計(jì)算方法公式總結(jié)

1、計(jì)算方法公式總結(jié)緒論絕對(duì)誤差e x x, x為準(zhǔn)確值，x為近似值。絕對(duì)誤差限|e| | xxl , e為正數(shù)，稱(chēng)為絕對(duì)誤差限r(nóng) x x e 相對(duì)誤差e-L通常用ex x表示相對(duì)誤差相對(duì)誤差限|er|或|e| r有效數(shù)字元函數(shù)y=f (x)'絕對(duì)誤差e(y) f (x)e(x)相對(duì)誤差e(y)即二元函數(shù) y=f (xi,x 2)f (x) e(x)yxf (x)f(x)er(x)f (xi,x2),f (xi,x2).絕對(duì)誤差e(y)dxidx2x1x2f (xi，x2) xif(xi，x2) x2 / 、相對(duì)誤差 er(y) ier(xi) -e(x2)xiyx2y機(jī)器數(shù)系注：i. p

2、 >2,且通常取2、4、6、82 . n為計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)3 .指數(shù)p稱(chēng)為階碼(指數(shù))，有固定上下限L、U4 .尾數(shù)部sO.aazL an ,定位部5,機(jī)器數(shù)個(gè)數(shù)1 2(1) n 1(U L 1)機(jī)器數(shù)誤差限,心 1n p,舍入絕對(duì)|xfl(x)| - 截?cái)嘟^對(duì)|x fl(x)|舍入相對(duì)|x fl(x)|x|截?cái)嘞鄬?duì)|x fl(x)|x|秦九韶算法方程求根f (x) (x x)mg(x), g(x) 0, x* 為 f(x)=0 的 m 重根。二分法迭代法f (x)0xk 1(xk) k=0、1、2*xk為迭代序列，(x)為迭代函數(shù)，lim xkx (x )k局部收斂注：如果知道近似值，可以用

3、近似值代替根應(yīng)用定理3判斷是否局部收斂牛頓迭代法_ _ f (x)f (xk) f (xk)(x xk) 0xk1 xk 4* 0,1,2,L ) f (xk)注：牛頓迭代對(duì)單根重根均局部收斂，只要初值足夠靠近真值。牛頓迭代法對(duì)初值要求很高，要保證初值在較大范圍內(nèi)也收斂，加如下四個(gè)條件注：證明牛頓迭代法大范圍收斂性，要構(gòu)造一個(gè)區(qū)間e ,M( £ ),其中M( )f；,在這個(gè)區(qū)間內(nèi)驗(yàn)證這四個(gè)條件。如果知道根的位置，構(gòu)造e, M(e )時(shí)應(yīng)該包括根，即e +常數(shù)線性方程組求解有兩種方法：消去法 和迭代法 高斯消去法利用線性代數(shù)中初等行變換將 增廣矩陣轉(zhuǎn)化為等價(jià)上三角矩陣。注意：第一行第一

4、列為0,將第一列不為0的某一行與第一行交換位置，繼續(xù)初等行變換。a12Laii對(duì)角占優(yōu)矩陣a1na2nMani an2 LannnI aii Ilaij l(ij 11,2，L，n)則稱(chēng)A為三嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣nlajj 1 i1laij l(j 1,2,L,n)則稱(chēng)A?虺嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣a。ajj (i1, j n) xRn,x 0,(x, Ax) 0則稱(chēng)A是對(duì)稱(chēng)正定的。當(dāng)A是上面三種情況時(shí)，用高斯消去法消元時(shí) akk 0 ,不用換行。追趕法是高斯消元法的一種特例列主元高斯消元法I (k)(k)當(dāng)1 ask I max I aik I ,即第k次消元把kn行第k列絕對(duì)值最大的行(s行)調(diào)到第k

5、行，再進(jìn)行高斯消元。迭代序列構(gòu)造Ax b x Bx f x(k 1) Bx(k) f第三個(gè)等式為迭代序列，B為迭代矩陣。迭代收斂判別1 .充分條件：迭代矩陣范數(shù)小于1, PBP 1結(jié)論：Ax=b有唯一解x2 .充要條件：迭代矩陣譜半徑小干 1, (B) 1Jacobi迭代法A L D U其中L (low)為下三角，U為上三角，D為對(duì)角線元素迭代格式：x(k 1) D 1(L U)x(k) D 1b1迭代矩陣JD (L U)收斂性判據(jù)：| I J | 0 |D 1 |?|l_DU|0|L D U | 0求出 最大值小于1 (J的譜半徑小于1)即迭代格式收斂.Gauss-Seidel 迭代法迭代格

6、式x(k1) D 1( Lx(k1) Ux(k) b)x(k 1)(D L)1Ux(k) (D L) 1b1 ,迭代矩陣：G (D L)1U1.常數(shù)矩陣：g (D L) b收斂性判據(jù)：| I G | 0 |(D L) 1 |?| (D L) U | 0 | (D L) U | 0求出 最大值小于1 (G的譜半徑小于1)即迭代格式收斂.結(jié)論：當(dāng)A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的,則Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收斂 的插值法用插值多項(xiàng)式p (x)代替被插函數(shù)f(x)插值多項(xiàng)式：P(x) a。 ax Ln anxn+1個(gè)點(diǎn) P(K) yi(i 0: n)插值區(qū)間：a,b,插值點(diǎn)滿(mǎn)足axox1 L

7、xn求插值多項(xiàng)式P (x),即求多項(xiàng)式系數(shù)的過(guò)程為插值法帶入可知求系數(shù)的插值點(diǎn)行列式為范德蒙行列式，不為0,有唯一解。即n+1插值條件對(duì)應(yīng)的不超過(guò)n次的插值函數(shù)P (x)只有一個(gè)。P(x) Uy0x°xiXix0y0i0(x)yiii(x)lk(x)n(xi 0i kXi)n (xxi)ni0(Xk K)i k0 (xk xi)Lagrange插值多項(xiàng)式Ln(x)y*(x)k 0k 00xk為 一)ykK插值余項(xiàng)非插值節(jié)點(diǎn)上Lagrange插值多項(xiàng)式為被插函數(shù)f(x)的近似值Rn(x)f(x) Ln(x)f(n1)(n 1)!xi)(a,b)帶導(dǎo)數(shù)插值條件的余項(xiàng)估計(jì)注：推導(dǎo)過(guò)程用羅爾

8、中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)(t) R(t) K(x)Wni(t)第二條性質(zhì)用于可以證明階數(shù)不大于 n的f(x)的插值余項(xiàng)為0.差商和Newton插值法記憶方法：先記分母，最后一個(gè)減去第一個(gè)，對(duì)應(yīng)的分子第一項(xiàng)是最后一個(gè)臨 近k元素的差商，第二項(xiàng)是第一個(gè)臨近 k個(gè)元素的差商。牛頓插值多項(xiàng)式通常記作N (x) 分段樣條插值分段二次樣條插值討論n為奇偶情況時(shí)的三個(gè)點(diǎn)余項(xiàng)估計(jì)式三次樣條插值函數(shù)第一類(lèi)邊界條件(端點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)已知)D0等于第一個(gè)式子，dn等于第二個(gè)式子自然邊界條件(端點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)已知 二階導(dǎo)數(shù)和M0 Mn=0曲線擬合最小二乘原理函數(shù)關(guān)于n個(gè)點(diǎn)線性無(wú)關(guān)注：線性無(wú)關(guān)的函數(shù)為1,x, x'23 .

9、 n,x ,L ,x才是最小二乘多項(xiàng)式注：記住公式即可。數(shù)值積分和數(shù)值微分Xk 為求積節(jié)點(diǎn)， Ak 為求積系數(shù)。插值求積公式梯形公式Simpson 公式Cotes公式截?cái)嗾`差代數(shù)精度 當(dāng)f(x)為不超過(guò) m次多項(xiàng)式時(shí)上式成立，f (x)為m+1多項(xiàng)式時(shí)上式不成立。則稱(chēng)為求積 公式有m次代數(shù)精度。梯形公式代數(shù)精度為1, Simpson公式代數(shù)精度為 3, Cotes公式代數(shù)精度為 5截?cái)嗾`差梯形公式Simpson 公式Cotes公式Gauss求積公式求積公式代數(shù)精度為 2n+1-1,1上的兩點(diǎn)Gauss公式（3次代數(shù)精度）11f (x)dx f (-1,1上的三點(diǎn)Gauss公式（5次代數(shù)精度）11f(x)dx 9 f“5)9 f 5W5)記住xktk, a A的關(guān)系，tk Ak查表即可復(fù)化梯形公式 2 階，復(fù)化 Simpson公式 4 階，復(fù)化 Cote 公式 6 階計(jì)算機(jī)通過(guò)不斷把區(qū)間二分，所得前后兩次積分差值滿(mǎn)足精度條件即可1 一“、一給定精度1112nIn1時(shí)1 r|I(f) 12n(f)| 好 112n(f) In(f)|因而可以取12n ( f )為 ( f )的近似值。梯形Simpson數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分截?cái)嗾`