固體物理第三章習題

1、.1第三章 習題.21. 原子質(zhì)量為m，間距為a，恢復力常數(shù)為的一維簡單晶格，頻率為格波un=Acos(t-qna). 求(1)該波的總能量，(2)每個原子的時間平均總能量.3(1) 格波的總能量為各原子能量的總和，其中第n個原子的動能為21,2numt211.2nnuu解答解答而該原子與第n+1個原子之間的勢能為若只考慮最近鄰相互作用，則格波的總能量為22111.22nnnnnuEmuut.4將cosnuAtqna代入上式得：222222111sin4sin21sin2222nnqaEmAtqnaAtnqa2011sin2TtdtT設(shè)為原子振動的周期，利用2222220011111sin4s

2、in21sin2222TTnnqaEmAtqna dtAtnqadtTT22221sin42qamA NA N可得式中為原子總數(shù).5（）每個原子的時間平均總能量則為22221sin42EqamAAN22241 cossin2qaqamm2212EmAN再利用色散關(guān)系便得到每個原子的時間平均能量.62一維復式格子，原子質(zhì)量都為m，原子統(tǒng)一編號，任一原子與兩最近鄰的間距不同，力常數(shù)不同，分別為1和2，晶格常數(shù)為a，求原子的運動方程及色散關(guān)系.7此題實際是一雙原子分子鏈設(shè)相鄰分子間兩原子的力常數(shù)為2，間距為b；分子內(nèi)兩原子力常數(shù)為1；晶格常數(shù)為a.第n-1, n, n+1, n+2個原子的位移分別為

3、un-1, un, un+1, un+2, 第n-1與第n+1個原子屬于同一種原子，第n與第n+2個原子屬于同一種原子.第n和第n+1原子受的力分別為2111112121,nnnnnnnnnnfuuuufuuuu解答解答.8其運動方程分別為22111221121212.nnnnnnnnnnd umuuuudtd umuuuudt設(shè)格波的解分別為1221221.ni qatiqnatnni qa qbtiqnatnuAeAeuB eBe.9代入運動方程，得221212,.iqaiqamABAABemBAeBBA212212211200.iqaiqamAeBeAmB整理得由于A和B不可能同時為零，

4、因此其系數(shù)行列式必定為零，即21221221120iqaiqameem.10解上式可得：1221222212221212122122121624sin22411sin2mqammmqam 12122212212411sin,2Aqam 由上式知，存在兩種獨立的格波，聲學格波的色散關(guān)系為光學格波的色散關(guān)系為12122212O21241+ 1sin.2qam .115設(shè)有一長度為的一價正負離子構(gòu)成的一維晶格，正負離子間距為a，正負離子的質(zhì)量分別為m+和m-，近鄰兩離子的互作用勢為 ，式中e為電子電荷，b和n為參量常數(shù)，求(1) 參數(shù)b與e，n及a的關(guān)系；(2) 恢復力系數(shù)；(3) q=0時光學波的

5、頻率0；(4) 長聲學波的速度vA；(5) 假設(shè)光學支格波為一常數(shù)，且=0，對光學支采用愛因斯坦近似，對聲學波采用德拜近似，求晶格熱容。2( )nebu rrr .12(1) 若只計近鄰離子的相互作用，平衡時，近鄰兩離子的互作用勢能取極小值，即要求解答解答( )0.r adu rdr21.ne abn由此得到(2) 恢復力系數(shù)22231( )r aend u rdra.13(3)光學波頻率的一般表達式參見固體物理教(321) 式12212221221216sin.22omMqamMmMmM 對于本題，a=2a， 1=2=，m=m+，M=m-所以q=0的光學波頻率122321.oemmna m

6、m.14(4) 由固體物理教程(3.25)式可知，長聲學波頻率1212.AaqmM 2.2Aaqmm221.AAenvqa mm對于本題長聲學波的速度231ena.15光學波對熱容的貢獻22,1EETOEVOBTdELeCkdTaTe其中E是愛因斯坦溫度，其定義為oEBk 按照德拜模型，聲學波的模式密度( ).ALDv.1oBoOk TLEa e(5) 按照愛因斯坦模型，光學波的熱振動能q2a2a布里淵區(qū)允許的波矢數(shù)目等于原胞數(shù)目L/2a每個波矢點占據(jù)區(qū)域：22aLLa.16波矢密度2L利用 = vAq聲學波在dq的模式數(shù)目d = vAdq22ALLdqdvq2a2a聲學波的模式密度22AAL

7、Lvv.17200( ).11DDBTBAk TxAk TDdLxdxEeve聲學波的熱振動能其中,DDBBxk TkD和D分別為德拜頻率和德拜溫度德拜頻率可由下式求得00( )DDDAALLLDddavvADva.18聲學波對熱容的貢獻222001 222220( ).11211DDBDxTABVAk TxAxTBxdELk TdDdx e dxCdTdTevea mmLk Tx e dxene在高溫情況下，ex=1+x，上式化成1 2222201 22221121DxTBVAxBDa mmLk Tx e dxCenea mmLken先求出高溫時的a，再求CVA更容易.19在甚低溫條件下，,

8、DT1 222,21BVAa mmLk TCCen2201DxTxx e dxCe.VVOVACCC其中是一常數(shù)晶格的熱容.209求一維簡單晶格的模式密度D().21一維簡單晶格的色散關(guān)系曲線如圖所示由色散曲線對稱性可以看出，d區(qū)間對應(yīng)兩個同樣大小的波矢區(qū)間dq，2/a 區(qū)間對應(yīng)L/a個振動模式，單位波矢區(qū)間對應(yīng)有L/2 個振動模式d范圍則包含22dqLdqL解答解答個振動模式.22L dqd單位頻率區(qū)間包含的模式數(shù)目定義為模式密度，根據(jù)這一定義可得模式密度為1 2cos.2dqaadqm1 2222012( )1 sin2LmLDaqaa 由色散關(guān)系得將上式代入前式，得到模式密度22dqLd

9、qL22241 cossin2qaqamm.2312. 設(shè)一長度為L的一維簡單晶格，原子質(zhì)量為m，間距為a，原子間的互作用勢可表示成()cos()UA 試由簡諧近似求（1）色散關(guān)系（2）模式密度D()（3）晶格熱容（列出積分表達式）。.24(1)根據(jù)已知條件，可求原子間的彈性恢復力系數(shù)求解求解220222()()ad Ud UAdrda0sin()2qa將上式代入固體物理教程一維簡單晶格的（3.7）式得到色散關(guān)系其中1202()Aa m1/22sin()2qam.25（2）根據(jù)固體物理教程（3.7）式，一維簡單晶格簡正振動格波的色散關(guān)系式為2sin()2qam此式表明為q偶函數(shù)。設(shè)D()、D(

10、q)分別表示單位頻率間隔內(nèi)和q空間中單位間隔內(nèi)振動方式數(shù)，考慮到振動方式總數(shù)為原子總數(shù)N，可得00( )( )aaDdD q dqN.262( )( )aaD q dqD qNa( )2NaD q1122222002cos()1 sin() ()2222dqaaqaadqm02m由D(q)為常數(shù)得0000( )( )2( )aadDdDdqD q dqdq( )2 ( )dDD qdq因此再由得又式中.27由此得11221201222021( )2( )()()2()dNa aNDD qdq.281Bk Te00( )1Bk TDdEe0202202()(1)BBk TvBk TBdELedC

11、kk TdTae（3）頻率為的格波的熱振動能為這個晶格的熱振動能則晶格的熱容1222021( )()ND.2913. 對于一維簡單格子，按德拜模型，求出晶格熱容，并討論高低溫極限。.30按照德拜模型，格波色散關(guān)系為=vq。由色散曲線對稱性可以看出，d區(qū)間對應(yīng)兩個同樣大小的波矢區(qū)間dq。2/a區(qū)間對應(yīng)L/a個振動模式，單位波矢空間對應(yīng)有L/2個振動模式，d范圍則包含求解求解個振動模式。22dqLdqLdzqaa0.31單位頻率區(qū)間包含的模式數(shù)目定義為模式密度，根據(jù)這一定義可得模式密度為( )dzL dqLDddv00( )LDdNa再利用 式中N為原子總數(shù)，a為晶格常數(shù)得 0va.32固體物理教

12、程（3.119）式得其熱容量00220022( )()()()(1)(1)BBBBk Tk TvBBk Tk TBBeDdLedCkkk Tk Tvee作變量變換Bxk T2220(1)DxTBvxLk Te x dxCve得其中0DBk.33在高溫時，x是小量，上式中被積函數(shù)221(1)xxe xevBBLCkNka因此，晶格的高溫熱容量在甚低溫時，D/T，Cv中的被積函數(shù)按二項式定理展開級數(shù)則積分22222001112(1)3xnxxnne x dxx nedxen222221(1)(1)xxxnxxne xx eexnee220(1)DxTBvxLk Te x dwCve由此得到低溫時晶

13、格的熱容量23BvL k TCv.342131() 20DvBCNkT17. 按德拜近似，證明高溫時的晶格熱容.354342332032(1)DxTcBvxpV k Te x dxCve4442223222222(1)(1)12()()12412xxxxe xxxxxxxxeeex43433532233233331111 ()() () 1() 23602320DDDDcBcBvppV k TV k TCvTTvTT求解求解由固體物理教程式（3.132）可知在高溫時，TD，則在整個積分范圍內(nèi)x為小量，因此可將上式中被積函數(shù)化簡為將上式代入Cv的表達式.361203(6)DpBBcNvkkV2131() 20DvBCNkT代入上式得.3729( )ebU rrr 21. 設(shè)某離子晶體中相鄰兩離子的互作用勢能b為待定常數(shù)，平衡間距r0=310-10m，求膨脹系數(shù)L。.3820BLkar022()rd Udr0331()2rd Udr 02210009()()0rdUebdrrr28019be r0222231130002908()rd Uebedrrrr 03223412400