勾股定理新版本

1、.人教版八年級(jí)（下）第十七章人教版八年級(jí)（下）第十七章. 讀一讀讀一讀 我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖圖1-1稱為稱為“弦圖弦圖”，最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為，最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)作法時(shí)給出的作法時(shí)給出的.圖圖1-2是在北京召開(kāi)的是在北京召開(kāi)的2002年國(guó)際數(shù)年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（學(xué)家大會(huì)（TCM2002）的會(huì)標(biāo)，其圖案正是）的會(huì)標(biāo)，其圖案正是“弦圖弦圖”，它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就. 圖1-1圖1-2.看一看看一看 相

2、傳相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來(lái)觀察下面的圖案，看看你能們，我們也來(lái)觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？發(fā)現(xiàn)什么？.ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖圖2-1圖2-2（1）觀察圖）觀察圖2-1 正方形正方形A中含有中含有 個(gè)個(gè)小方格，即小方格，即A的面積是的面積是 個(gè)單位面積。個(gè)單位面積。 正方形正方形B的面積是的面積是 個(gè)單位面積。個(gè)單位面積。正方形正方形C的面積

3、是的面積是 個(gè)單位面積。個(gè)單位面積。99918你是怎樣得到上面的結(jié)你是怎樣得到上面的結(jié)果的？與同伴交流交流。果的？與同伴交流交流。.ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖圖2-1圖2-2cS正方形143 3182 分分“割割”成若干個(gè)直成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形角邊為整數(shù)的三角形（單位面積）（單位面積）.ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖圖2-1圖2-2cS正方形216218（單位面積）（單位面積）把把C“補(bǔ)補(bǔ)” 成邊長(zhǎng)為成邊長(zhǎng)為6的的正方形面積的一半正方形面積的一半.ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表

4、一個(gè)單位面積）（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖圖2-1圖2-2（2）在圖）在圖2-2中，正中，正方形方形A，B，C中各含中各含有多少個(gè)小方格？它有多少個(gè)小方格？它們的面積各是多少？們的面積各是多少？（3）你能發(fā)現(xiàn)圖）你能發(fā)現(xiàn)圖2-1中中三個(gè)正方形三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有什么的面積之間有什么關(guān)系嗎？關(guān)系嗎？ SA+SB=SC 即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于 斜邊上的正方形的面積斜邊上的正方形的面積.ABC圖圖3-1ABC圖圖3-2分割成若干個(gè)直角邊為分割成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形整數(shù)的三角形cS正方形25144 3 12 （面積單位）（面積

5、單位）一般的直角三角形一般的直角三角形三邊為邊作正方形三邊為邊作正方形.ABC圖圖3-1ABC圖圖3-2把把C“補(bǔ)補(bǔ)”成邊長(zhǎng)為成邊長(zhǎng)為7的的正方形面積加正方形面積加1單位面單位面積的一半積的一半cS正方形25（面積單位）（面積單位）思考：思考：面積面積A，B，C還有上述關(guān)系還有上述關(guān)系嗎？嗎？）（17212.ABC圖圖3-1ABC圖圖3-2（1）你能用三）你能用三角形的邊長(zhǎng)表示角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎？正方形的面積嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？與同么關(guān)系嗎？與同伴進(jìn)行交流。伴進(jìn)行交流。議一議議一議 .A AB BC Ca ac

6、 cb bS SA A+S+SB B=S=SC C 觀察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？觀察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想猜想:兩直角邊兩直角邊a、b與斜邊與斜邊c 之間的關(guān)系？之間的關(guān)系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2.a ac cb b 觀察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？觀察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想兩直角邊猜想兩直角邊a、b與斜邊與斜邊c 之間的關(guān)系？之間的關(guān)系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2S SA A+S+SB B=S=SC C.動(dòng)手做：動(dòng)手做：用尺規(guī)做直角三角形用尺規(guī)做直角三角形ABC，使，使 C=90=90，AC=3cmBC=4cm 動(dòng)手動(dòng)手

7、量量: :如果一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別如果一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別 是是3cm和和4cm, ,則它的斜邊長(zhǎng)是多少則它的斜邊長(zhǎng)是多少? ?動(dòng)手動(dòng)手算算: : 3、4、5各自的平方有什么關(guān)系各自的平方有什么關(guān)系? ?動(dòng)腦猜：動(dòng)腦猜：任意直角三角形兩直角邊的平方和都等于任意直角三角形兩直角邊的平方和都等于斜邊的平方嗎斜邊的平方嗎? ?222543（5cm）. 在準(zhǔn)備好的方格紙上，分別畫(huà)三個(gè)頂點(diǎn)都在準(zhǔn)備好的方格紙上，分別畫(huà)三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上且兩直角邊分別為在格點(diǎn)上且兩直角邊分別為6 6和和8,58,5和和12,912,9和和1212的直角三角形的直角三角形, ,并測(cè)量出這三個(gè)直角三角形

8、并測(cè)量出這三個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)的斜邊長(zhǎng), ,然后驗(yàn)證你的猜想！然后驗(yàn)證你的猜想！a b c1 6 82 5123 912151310？，cba何給出一般說(shuō)明呢那么又該如樣的關(guān)系這可見(jiàn)存在2222c22ba 225100169225169100.cab1、拿出準(zhǔn)備好的四個(gè)全等的直角三角形（設(shè)、拿出準(zhǔn)備好的四個(gè)全等的直角三角形（設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊斜邊c）；）；2、你能用這四個(gè)直角三角形拼成一個(gè)正方形、你能用這四個(gè)直角三角形拼成一個(gè)正方形 嗎？拼一拼試試看嗎？拼一拼試試看3、你拼的正方形中是否含有以斜邊、你拼的正方形中是否含有以斜邊c的正方形？的

9、正方形？4、你能否就你拼出的圖說(shuō)明、你能否就你拼出的圖說(shuō)明a2+b2=c2？.cabcabcabcab c2=b2-2ab+a2+ 2ab =a2+b2 a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 ；也可以表示為也可以表示為c2 該圖2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)示意圖，取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作勾股圓方圖。abab214)(2證明證明1：abab214)(2.cabcabcabcab (a+b)2 = a2+2ab+b2 = 2ab +c2a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 ；也可以表示為也可以表示為(a+b)224abC2證明

10、證明2：24abC2.勾股定理（勾股定理（gou-gu theorem)gou-gu theorem)如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a、b, 斜邊為斜邊為c，那么，那么 a2+b2=c2 abc勾勾股股弦弦！.勾股定理（勾股定理（gou-gu theorem)gou-gu theorem)如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a、b, 斜邊為斜邊為c，那么，那么 a2+b2=c2 abcABC幾何語(yǔ)言：幾何語(yǔ)言：在在RtABC中中 C=90（已知）（已知）a2+b2=c2（勾股定理）（勾股定理）.勾勾股股勾勾股股弦弦 我國(guó)早在三千多年就知道了這個(gè)定理

11、,人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”，我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.因此就把這一定理稱為勾股定理勾股定理. .輝煌發(fā)現(xiàn)輝煌發(fā)現(xiàn). 兩千多年前，古希臘有個(gè)哥拉兩千多年前，古希臘有個(gè)哥拉 斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。

12、早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前國(guó)家之一。早在三千多年前 兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，理。為了紀(jì)念

13、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。 我國(guó)是最早了解勾股定理的我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。早在三千多年前，周國(guó)家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被記，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)中。中。.a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形兩直角邊的平方和直角三角形兩直角邊的平

14、方和等于斜邊的平方等于斜邊的平方. .勾勾股股弦弦 勾股定理勾股定理( (畢達(dá)哥拉斯定理畢達(dá)哥拉斯定理) ).cab22acb22abcc2=a2 + b2a2=c2 b2b2 =c2 a2bca22結(jié)論變形結(jié)論變形直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方； .求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng): :8 8x x171712125 5x x解：在直角三角形中，解：在直角三角形中，依勾股定理可得：依勾股定理可得： 82+ X2=172 即：即：X=172-82 =15解：在直角三角形中，解：在直角三角形中，依勾股定理可得：依勾股定理可得： 52+ 122= X2 即：即

15、：X=52+122 =13.課堂課堂 練練 習(xí)習(xí)求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度。求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度。6x25248X.例題例題1:1:在直角在直角ABCABC中中, C=90, C=90,a,b,c,a,b,c分別為分別為A, A, B ,CB ,C的對(duì)邊的對(duì)邊. .(1)(1)若若a=3, a=3, b=4,=4,求求c的長(zhǎng)的長(zhǎng)(2)若若a=5, c =12,求求b的長(zhǎng)的長(zhǎng)(3)(3)若若a:b=3:4,c=15,a:b=3:4,c=15,求求a,ba,b的長(zhǎng)的長(zhǎng) 練習(xí)練習(xí) (1)在直角在直角ABC中，中，A=90 a=5，b=4，則求，則求c的值？的值？ (2) 在直角在直

16、角ABC中，中，B=90， a=3， b=4，則求，則求c的值？的值？ c =24，b=25，則求，則求a的值？的值？ (3) 在直角在直角ABC中，中，c=90， 若若a:c=5:13,b=24,求求a,c的長(zhǎng)的長(zhǎng) . (3)如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是是5厘米和厘米和12厘米，那么這個(gè)三角形厘米，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是多少厘米？的周長(zhǎng)是多少厘米？可要當(dāng)心噢！在直角在直角ABC中，中， a=3， b=4， 則求則求c的值？的值？.ADBC34 已知已知ACB=90ACB=90, ,CDAB,AC=3,BC=4.CDAB,AC=3,BC=4.求求CDCD的

17、長(zhǎng)的長(zhǎng). .例題例題2 : 如圖，將長(zhǎng)為如圖，將長(zhǎng)為5.41米的梯子米的梯子AC斜靠在墻上，斜靠在墻上，BC長(zhǎng)為長(zhǎng)為2.16米，米，求梯子上端求梯子上端A到墻的底端到墻的底端B的距離的距離AB.（精確到（精確到0.01米）米） 解在解在RtABC中中ABC=90,BC=2.16,CA=5.41,根據(jù)勾股定理得根據(jù)勾股定理得 4.96（米）（米） 222216. 241. 5BCACAB.1. 1.求下列圖中表示邊的未知數(shù)求下列圖中表示邊的未知數(shù)x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169169.做一做：做一做： P6254

18、0026xP的面積的面積 =_X=_X=_24322622x24225BACAB=_AC=_BC=_251520.比比一一比比看看看看誰(shuí)誰(shuí)算算得得快！快！2.2.求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng): :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小結(jié)方法小結(jié):8 8x x171716162020 x x12125 5x x.、如圖、如圖, ,一個(gè)高一個(gè)高3 3 米米, ,寬寬4 4 米的大門(mén)米的大門(mén), ,需在相需在相對(duì)角的頂點(diǎn)間加一個(gè)加固木條對(duì)角的頂點(diǎn)間加一個(gè)加固木條, ,則木條的長(zhǎng)則木條的長(zhǎng)為為 ( )( )A.3 A.3 米米 B.4 B.4 米米 C.5C.5米米 D.6D.6米米C.、湖的兩端有、湖的兩端有A A、兩點(diǎn)，從與、兩點(diǎn)，從與A A方向成直方向成直角的角的BCBC方向上的點(diǎn)方