（整理版）高三畢業(yè)班數(shù)學課本知識點整理歸納之三

1、-高三畢業(yè)班數(shù)學課本知識點整理歸納之三第三章 函數(shù)一、根底知識定義1 映射，對于任意兩個集合a，b，依對應法那么f，假設對a中的任意一個元素x，在b中都有唯一一個元素與之對應，那么稱f: ab為一個映射。定義2 單射，假設f: ab是一個映射且對任意x, ya, xy, 都有f(x)f(y)那么稱之為單射。定義3 滿射，假設f: ab是映射且對任意yb，都有一個xa使得f(x)=y，那么稱f: ab是a到b上的滿射。定義4 一一映射，假設f: ab既是單射又是滿射，那么叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從b到a由相反的對應法那么f-1構(gòu)成的映射，記作f-1: ab。定義5 函數(shù)，映射f:

2、 ab中，假設a，b都是非空數(shù)集，那么這個映射為函數(shù)。a稱為它的定義域，假設xa, yb，且f(x)=y即x對應b中的y，那么y叫做x的象，x叫y的原象。集合f(x)|xa叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3-1的定義域為x|x0,xr. 定義6 反函數(shù)，假設函數(shù)f: ab通常記作y=f(x)是一一映射，那么它的逆映射f-1: ab叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作y=f-1(x). 這里求反函數(shù)的過程是：在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x, y互換得y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)

3、y=的反函數(shù)是y=1-(x0).定理1 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。定理2 在定義域上為增減函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增減函數(shù)。定義7 函數(shù)的性質(zhì)。1單調(diào)性：設函數(shù)f(x)在區(qū)間i上滿足對任意的x1, x2i并且x1< x2，總有f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2)，那么稱f(x)在區(qū)間i上是增減函數(shù)，區(qū)間i稱為單調(diào)增減區(qū)間。2奇偶性：設函數(shù)y=f(x)的定義域為d，且d是關(guān)于原點對稱的數(shù)集，假設對于任意的xd，都有f(-x)=-f(x)，那么稱f(x)是奇函數(shù)；假設對任意的xd，都有f(-x)=f(x)，那么稱f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對

4、稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。3周期性：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)t，使得當x取定義域內(nèi)每一個數(shù)時，f(x+t)=f(x)總成立，那么稱f(x)為周期函數(shù)，t稱為這個函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)t0，那么這個正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。定義8 如果實數(shù)a<b，那么數(shù)集x|a<x<b, xr叫做開區(qū)間，記作a,b，集合x|axb,xr記作閉區(qū)間a,b，集合x|a<xb記作半開半閉區(qū)間a,b，集合x|ax<b記作半閉半開區(qū)間a, b)，集合x|x>a記作開區(qū)間a, +，集合x|xa記作半開半閉區(qū)間-,a.定義9 函數(shù)的圖象，點集(x

5、,y)|y=f(x), xd稱為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中d為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函數(shù)y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b>0)；1向右平移a個得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；2向左平移a個得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；3向下平移b個得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；4與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱；5與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱；6與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；7與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱。定理3 復合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性，記住四個字：“同增異減。例如y=, u=2-x在-,2上是減函數(shù)，y=在0，+上是減

6、函數(shù)，所以y=在-,2上是增函數(shù)。注：復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴格論證，求導之后是顯然的。二、方法與例題xyx11x1數(shù)形結(jié)合法。例1 求方程|x-1|=的正根的個數(shù).【解】 分別畫出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點，所以方程有一個正根。例2 求函數(shù)f(x)=的最大值?！窘狻?f(x)=，記點p(x, x2)，a3，2，b0，1，那么f(x)表示動點p到點a和b距離的差。因為|pa|-|pa|ab|=,當且僅當p為ab延長線與拋物線y=x2的交點時等號成立。所以f(x)max=2.函數(shù)性質(zhì)的應用。例3 設x, yr，且滿足，求x+y.【解】 設f(t)=

7、t3+1997t，先證f(t)在-，+上遞增。事實上，假設a<b，那么f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以f(t)遞增。由題設f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例4 奇函數(shù)f(x)在定義域-1，1內(nèi)是減函數(shù)，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范圍?！窘狻?因為f(x) 是奇函數(shù)，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設f(1-a)<f(a2-1)。又f(x)在定義域-1，1上遞減，所以-1<1-a<a2-1<1，解得0<

8、a<1。例5 設f(x)是定義在-，+上以2為周期的函數(shù)，對kz, 用ik表示區(qū)間(2k-1, 2k+1，當xi0時，f(x)=x2，求f(x)在ik上的解析式。【解】 設xik，那么2k-1<x2k+1，所以f(x-2k)=(x-2k)2.又因為f(x)是以2為周期的函數(shù)，所以當xik時，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.例6 解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化為m(+1)+n(+1)=0. 假設m=0，那么由得n=0，但m, n不同時為0，所以m0, n0.)假設m>0，那么由得n<0，設f(t

9、)=t(+1),那么f(t)在0，+上是增函數(shù)。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=)假設m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=,但與m<0矛盾。綜上，方程有唯一實數(shù)解x=3.配方法。例7 求函數(shù)y=x+的值域。【解】 y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.當x=-時，y取最小值-，所以函數(shù)值域是-，+。4換元法。例8 求函數(shù)y=(+2)(+1),x0,1的值域?！窘狻苛?=u，因為x0,1，所以2u2=2+24,所以u2,所以2，12，所以y=,u2+2，8。所以該函數(shù)值域為2+，8。5判別式法。例9 求函數(shù)y=的值域

10、?！窘狻坑珊瘮?shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 當y1時，式是關(guān)于x的方程有實根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得y1.又當y=1時，存在x=0使解析式成立，所以函數(shù)值域為，7。6關(guān)于反函數(shù)。例10 假設函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為r，且存在反函數(shù)。假設f(x)在(-,+ )上遞增，求證：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函數(shù)。【證明】設x1<x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，那么x1=f(y1), x2=f(y2)，假設y1y2，那么因為f(x)在(-,+ )上遞增，所以x1x2與假設矛盾，所以y1<y2。即y=f

11、-1(x)在(-,+ )遞增。例11 設函數(shù)f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).【解】 首先f(x)定義域為-，-，+；其次，設x1, x2是定義域內(nèi)變量，且x1<x2<-;=>0,所以f(x)在-，-上遞增，同理f(x)在-，+上遞增。在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，那么y0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x0,所以x,y-，+.假設xy，設x<y，那么f(x)=y<f(y)=x，矛盾。同理假設x>y也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x，化簡得3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5

12、x2+5x+1)=0,因為x0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1.三、根底訓練題1x=-1, 0, 1, y=-2, -1, 0, 1, 2，映射f：xy滿足：對任意的xx，它在y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有_個。2給定a=1，2，3，b=-1，0，1和映射f：xy，假設f為單射，那么f有_個；假設f為滿射，那么f有_個；滿足ff(x) =f(x)的映射有_個。3假設直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點-1，-1，那么圖象與直線一共有_個交點。4函數(shù)y=f(x)的值域為，那么函數(shù)g(x)=f(x)+的值域為_。5f(x)=，那么函

13、數(shù)g(x)=ff(x)的值域為_。6f(x)=|x+a|，當x3時f(x)為增函數(shù)，那么a的取值范圍是_。7設y=f(x)在定義域，2內(nèi)是增函數(shù)，那么y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_。8假設函數(shù)y=(x)存在反函數(shù)y=-1(x)，那么y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關(guān)于直線_對稱。9函數(shù)f(x)滿足=1-，那么f()=_。10. 函數(shù)y=, x(1, +)的反函數(shù)是_。11求以下函數(shù)的值域：1y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=12. 定義在r上，對任意xr, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數(shù)，又當x2,3時，f(x)=x，那么當x-2,0時，求f(x

14、)的解析式。四、高考水平訓練題1a, f(x)定義域是0,1，那么g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域為_。2設0a<1時，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。那么f(x)定義域為_。3映射f: a, b, c, d1，2，3滿足10<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<20，這樣的映射f有_個。4設函數(shù)y=f(x)(xr)的值域為r，且為增函數(shù)，假設方程f(x)=x解集為p，ff(x)=x解集為q，那么p，q的關(guān)系為：p_q填=、。5以下函數(shù)是否為奇函數(shù)：1f(x)=(x-1)；2g(x)=|2x+1|-|2

15、x-1| ; (3) (x)=；4y=6. 設函數(shù)y=f(x)(xr且x0)，對任意非零實數(shù)x1, x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在0，+是增函數(shù)，那么不等式f(x)+f(x-)0的解集為_。7函數(shù)f(x)=，其中p，m為r的兩個非空子集，又規(guī)定f(p)=y|y=f(x), xp, f(m)=y|y=f(x), xm，給出如下判斷：假設pm=，那么f(p) f(m)=；假設pm，那么f(p) f(m)；假設pm=r, 那么f(p) f(m)=r；假設pmr，那么f(p) f(m)r. 其中正確的判斷是_。8函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x+1)，并且f(

16、1)=3997，那么f(1998)= _。9y=f(x)是定義域為-6，6的奇函數(shù)，且當x0，3時是一次函數(shù)，當x3，6時是二次函數(shù)，又f(6)=2，當x3，6時，f(x)f(5)=3。求f(x)的解析式。10設a>0，函數(shù)f(x)定義域為r，且f(x+a)=，求證：f(x)為周期函數(shù)。11設關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為，<，函數(shù)f(x)=,1求f()、f()；2求證：f(x)在，上是增函數(shù)；3對任意正數(shù)x1, x2，求證：<2|-|.五、聯(lián)賽一試水平訓練題1奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)f-1(x)，假設把y=f(x)的圖象向上平移3個，然后向右平移2個后，再關(guān)于直線y

17、=-x對稱，得到的曲線所對應的函數(shù)是_.2假設a>0，a1,f(x)是奇函數(shù)，那么g(x)=f(x)是_奇偶性.3假設=x，那么以下等式中正確的有_.f(-2-x)=-2-f(x)；f(-x)= ；f(x-1)=f(x)；f(f(x)=-x.f：rr滿足f(0)=1，且對任意x,yr，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，那么f(x)=_.5f(x)是定義在r上的函數(shù)，f(1)=1，且對任意xr都有f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1。假設g(x)=f(x)+1-x，那么g()= _.6. 函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是_.7. 函數(shù)f(x)=的奇偶性

18、是：_奇函數(shù)，_偶函數(shù)填是，非。8. 函數(shù)y=x+的值域為_.9設f(x)=,對任意的ar，記v(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，試求v(a)的最小值。10解方程組： 在實數(shù)范圍內(nèi)11設kn+, f: n+n+滿足：1f(x)嚴格遞增；2對任意nn+, 有ff(n)=kn，求證：對任意nn+, 都有nf(n)六、聯(lián)賽二試水平訓練題1求證：恰有一個定義在所有非零實數(shù)上的函數(shù)f，滿足：1對任意x0, f(x)=x·f；2對所有的x-y且xy0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).f(x)對一切x>0有定義，且滿足：f(x)在0，+是增函數(shù)；()任意x>0, f(x)f=1，試求f(1).3. f:0,1r滿足：1任意x0, 1, f(x)0；2f(1)=1；3當x, y, x+y0, 1時，f(x)+f(y)f(x+y)，試求最小常數(shù)c，對滿足1，2，3的函數(shù)f(x)都有f(x)cx.4. 試求f(x,y)=6(x2+y2