淺析函數(shù)極限求法的畢業(yè)論文

1、淺析函數(shù)極限的求法摘要極限是數(shù)學(xué)分析的一個重要組成部分，它以各種形式出現(xiàn)且貫穿在全部內(nèi)容之中, 因此，掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵，而函數(shù)極限的求法可謂是多種多樣.首先本文先給出了函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)；其次歸納和總結(jié)了函數(shù)極限的若干求法，并舉例分析；最后給出了求函數(shù)極限的流程圖，也就是求函數(shù)極限的思路、步驟，使初學(xué)者能較快地掌握求函數(shù)極限方法.關(guān)鍵詞：極限；導(dǎo)數(shù)；洛必達(dá)法則；泰勒公式RAMBLE ABOUT THE METHODS OF MATH LIMITABSTRACTMathematical analysis of the limit has been a focus of

2、 content, and runs through the entire contents in a variety of forms, therefore, how to grasp the solution to limit is the key to learning the mathematical analysis. The series of limit can be described as diverse, by concluded and induction, At first, this paper gives the definition of limit, by de

3、fining the to understand what is the limit of sequence and function; secondly by induction and summarization, this paper lists some common calculation methods, and analysis all kinds of method of limit. At last,given the procedure of the solution to function limit finally, i.e. the idea of solve fun

4、ction limit and the step of solve function limit, to make the beginning student can grasp the method of solve function limit fast. Key words: limit; derivative; Variable substitution; Lhospitals rule; McLaughLin formula; Taylar exhibition type目 錄1 前言- 3 -2函數(shù)極限的概念及性質(zhì)- 4 -2.1函數(shù)極限的概念- 4 -2.2函數(shù)極限的性質(zhì)- 5

5、-3函數(shù)極限的求解方法- 6 -3.1 利用兩個準(zhǔn)則求極限- 6 -3.2 利用極限的四則運(yùn)算求極限- 7 -3.3 利用兩個重要極限公式求極限- 8 -3.4 利用洛必達(dá)法則求極限- 9 -3.5 利用函數(shù)連續(xù)性求極限- 10 -3.6 通過等式變形化為已知極限- 10 -3.7 利用換元法求極限- 11 -3.23 利用自然對數(shù)法求極限- 11 -3.8 利用因式分解法求極限- 12 -3.14 利用壓縮定理- 16 -4 求極限的一般流程- 18 -結(jié)論- 21 -參考文獻(xiàn)- 22 -致謝- 23 -1 前言極限研究的是變量在變化過程中的趨勢問題.數(shù)學(xué)分析中所討論的極限大體上分為兩類：一

6、類是數(shù)列的極限，一類是函數(shù)的極限.兩類極限的本質(zhì)上是相同的，在形式上數(shù)列界限是函數(shù)極限的特例.因此，本文只就函數(shù)極限進(jìn)行討論.函數(shù)極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的一個重要的基本運(yùn)算，一部分函數(shù)的極限可以通過直接或間接的運(yùn)用“極限四則運(yùn)算法則”來求解，而另一部分函數(shù)極限需要通過特殊方法解決.求函數(shù)極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的.對某個具體的求極限的問題，我們應(yīng)該追求最簡便的方法.在求極限的過程中，必然以相關(guān)的概念、定理以及公式為依據(jù)，并借助一些重要的方法和技巧.極限是數(shù)學(xué)分析中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài).早在中國古代，極限的樸素思想和應(yīng)用就已在文獻(xiàn)中有

7、記載,例如，魏晉時期中國數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”的數(shù)學(xué)思想，即用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想.在數(shù)學(xué)分析中的許多基本概念，都可以用極限來描述.如函數(shù)連續(xù)的定義，導(dǎo)數(shù)的定義，定積分、二重積分、三重積分的定義，級數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的.極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本工具，極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線.本文是在極限存在的條件下，對極限的常用求法進(jìn)行綜述，歸納出計(jì)算極限的一般流程.計(jì)算極限所用的方法，是致力于把所求極限簡化為已知極限.求極限的方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止本文所歸納的，故本文并不夠完善，求極限的方法未能拓展,只限于數(shù)學(xué)分析.希望通過本文，大家在思想上能對求解極限的方法有一個高度的總括，計(jì)算

8、極限時游刃有余.2函數(shù)極限的概念及性質(zhì)2.1函數(shù)極限的概念定義1 設(shè)為定義在上的函數(shù)，A為定數(shù).若對任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時有 則稱函數(shù)當(dāng)趨于時以A為極限，記作 或 定義2 （函數(shù)極限的定義） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個空心鄰域內(nèi)有定義，A為定數(shù).若對任給的，存在正數(shù)，使得時有 則稱函數(shù)當(dāng)趨于時以A為極限，記作 或 定義3設(shè)函數(shù)在（或）內(nèi)有定義，A為定數(shù).若對任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)（或）時有 則稱數(shù)A為函數(shù)當(dāng)趨于（或）時的右（左）極限，記作 （）或 （） 右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限. 在點(diǎn)的右極限與左極限又分別記為 與 . 2.2函數(shù)極限的性質(zhì)定理1（唯一性） 若極限存在，則在的某空心鄰域內(nèi)有界.

9、定理2（局部保號性）若 （或），則對任何正數(shù)（或），存在，使得對一切有（或）.定理3（保不等式性） 設(shè) 與 都存在，且在某鄰域 內(nèi)有，則定理4 （迫斂性） 設(shè)，且在某鄰域內(nèi)有，則定理5（四則運(yùn)算法則） 若極限與都存在，則函數(shù)，當(dāng)時極限也存在.3函數(shù)極限的求解方法3.1 利用兩個準(zhǔn)則求極限(1)極限的迫斂性（夾逼原理），對數(shù)列和函數(shù)同樣適用： 設(shè)，且在某內(nèi)有則利用夾逼原理求極限，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數(shù)列或函數(shù)， .例3.1求解： 因?yàn)?，所以?dāng)0時 而 由迫斂性定理得，=1例 3. 2 求 解： 因?yàn)楫?dāng)2時，而， 由迫斂性定理知=0（2）單調(diào)有界定理設(shè)為定義在或上的單調(diào)有

10、界函數(shù)，則存在或存在3.2 利用極限的四則運(yùn)算求極限極限的四則運(yùn)算法則：若， （1） （2） （3）若 則： （4） （c為常數(shù)） 上述性質(zhì)對于時也同樣成立通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算，首先對函數(shù)實(shí)行各種恒等變形.例 3.3 求極限解：= =例3.4 求極限解：=0例3.5 求極限 解：=例 3.6求極限解： = = 3.3 利用兩個重要極限公式求極限兩個重要極限公式：（A） (B)但我們經(jīng)常使用的是它們的變形： 例3.7 求極限解： =例3.8 求極限解： =3.4 利用洛必達(dá)法則求極限型不定式極限定理：若函數(shù)和滿足：（1）；（2）在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都

11、可導(dǎo)，且；（3）（可為實(shí)數(shù)，也可為或），則型不定式極限定理：若函數(shù)和滿足：（1）；（2）在點(diǎn)的某右空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；（3）（可為實(shí)數(shù)，也可為或），則 不定式極限還有等類型，經(jīng)過簡單變換，它們一般均可化為型或型的極限.例3.9 求極限 解： 由對數(shù)恒等式可得 =例3.10 求極限解：= =-43.5 利用函數(shù)連續(xù)性求極限（1）若在處連續(xù)，則（2）若是復(fù)合函數(shù)，又且在處連續(xù)，則這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限.如果在點(diǎn)連續(xù)，而在點(diǎn)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).即.例3.10 求極限解： 令，因?yàn)樵邳c(diǎn)處連續(xù)所以=3.6 通過等式變形化為已知極限要點(diǎn)：當(dāng)極限不宜直接求出時，可考慮將求極限的變量作適

12、當(dāng)?shù)牡仁阶冃?，得到已知極限的新變量.例3.11 求極限解： =03.7 利用換元法求極限當(dāng)一個函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求.例3.12 求極限解： 令，則=3.8 利用自然對數(shù)法求極限自然對數(shù)法：把形如通過恒等變形寫成的形式,改為求 或不定式的極限.例3.13 求極限解： 用自然對數(shù)法，令y=取自然對數(shù)得= 3.9 利用因式分解法求極限要點(diǎn)：如果可以通過因式分解將變量化簡或轉(zhuǎn)化為已知的極限，即可利用此方法求變量極限.例3.14 就極限解 ： = 3.10 利用等價無窮小量求極限當(dāng)時，下列函數(shù)都是無窮?。O限為0）且相互等價， 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且有

13、 .(1) 若，則(2) 若，則 注：在用等價無窮小求極限過程，不是乘除的情況，不一定能這樣做.例3.15 求極限解： =例3.16 試確定的值，使時為同階無窮小量解： 因?yàn)? = 所以，故當(dāng)=1時與當(dāng)時為同階無窮小量3.11 利用積分中值定理求極限一般根據(jù)積分第一中值定理：若在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得 將某些含有積分的變量化為一般形式再求極限. 例3.17 求極限解： 由積分中值定理=， ， 3.12利用定積分求和式的極限利用定積分和式求極限時首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)，把所求極限的和式表示成在某區(qū)間上的等分的積分和式的極限.例3.18 求極限解： = 令=，則由定積分定義知 又 由，得=

14、3.13 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限利用級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)收斂，則，運(yùn)用這個方法首先判定級數(shù)收斂，然后得出它的通項(xiàng)極限. 例3.19 求極限解： 設(shè)則 = =0<1由比值判別法知收斂由必要條件知=03.14 利用泰勒公式求極限泰勒公式是一大難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)時首先要清楚泰勒定理成立的條件，清楚泰勒公式、麥克勞林公式的表達(dá)形式以及常見的麥克勞林展開式.實(shí)際上，泰勒公式在證明、極限計(jì)算等方面有著廣泛而獨(dú)到的應(yīng)用. 泰勒定理：若在點(diǎn)有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么 （其中在0與1之間）例3.20 求極限解： 泰勒展開式 于是所以=3.15 利用壓縮定理定理3.15（壓縮定理）：1 對于任意數(shù)列而言，

15、若存在常數(shù)，使得，恒有 ，則數(shù)列收斂2 特別，若數(shù)列利用遞推公式給出： ，其中為某一可微函數(shù)，且，使得 ，則收斂。證明 1 應(yīng)用柯西準(zhǔn)則，知收斂?；蚶玫依死着袆e法，可知級數(shù)絕對收斂，從而序列 收斂2 若成立，利用微分中值定理： ，即此時，也成立，故由1可知收斂注 此定理可以與單調(diào)有界定理和起來證明遞推數(shù)列的收斂。如例3.2也可以這么來證明。例3.2 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限解：對于1已有，對，有，則它滿足壓縮定理的條件，故收斂。例3.15 設(shè)，由下列遞推公式定義，求解：因?yàn)橛忠驗(yàn)?，所以收斂。因?yàn)椋O(shè)，對兩邊取極限得所以，不合題意（由極限的保號性可知）所以4 求極限的一般流程一般流程

16、圖如下所示：NYN通分YNYYNYNNNYNYYNYNY輸入連續(xù)輸出有零因式去零因式洛必達(dá)法則有無窮大因式去無窮大因式利用其他方法求極限圖1 求函數(shù)極限流程圖求函數(shù)極限的方法較多,但是每種方法都有其局限性,都不是萬能的.對某個具體的求極限的問題,我們應(yīng)該追求最簡便的方法.在求極限的過程中,必然以相關(guān)的概念、定理及公式為依據(jù),并借助一些重要的方法和技巧.對求函數(shù)極限流程圖的說明1. 判斷函數(shù)是否連續(xù)，若連續(xù)直接用極限的四則運(yùn)算解之，如例3.3；3.4;3.5;3.6.2. 判斷函數(shù)的形式是不是2.1 如果是，接著判斷是不是 或 如果是，接著判斷是否有零因式（或無窮大因式） 如果有，則去零因式（或

17、無窮大因式），再回到第一步進(jìn)行是否連續(xù)的判斷；若有零因子，可用因式分解或泰勒展開式去零因子;若有無窮因子，可通過衡等變化去無窮因子. 如果沒有，則應(yīng)用洛必達(dá)法則，再回到第一步進(jìn)行是否連續(xù)的判斷； 如果不是，則是形如 的極限，顯然可直接得出答案；2.2 如果不是，接著判斷是不是 如果是，接著判斷是不是 如果是，則轉(zhuǎn)到 2.1； 如果不是，則是形如 的極限，顯然可直接得出答案； 如果不是，接著判斷是不是的形式 如果是，應(yīng)用自然對數(shù)法求極限，則可轉(zhuǎn)到2.2； 如果不是，則判斷是不是 的形式(如果是，通分可后轉(zhuǎn)到 2.;如果不是，則歸結(jié)為其他類型的極限，用兩邊夾定理積分中值定理、級數(shù)收斂的必要條件等其

18、他方法來求解,可轉(zhuǎn)到1.如例4.2，4.3，4.4.)不同的函數(shù)形式，可采用不同的極限求法，如上文歸納的求極限的方法.不管用什么方法，目的都是要簡化函數(shù)，化為已知極限.結(jié)論在選擇求極限方法時，首先要分析函數(shù)的特點(diǎn)，確定函數(shù)式的類型，然后根據(jù)函數(shù)的類型和特點(diǎn)來決定用何種方法去求函數(shù)的極限.極限是描述數(shù)列和函數(shù)的變化趨勢,該趨勢是以自變量的變化過程為前提,所以在判斷極限所屬的類型時,一定要以自變量的變化過程為前提,而不能單純只看函數(shù)式,否則必錯無疑.把求數(shù)列極限化為求函數(shù)極限,就給求數(shù)列極限開辟了廣闊的天地.這是因?yàn)榍蠛瘮?shù)極限可以有多種方法,針對不同函數(shù)的特點(diǎn),可利用函數(shù)的連續(xù)性、洛必達(dá)(L.Ho

19、spital)法則,函數(shù)的泰勒(Taylor)展開式等,但也應(yīng)該明白,并不是任何數(shù)列極限問題都能轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限問題的,例如,當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)本身呈現(xiàn)n項(xiàng)之和或積的形式時就不能按海涅定理轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限了.本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的一些常用方法.以上只是眾多求解極限方法的一小部分，或許并不全面，讀者如果有興趣可以繼續(xù)探索新的求解方法.因?yàn)閿?shù)學(xué)知識博大精深，我們目前只接觸到一點(diǎn)點(diǎn)而已，雖然我們還處在那數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)層，但這并不妨礙我們對數(shù)學(xué)的喜愛與學(xué)習(xí),我們應(yīng)不停的接受知識. 總之，在求函數(shù)極限的過程就是綜合運(yùn)用各種方法的過程，只有真正理解每一種求解函數(shù)極限方法需要滿足的條件及實(shí)質(zhì)，以及各種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系,才能在求函數(shù)極限的過程中游刃有余,且受其益于生活實(shí)踐.參考文獻(xiàn)1王盛群等.高等數(shù)學(xué)M.山東:山東大學(xué)出版社，1993.2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2001.3錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹M.湖北:眾邦考試教育研究所,2009. 4同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.微積分M.北京:高等教育出版社,2009.5尹國成.常見函數(shù)極限的求法J.保山師專學(xué)報,2009,(6):1-3.6宋顥.函數(shù)極限的求法探討J.現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè),2010,(12):360-361.7劉玉璉等.數(shù)學(xué)分析講義M.北京:高等教育出版社,1992.8同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題集M