2008年(福建.文)含答案

1、數(shù)學(xué)(文史類)第I卷(選擇題共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的(1) 若集合 A=x|x2-xv 0,B= x|0v xv3,則 AA B 等于A. x|0v xv 1B. x|0v xv 3C. x|1 v xv 3D. C(2) “ a=1”是"直線x+y=0和直線x-ay=0互相垂直”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(3 )設(shè)Bn|是等左數(shù)列，若a2=3,ai=13,則數(shù)列an前8項(xiàng)的和為A.128B.80C.64D.56(4)函數(shù) f(x)=x3+sin

2、x+1(x R)，若 f(a)=2,則 f(-a)的值為A.3B.0C.-1D.-2(5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為4，那么播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率5是1216a.B.-1251254896C.-D.-125125如圖，在長方體 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC =2, AA1=1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角 的正弦值為2 2 2 2 1A.B.C.D.-3 343(7)函數(shù)y=cosx(x R)的圖象向左平移一個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，貝U g(x)的解2析式為A.-si nxB.si nxC.-cosxD.cosx(8)在厶ABC中，角A、B

3、、C的對(duì)邊分別為 a、b、c,若a2+c2-b 23 ac,則角B的值為JiB.3亠5二C.或6 6jiA.6(9)某班級(jí)要從4名男士、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù), 那么不同的選派方案種數(shù)為A.14B.24C.28(10)若實(shí)數(shù)X _ y 仁 0,x、y滿足x卜0,x空2,則丿的取值范圍是xA. (0, 2)(11)如果函數(shù)y=f(x)的圖象如右圖，那么 導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象可能是?？?兀D.或33如果要求至少有1名女生,D.48B. (0, 2)2 xC.(2,+gD.2 , +g2LPo r .J。pX(12)雙曲線2a-爲(wèi)=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F

4、2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PE2|,bC. (3, +g)D. 3 , + g則雙曲線離心率的取值范圍為A. (1, 3)B. (1, 3)第H卷(非選擇題共90 分)二、填空題：本大題共 4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.1(13) (x+丄)9展開式中x2的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)x(14) 若直線3x+4y+m=0與圓x2+y2-2x+4y+4=0沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 .(15 )若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為-、3，則其外接球的表面積是 .a(16) 設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意a、b P,都有a+b、a-b、ab

5、、bP (除數(shù)bz 0)則稱P是一個(gè)數(shù)域，例如有理數(shù)集Q是數(shù)域，有下列命題： 數(shù)域必含有0, 1兩個(gè)數(shù)； 整數(shù)集是數(shù)域； 若有理數(shù)集 Q 二M,則數(shù)集M必為數(shù)域； 數(shù)域必為無限集其中正確的命題的序號(hào)是 .(把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上)三、解答題：本大題共 6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟(17) (本小題滿分12分)已知向量 m = (sin A,cos A), n = (1,-2)，且 m_n =0.(I)求tanA的值;(n )求函數(shù) f(x)=cos2x ta n As in x(x R)的值域.1 1-且他們是否破譯43(18) (本小題滿分12分)三人獨(dú)立

6、破譯同一份密碼已知三人各自破譯出密碼的概率分別為出密碼互不影響(I )求恰有二人破譯出密碼的概率；(n)“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個(gè)大？說明理由(19) (本小題滿分12分)如圖，在四棱錐 F ABCD中，側(cè)面FAD丄底面ABCD，側(cè)棱FA= PD= 2，底面ABCD為直角梯形，其中 BC/ AD ,AB 丄 AD,AD=2AB=2BC=2 , O 為AD中點(diǎn)(I )求證：PO丄平面 ABCD ;(n )求異面直線PB與CD所成角的余弦值；(川)求點(diǎn)A到平面PCD的距離(20) (本小題滿分12分) 已知 an是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點(diǎn)(、一 an,an彳)(nN*)在函數(shù)

7、y=x2+1的圖象上.(I)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;(n )若列數(shù) bn滿足 b1 = 1, bn+1=bn+ 2 n，求證:bn bn+2< b n+1.(21) (本小題滿分12分)32已知函數(shù)f(x)=x +mx +nx2的圖象過點(diǎn)(-1, -6),且函數(shù)g (x) = f "(x)+6x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(I )求m、n的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n )若a> 0，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a-1,a+1 )內(nèi)的極值(22) (本小題滿分14 分)2 2如圖，橢圓(a > b> 0)的一個(gè)焦a2b2點(diǎn)為F(1,0)，且過點(diǎn)(2, 0) (I)

8、求橢圓C的方程；(n)若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線l:x=4與x軸交于點(diǎn)N,直線AF與BN交于點(diǎn)M. (i )求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上; (ii )求厶AMN面積的最大值.數(shù)學(xué)試題(文史類)參考答案、選擇題：本大題考查基本概念和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分60分.(6)D(12)B4分，滿分16分.(1) A(2) C(3)C(4)B(5)C(7) A(8) A(9)A(10)D(11)A二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題(13) 84(14)( °°,0) u (10,(15) 9 兀(16)三、解答題：本大題共 6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程

9、或演算步驟(17) 本小題主要考查平面向量的數(shù)量積計(jì)算、三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、一 元二次函數(shù)的最值等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力，滿分12分.解：(I)由題意得m n=sinA-2cosA=0,因?yàn)?cosAm 0,所以 tanA=2.(n)由(I)知 tanA=2 得2 1 23f(x)二 cos2x 2sin x=1-2sin x 2sin x = -2(sinx).2 2因?yàn)?x.二 R,所以 sinx 1-1,11.1 3當(dāng)sinx時(shí)，f(x)有最大值，2 2當(dāng)sinx=-1時(shí)，f(x)有最小值-3, 所以所求函數(shù)f(x)的值域是3,|.(18) 本小題主要考查概率的基本知識(shí)與分

10、類思想，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力.滿分12分.解：記“第i個(gè)人破譯出密碼”為事件 A1(i=1,2,3)，依題意有111P(Ai),P(A),P(A),且 A1, A2, A3相互獨(dú)立.54.3(I)設(shè)“恰好二人破譯出密碼”為事件 B，則有B = A1 'A2 A3A1A?-A3+4 A2'A3且 A1A2A3,A1 A? -A3,4 A2 A3彼此互斥于是 P(B)= P(A1 A2 A3)+ P (A1A2A3)+P (A1A2A3)112131411A F A A "F 543543543答：恰好二人破譯出密碼的概率為所以 PC= CD = DP

11、 , Sa PCD20(n)設(shè)“密碼被破譯”為事件C, “密碼未被破譯”為事件 D.D = A A2 A3，且A1 , A2 , A3互相獨(dú)立，則有4 3 22P ( D ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )=.5 4353而 P ( C)= 1-P ( D)= _，故 P (C)> P ( D).5答：密碼被破譯的概率比密碼未被破譯的概率大(19) 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運(yùn)算能力滿分12分.解法一：(I)證明：在厶 PAD卡中PA = PD, O為AD中點(diǎn)，所以 P0丄AD.

12、又側(cè)面FAD丄底面 ABCD，平面 PAD門平面 ABCD = AD , P0 平面FAD , 所以P0丄平面 ABCD.(n)連結(jié) BO,在直角梯形 ABCD 中，BC/ AD,AD=2AB=2BC,有0D / BC且0D = BC,所以四邊形 OBCD是平行四邊形，所以 0B / DC.由(I)知 P0丄0B，/ PB0為銳角，所以/ PB0是異面直線PB與CD所成的角.因?yàn)?AD = 2AB = 2BC = 2,在 Rt A0B 中，AB = 1, A0 = 1，所以 0B = . 2 , 在 Rt P0A 中，因?yàn)?AP = , 2 , A0 = 1,所以 0P = 1,在 Rt PB

13、0 中，PB= OP2 OB2 = .3,0B v 2 J6cos/ PBO=,PB V33所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為(in)由(n)得 cd = ob= 2 ,在 Rt POC 中，PC=、0C2 OP2 二 2 ,1又 SA = AD AB =1,2設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離h,由 Vp-ACD=V A-PCD ,ZB 11得SACD OP = PCD h ,33113即 1 x 1X 1 = 1 x 2T x h ,332解得h=晉解法二：(I)同解法一,(n)以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC、OD、OP的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐 標(biāo)系O-xyz.則 A ( 0

14、 , -1, 0), B ( 1 ,D (0 , 1, 0), P(0, 0,-1, 0), C( 1 ,1).0, 0),所以 CD =( -1,1, 0),PB =( t, -1,-1),g PB、CD > =PB CD = -1-1<3PB CD.636所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為 一6 ,3(川)設(shè)平面 PCD的法向量為n =( X0,yo,xo),由(n)知 CP = (-1, 0, 1), CD =( -1,1,0),n CP = 0,所以-X0+ x0=0,n CD = 0,-X0+ y0=0,即 X0=y0=X0,取X0=1,得平面的一個(gè)法向量為n=(1

15、,1,1).又 AC =(1,1,0).AC *n從而點(diǎn)A到平面PCD的距離d =(20)本小題主要考查等差數(shù)列、 運(yùn)算能力滿分12分.解法一：(I)由已知得 an+1 = an+1、即 所以數(shù)列 an是以1為首項(xiàng), 故 an=1+(a-1) x 1=n.2、33=73等比數(shù)列等基本知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查推理與an+1 -an=1，又 a1=1, 公差為1的等差數(shù)列.(n )由(I)知：an= n 從而 bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ + (b2-bl)+bl n-1n-2=2 +2 + +2+1上"=2n-1.1-22n n+2n

16、-12因?yàn)?bn bn+2-b n 1=(2 -1)(2-1)-(2-1)2 n+2 n+2 n2n+2n+1 八=(2 -2 -2 +1)-(2 -2-2 -1)=-5 2n+4 2n=-2nv 0,所以 bn bn+2 V b： 1，解法二：(I)同解法一.(n)因?yàn)?b2=1,2nn+12bn bn+2- b n 1 =(bn+1 -2 )(bn+1 +2)- b n 1=2n+1 bn-1-2n bn+1-2n 2n+1=2n ( bn+1-2n+1) =2n (bn+2n-2n+1)=2n (bn-2n)=* =2n (b1-2) =-2n 0,所以 bn-bn+2<b n+1

17、(21 )本小題主要考察函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，以及分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和 解決問題的能力.滿分12分.解：(1)由函數(shù)f(x)圖象過點(diǎn)(一1, - 6),得葉n=-3,由 f(x)=x3+mx2+ nx-2，得 f'( x) =3x2+2mx+ n, 則 g(x)=fz (x)+6x=3x2+(2m+6)x+ n;而g(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以 2m 6 = 0,所以m=-3,2漢3代入得n=0.于是 f' (x) = 3x2-6x=3x(x-2).由 f' (x)>得

18、 x>2 或 x<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一R,0), (2,+);由 f' (x)<0 得 0<x<2,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0, 2).(n )由(I)得 f' (x)= 3x(x-2),令 f' (x)= 0 得 x=0 或 x= 2.當(dāng)x變化時(shí)，f'(X)、f(x)的變化情況如下表：X(-g .0)0(0,2)2(2,+ g)f' (x)+00+f(x)極大值極小值由此可得：當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)有極大值f(0)=-2,無極小值；當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在(a-1,a+1

19、)內(nèi)無極值；當(dāng)1<a<3時(shí)，f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)有極小值f(2) = - 6,無極大值；當(dāng)a> 3時(shí)，f(x)在(a-1,a+1 )內(nèi)無極值.綜上得：當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)有極大值2，無極小值，當(dāng)1<a<3時(shí)，f(x)有極小值6,無極大 值；當(dāng)a=1或a> 3時(shí)，f(x)無極值.(22)本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、軌跡方程、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力，滿分14分，解法一：(I)由題設(shè) a=2,c=1,從而 b2=a2-c2=3,2 2所以橢圓C前方程為 =1.43(n )(i)由題意得 F(1,0),N(4,0).2 2設(shè) A(m,n),則 B(m,-n)(n工 0), =1.43AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0 , n(x-4)-( m-4) y=0.Ln(xo-1)-(m-1)yo=0, (xo-4)+( m-4)yo=O,設(shè) M(Xo,yo),則有.由，得5m -8xo=, Vo2m 52由于x°423(5m -8)24(2m - 5)2(5m