Ch4.4矩、協(xié)方差矩陣.

1、第四節(jié) 矩、協(xié)方差矩陣C原點矩中心矩C協(xié)方差矩陣O /I元正態(tài)分布的概率密度、原點矩中心矩定義 設(shè)X和Y是隨機變量，若E(Xj,Jl=12 存在，稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩.若EX_E(X),R=2,3, 存在，稱它為X的k階中心矩.可見，均值E(X)是X階原點矩，方差I(lǐng)) )(X)是X的二階中心矩。設(shè)x和y是隨機變量，若E(XkYL)R上=1Z存在,稱它為x和y的階混合(原點)矩.若EX-E(X)kY-E(Y)L存在,稱它為X和丫的Jt+l階混合中心矩.可見，協(xié)方差C( (xy) )是x和y的二階混合中心矩.都存在，稱矩陣c =將二維隨機變量(總&2) )的四個二階中心矩5 二

2、EX|-E( (M) )2這是一個非排成矩陣11 52上二負定對稱矩陣二、=EX為(X泌2,兒)的協(xié)方差矩陣。三、元正態(tài)分布的概率密度設(shè) 疋（X泌2,兒）是一個”維隨機向量. 若它的概率密度為/（心求2,並尸（2兀詁IC戸旳，（X一“） 則稱X服從n元正態(tài)分布.其中（7是（X泌力瓦）的協(xié)方差矩陣.IC1是它的行列式，C表示C的逆矩陣，X和/辰n維列向量，X表示X的轉(zhuǎn)置.元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)1. X=（X泌2,瓦）服從元正態(tài)分布I對一切不全為0的實數(shù)a“2,如,4X+a2X?+an X】i均服從正態(tài)分布.由此得到，n維正態(tài)變就（X泌2,兀啲每 一個分量&都是正態(tài)隨機變量；反之，若每個

3、分 量血都是正態(tài)隨機變量，且它們相互獨立，則（XpX兒）是n維正態(tài)變量。2.正態(tài)變量的線性變換不變性.若X=(XVX2.,Xw)服從川元正態(tài)分布, 嶺2,，h是X/ 0=1,2,皿)的線性函數(shù), 則(嶺,，yk) )也服從多元正態(tài)分布.3 設(shè)(X|,X29/)服從元正態(tài)分布，則嗔泌2,比相互獨立” 等價于“X泌2,比兩兩不相關(guān)”例 設(shè)隨機變量X和y相互獨立且XN(1,2)，yN( (o,i) )試求z=2x y+3的概率密度.解：xN( (i,2) ),yN( (o,i) ),且x與y獨立， 故x和丫的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，x和y的任意線 性組合是正態(tài)分布.即Z-N(E(Z), D(Z)E(Z)=2E(X)-E( y) )+3=2+3=5D(Z)=4D(X)+D( K)=8+1 =9故Z的概率密度是1(Z-5)2二話八ws例設(shè)隨機變量X.Y獨立，均服從正態(tài)分布N(“./)令U=aX+l) )Y, V=aX-bY,問常數(shù)a.b滿足什么條件時小結(jié)在這一節(jié)中我們學(xué)習(xí)了隨機變量的原點矩和中心矩以及協(xié)方差矩陣.一般地，維隨機變量的分