a5+a6+a7+a8<0,a7>0,a6+a7<

7、0,|a6|>|a7|.當(dāng)s8-s5<0且s8-s4>0時,有a6+a7+a8<0,a5+a6+a7+a8>0,a7<0,a6+a7>0,|a6|>|a7|,應(yīng)選a.5.【解析】選a.設(shè)五個人所分得的面包為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),那么(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,a=20.由17(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d),24d=11a,d=556,所以,最小的一份為a-2d=20-1106=53.6.【思路點撥】解答此題首先要搞清條件“a

8、11a10<-1及“sn有最大值如何使用,從而列出關(guān)于a1,d的不等式組,求出a1d的取值范圍,進(jìn)而求出使得sn<0的n的最小值,或者根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【解析】選c.方法一:由題意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,由a1+9d>0,a1+10d<0,2a1+19d<0,d<0,得-192<a1d<-9.sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+(a1-d2)n,由sn=0得n=0或n=1-2a1d.19<1-2a1d<20,sn<0的解集為nn+|n>1-2a1d,故使得s

9、n<0的n的最小值為20.方法二:由題意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,由a10>0知s19>0,由a11<0知s21<0,由a10+a11<0知s20<0,應(yīng)選c.7.【解析】選d.由函數(shù)f(x)=x2+2bx過(1,2)點,得b=12,1f(n)=1n(n+1)=1n-1n+1,s=1f(1)+1f(2)+1f(2 012)=(1-12)+(12-13)+(12 012-12 013)=2 0122 013.8.【解析】選c.設(shè)甲各個月份的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列an,乙各個月份的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列bn,那么數(shù)列an為等

10、差數(shù)列,數(shù)列bn為等比數(shù)列,且a1=b1,a11=b11,故a6=a1+a112a1a11=b1b11=b62=b6,由于在等差數(shù)列an中的公差不等于0,故a1a11,上面的等號不能成立,故a6>b6,即6月份甲的產(chǎn)值大于乙的產(chǎn)值.9.【解析】y'=nxn-1-(n+1)xn,y'|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-n·2n-1-2n,切線方程為y+2n=(-n·2n-1-2n)(x-2),令x=0得y=(n+1)·2n,即an=(n+1)·2n,ann+1=2n,sn=2n+1-2.答案：2n+1-21

11、0.【解析】設(shè)開始純酒精體積與總?cè)芤后w積之比為1,操作一次后純酒精體積與總?cè)芤后w積之比a1=12,設(shè)操作n次后,純酒精體積與總?cè)芤后w積之比為an,那么an+1=an·12,an=a1qn-1=(12)n,(12)n<110,得n4.答案：4【方法技巧】建模解數(shù)列問題對于數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用問題,首先分析題意,將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,找出相關(guān)量之間的關(guān)系,然后構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題,明確是等差數(shù)列問題、等比數(shù)列問題,是求和還是求項,還是其他數(shù)學(xué)問題,最后通過建立的關(guān)系求出相關(guān)量.11.【解析】a1=2,an+1=an+n+1,an=an-1+(n-1)+1

12、,an-1=an-2+(n-2)+1,an-2=an-3+(n-3)+1,a3=a2+2+1,a2=a1+1+1,a1=2=1+1,將以上各式相加得:an=(n-1)+(n-2)+(n-3)+2+1+n+1=(n-1)(n-1)+12+n+1=(n-1)n2+n+1=n(n+1)2+1.答案：n(n+1)2+112.【思路點撥】得出關(guān)于an+1,sn的式子,降低一個角標(biāo)再得一個關(guān)于an,sn-1的式子,兩個式子相減后得出an+1,an的關(guān)系,可得數(shù)列an中,a2,a3,a4,為等比數(shù)列,只要a2a1等于上面數(shù)列的公比即可.【解析】由題意得an+1=2sn+1,an=2sn-1+1(n2),兩式

13、相減得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2),所以當(dāng)n2時,an是等比數(shù)列,要使n1時,an是等比數(shù)列,那么只需a2a1=2t+1t=3,從而t=1.答案：113.【解析】(1)依題意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a10,故2q2+q=0.又q0,從而q=-12.(2)由可得a1-a1(-12)2=3,故a1=4,從而sn=41-(-12)n1-(-12)=831-(-12)n.14.【思路點撥】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù),xn的左側(cè)導(dǎo)函數(shù)小于0,xn的右側(cè)導(dǎo)函數(shù)大于0,求出極小值點.(2)由(1)求出xn的前n項和為sn,再代入sinsn求解.【解析】(1)f(

14、x)=x2+sinx,令f'(x)=12+cosx=0,得x=2k±23(kz),f'(x)>02k-23<x<2k+23(kz),f'(x)<02k+23<x<2k+43(kz),當(dāng)x=2k-23(kz)時,f(x)取極小值,xn=2n-23(nn+).(2)由(1)得:xn=2n-23,sn=x1+x2+x3+xn=2(1+2+3+n)-2n3=n(n+1)-2n3.當(dāng)n=3k(kn+)時,sinsn=sin(-2k)=0,當(dāng)n=3k-1(kn+)時,sinsn=sin23=32,當(dāng)n=3k-2(kn+)時,sinsn=sin43=-32.所以sinsn=0,n=3k,kn+,32,n=3k-1,kn+,-32,n=3k-2,kn+.15.【解析】(1)易知an0,由an-an+1=anan+1,從而得1