淺談構造法在數(shù)列中的運用

1、四川師范大學本科畢業(yè)論文淺談構造法在數(shù)列中的運用學生姓名院系名稱數(shù)學與軟件科學學院專業(yè)名稱數(shù)學與應用數(shù)學班 級學 號指導教師完成時間淺談構造法在數(shù)列中的運用 學生姓名： 指導教師：內容摘要:構造法，就是根據(jù)題設條件或結論所具有的特征、性質，構造出滿足條件或結論的數(shù)學模型，借助于該數(shù)學模型解決數(shù)學問題的方法。利用利用構造法求數(shù)列的通項公式是高考中的?？键c之一，解題思路比較簡單、可操作性強。但是利用構造法求數(shù)列的前n項和的可操作性則較弱。本文就是通過舉例來說明構造法在數(shù)列求通項公式和前n項和中的一些運用，并簡要說明一些通過構造數(shù)列的方法來證明一些不等式題型的方法。關鍵詞：構造法 數(shù)列 不等式How

2、 to Apply the Construction Method in SequenceAbstract:Construction method, is a way of which is based on the characteristics of the hypothesis or conclusion to build a mathematical model which is constructed to meet the condition and conclusion, with which to solve mathematics problems.The general t

3、erm formula for the sequence which is constructed by using construction method is often one of the examination points in the college entrance examination. With this method, the way of problem-solving is relatively simple and strong operability. But for the sum of the first n terms of the sequence wh

4、ich is constructed by using construction method is weak in its maneuverability.This article is through the way of giving examples to illustrate some application of construction method for general term formula in sequence and the sum of the first n terms, and is a brief description of some ways by co

5、nstructing a sequence to prove some inequality questions.Key words:Construction Sequence Inequality目錄1引言.12構造法在數(shù)列求通項公式中的運用.2 2.1直接構造一個等差數(shù)列或等比數(shù)列.22.2形如（為常數(shù)，且）的數(shù)列.22.3形如“”型的數(shù)列.42.4用特征方程構造等差數(shù)列或等比數(shù)列.62.5取倒數(shù)構造等差數(shù)列或等比數(shù)列.62.6取對數(shù)構造新的等差或等比數(shù)列.7 2.7公式變形構造.72.8通過換元來構造新的數(shù)列求解.82.9對于兩個數(shù)列的復合問題，也可構造等差或等比數(shù)列求解.92.10其他

6、特殊數(shù)列的特殊構造方法.93構造法在數(shù)列求和中的運用.11 3.1逐差構造法.11 3.2利用組合數(shù)公式構造數(shù)列的通項求和.124構造數(shù)列證明不等式.12 4.1直接法.134.2作差法.134.3作商法.144.4差分法.154.5商分法.155總結.16參考文獻.17致謝.18淺談構造法在數(shù)列中的運用1引言數(shù)列的基本知識等差數(shù)列等比數(shù)列定義對一切nN*有(d為常數(shù)）對一切nN*有：=(0,且是非零常數(shù)）通項公式中項公式2=+2=任意兩項的關系=前n項和公式數(shù)列的實質是“按照一定規(guī)律”排列成的一列數(shù)，描述這種“規(guī)律”最簡單的形式就是通項公式，所以求數(shù)列的通項公式是數(shù)列中最常見的題型之一，也是

7、歷年來高考中常遇到的問題，通常數(shù)列題都有三個小問，而第一個問基本上都是求通項，且求通項都是為后面的兩個問題作鋪墊。所以，求數(shù)列的通項公式是研究數(shù)列的一個重要課題。另外，除求數(shù)列的通項公式外，求數(shù)列的前n項和也是數(shù)列題型中的常見題型之一。除一些常見的公式法、錯位法、裂項法之外，構造法對于求數(shù)列的通項公式和前n項和都是一個不錯的方法之一。構造法的內涵十分豐富，沒有固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實問題的特殊性為基礎，針對具體問題的特點而采取的解決辦法，基本方法是：借用一類問題的性質，來研究另一類問題的思維方法。解題的過程就是一個不斷把“未知”轉化為“已知”的過程，這里的轉化是解題的關

8、鍵。構造法作為一種重要的化歸手段，在數(shù)學解題中起到重要的作用。在解題的過程當中，如果按照固定的思維方法去探求解題途徑有較大的困難時，可以啟發(fā)學生根據(jù)題目的特點，展開豐富的聯(lián)想拓寬自己的思維范圍，運用構造法來解題也是培養(yǎng)學生創(chuàng)造意識和創(chuàng)新思維的方法之一，同時也對提高學生的解題能力有很大的幫助。2構造法在數(shù)列求通項公式中的運用2.1直接構造一個等差數(shù)列或等比數(shù)列通常在這一類題型當中，題干中給出的并非是一個等差數(shù)列或者等比數(shù)列，而是一個遞推公式。通過對遞推公式做一些簡單的變換可以構造出一個新的等差數(shù)列或者等比數(shù)列，有時在構造的過程中一般會用到待定系數(shù)法等方法。構造出新的等差或者等比數(shù)列之后，原來的數(shù)

9、列的通項公式就迎刃而解了，如例1。例1、在數(shù)列中，已知求通項公式。分析：由遞推式首先想到的是進行一個移項，把移到等式的右邊，然后考慮在等式的兩邊同時除以構造一個新的等差數(shù)列。解：遞推式兩邊同時除以 （，否則與矛盾）；構造輔助數(shù)列；是以-3為首項，-2為公差的等差數(shù)列- = =1-把代入上式，得注意：通常情況下我們遇到的都是考慮把構造成新的數(shù)列，而這里是把看成整體作為一個新的數(shù)列。另外，在運算的過程當中要注意對應的項不要出錯。2.2形如（為常數(shù)，且）的數(shù)列形如（為常數(shù)，且）的數(shù)列，其本身原本不是等差數(shù)列或者等比數(shù)列，但通常進行變形之后，都能通過構造法構造出新的等差數(shù)列或者等比數(shù)列。一般情況下都是

10、構造等比數(shù)列，但是在這里存在一個變量，當取不同的形式時，構造法的運用又會有所不同，這里我只給出的三種形式。（1） 當=（為常數(shù)）時，可構造等比數(shù)列求解。此結構可設通過待定系數(shù)法解得，從而把轉化為，構造出以為首項，為公比的等比數(shù)列，求出的通項公式，從而導出的通項公式。如例2。例2、已知數(shù)列滿足，求通項.解：設，則所以 是以為首項，為公比的等比數(shù)列 （2）當為等比數(shù)列時，即= （為常數(shù)）即思路1：兩邊同時除以把題轉化為，構造數(shù)列。令，則，這就變成了第（1）類型，的形式。思路2：設，用待定系數(shù)法可解得，故原條件可轉化為，則可構造出一個新的等比數(shù)列。例3、已知數(shù)列中，=+，求通項。解：由條件得 令=

11、則即 又 ，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列所以 即 所以 (3)當為等差數(shù)列時，即為遞推形式時，可類比（1）的形式構造新的等比數(shù)列，不同的是（1）中為常數(shù)，所以在構造的時候對應假設為常數(shù)，而在這里為等差數(shù)列，即為一次函數(shù)時，在構造時對應也應假設為一次函數(shù)。即通過構造由待定系數(shù)法求出，。再構造等比數(shù)列。例4、已知數(shù)列滿足， 求。解：令 整理得：，令 即 則 ，所以 是以3為首項，為公比的等比數(shù)列所以 從而 2.3形如“”型的數(shù)列一般地，由相鄰三項的遞推關系給出的數(shù)列，求其同項公式時，通常都是考慮將中間的那項進行分解，與前后兩項進行搭配構造出新的等比數(shù)列，通過新的等比數(shù)列的通項轉化求出原數(shù)列的

12、通項公式。在此過程中一般要用到待定系數(shù)法。如例5、例6。例5、設數(shù)列滿足：， 求。解：設 則 得或 不妨取有 且 則數(shù)列是以2為首項，9為公比的等比數(shù)列則 令 從而數(shù)列是以1為首項，7為公比的等比數(shù)列 注意：此題要用到兩次構造法例6、已知數(shù)列滿足 且，求通項解：用待定系數(shù)法，構造出等比數(shù)列假設可轉化為即 比較系數(shù)可知所以原關系式轉化為構造一個以為首項，為公比的等比數(shù)列所以，把上面各式累加起來：其中，解得：2.4用特征方程構造等差數(shù)列或等比數(shù)列設數(shù)列滿足， 。則數(shù)列的特征方程為，設為其兩根，即為不動點。（1） 若，則數(shù)列是等比數(shù)列（2） 若，則數(shù)列是等差數(shù)列例7、設數(shù)列滿足 求通項解：由題知特征

13、方程為 解得 因為 為等比數(shù)列所以所以變式：已知數(shù)列滿足 且3，求通項。2.5取倒數(shù)構造等差數(shù)列或等比數(shù)列形如“”時，此結構常兩邊同時取倒數(shù)，可得 令，從而轉化為的形式，再用2類中（1）的解法即可。如例8。例8、已知數(shù)列中，2，求數(shù)列的通項公式。解：等式兩邊同時取倒數(shù)，可得 又因為 所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列所以 2.6取對數(shù)構造新的等差或等比數(shù)列對于形如“”的類型，此結構需等式兩邊同時取對數(shù)，對數(shù)的底任意取得，從而得到，設，可得：，轉化為題型2（1），利用上面介紹的方法可解。如例9。例9、設正項數(shù)列滿足1，求數(shù)列的通項公式解：由題意可知 將兩邊同時取對數(shù)得：所以有 令 則 ，所以是以1

14、為首項，2為公比的等比數(shù)列。得： 變式：已知2，點在函數(shù)的圖像上，其中n=1，2，3，.求的通項公式。 2.7公式變形構造此類題型對等差數(shù)列和等比數(shù)列的最基本的公式進行變形，使得已知條件中的遞推關系能夠轉化為我們所熟悉的類型。例10、已知正項數(shù)列的前n項和滿足，求通項。分析：在這個題型的遞推關系中，既有前n項和，又有數(shù)列的通項，在統(tǒng)一式子里面通常考慮只出現(xiàn)一類符號，所以這個題首先要想到把轉化成的形式或把轉化為的形式。在這里一般考慮把轉化成，因為這樣只引入了兩個符號，而如果把化為的話會引入n個符號。解：由題意可知： 又 所以 可得 所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列。所以 又因為 所以 當

15、時 當n=1時，也適合所以 變式：設數(shù)列的前n項和為，若成立，求的通項。2.8通過換元來構造新的數(shù)列求解例11、在數(shù)列中，求。分析：本題的難點是已知遞推關系式中的較難處理，可構造新數(shù)列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，將通項進行轉化，便于化簡變形。解：令，則，即，則原條件轉化為，化簡得，即，變形得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列。故，即所以2.9對于兩個數(shù)列的復合問題，也可構造等差或等比數(shù)列求解例12、在數(shù)列，中，且求，的通項公式。分析：在這類題中出現(xiàn)了兩個數(shù)列，在兩個數(shù)列之間不能相互妝化時，就考慮是否能夠構造一個的新數(shù)列。解：構造新數(shù)列， 則，令，得或，所以數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列。當

16、時，數(shù)列是首項為，公比=2的等比數(shù)列， 故 .(1)當時，數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列， 故 .(2)聯(lián)立兩式得： 2.10其他特殊數(shù)列的特殊構造方法例13、求數(shù)列的通項公式。分析：這是自然數(shù)平方和的通項公式，其結論是要求我們能夠記住的一個公式。首先，看到這個自然數(shù)平方之和，不做任何變形或構造肯定是無法入手的，肯定要做一些改造，所以由此式聯(lián)想到自然數(shù)求和1+2+3+n，這樣就有了一個式子與之一一對應，現(xiàn)在將其組合在一起通過列舉法列舉出前5項，取n=1，2，3，4，5時，分式的值依次為，所以做出大膽的猜想，該分式的通項為，即，從而得到，再通過數(shù)學歸納法證明我們的猜想是否正確既可。解：構造分式取，

17、2，3，4，5時，其分式的值一次為，觀察這個有限的前5項可知：各分數(shù)的分母為常數(shù)3，分子組成一個以3為首項，2為公差的等差數(shù)列于是可推測它的第項是那么則用數(shù)學歸納法證明此結論：當時，結論成立；假設時結論成立，則有那么當時，左邊有 右邊有 即當n=k+1時，等式左邊等于等式的右邊所以對于一切n，等式都成立故例14、已知函數(shù)又數(shù)列中，其前n項和為，對所有大于1的自然數(shù)n都有，求數(shù)列的通項公式。分析：本題真正能夠入手的就只有兩個條件，即：和，那么當沒有什么巧解得時候就根據(jù)題意按部就班的做，構造等差數(shù)列。解：由題意知，所以有，等式兩邊同時開方得： ，令， 則 是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以有 3

18、構造法在數(shù)列求和中的運用構造法在數(shù)列求和中的運用相比在求數(shù)列通項公式中的運用就要少很多，而且在數(shù)列求和中的構造法相比也要難很多，在近幾年的高考中都很少遇到，它要求具備很好的想象能力和轉化能力。所以在這里僅選幾個經(jīng)典的例子進行簡要的介紹。 3.1 逐差構造法一個自然數(shù)高次冪所組成的數(shù)列，它的前項和可以通過逐差構造法，轉化為用自然數(shù)低次冪的前項的和來表示。例15、求解構造數(shù)列 即 。3.2 利用組合數(shù)公式構造數(shù)列的通項求和在這種方法當中要用到組合數(shù)公式，所以要求對組合數(shù)的公式有較好的掌握，且思維要很發(fā)散，不能受到之前知識的局限。例16、求數(shù)列的前項和解設數(shù)列的通項為 故數(shù)列的前項和。4 構造數(shù)列證

19、明不等式數(shù)列和不等式都是高中數(shù)學的重要內容，這兩個重點知識的聯(lián)袂、交匯融合，更能考察學生對知識的綜合理解與運用的能力。不等式是高中數(shù)學培養(yǎng)學生思維能力的一個突出的內容，它可以體現(xiàn)數(shù)學思維中的很多方法。對于證明有關自然數(shù)n的不等式的常規(guī)思路是數(shù)學歸納法或放縮法，但數(shù)學歸納法的證明過程比較繁瑣，而放縮法的技巧性很強，難度很大。如果根據(jù)題目的具體結構和特點，能夠運用高造法構造一個新的數(shù)列來間接證明，那么證明的難度就會大大減小。 4.1 直接法當不等式的一邊為一個常數(shù)時，可以直接將不等式的另外一邊構造成一個數(shù)列，然后證明數(shù)列的單調性。根據(jù)單調性來判定不等式是否成立即可。例17、證明對于一切大于1的正整

20、數(shù)n，有證明：構造數(shù)列 因為 所以 數(shù)列為單調遞增數(shù)列，又因為n是大于1的正整數(shù)所以 ，當且僅當n=2時等號成立。故原不等式成立。4.2 作差法對于證明關于自然數(shù)n的不等式的形式，可以構造一個數(shù)列使得，然后通過證明數(shù)列是單調遞增（或單調遞減）的，來證明原不等式。通常在當或是很多項之和時選擇用這個方法。如例18.例18、設： 證明不等式：成立（n是所有的正整數(shù)）。（1986年全國高考試題）證明：先證明左邊的不等式成立。構造數(shù)列，令則： 所以。為單調遞增數(shù)列，第一項為最小項所以 即有：.左邊得證。再證明右邊的不等式成立。令則： 所以為單調遞減數(shù)列。第一項為最大項所以 即 .右邊得證。綜上得：成立。

21、4.3 作商法對于證明關于自然數(shù)n的不等式的形式，可以構造一個數(shù)列使得，然后通過證明數(shù)列是單調遞增（或單調遞減）的，來證明原不等式。通常在當或是很多項之積時選擇用這個方法。如例19.例19、對于大于1的自然數(shù)n，證明不等式：成立。證明：構造數(shù)列，令 則 所以 所以，即是單調遞增數(shù)列，為最小項，即 即有：4.4 差分法對于“”型的不等式，可以令，如果能夠證明成立，則原不等式就可以證明。這種方法思路簡單清楚，操作起來方便有效。如例20.例20、證明對于一切正整數(shù)n，有。證明：記數(shù)列的前n項和為。當時，又，則數(shù)列的每一項均大于數(shù)列的相應項。故大于數(shù)列的前n項和，故原不等式成立。4.5 商分法對于“”

22、型的不等式，可以令，如果能夠證明成立，則原不等式成立。如例21.例21、證明對于一切大于1的正整數(shù)n，有證明：原不等式即，記數(shù)列的前n項的積為 ，則當時，欲證，只須證，即證，而這是明顯成立的。所以數(shù)列的每一項均小于數(shù)列的對應項，所以小于數(shù)列的前n項積，所以原不等式成立。5 總結通過以上的例子，不難發(fā)現(xiàn)通過地推公式，有的數(shù)列可以通過構造新數(shù)列的方法，構造出一個較為熟悉的數(shù)列，從而求出通項公式和前n項和等，這也是一種化歸能力的體現(xiàn)。此類問題考查了學生思維的靈活性與分析問題及運用知識解決問題的能力。也正因為此，這種類型的題目越來越受到高考命題者的青睞。另外，不難看出的是構造法在數(shù)列求通項公式中的運用和在構造數(shù)列證明不等式