立體幾何證明方法匯總

1、中位線定理例題：已知如圖：平行四邊形ABCD中，BC 6,正方形ADEF所在平面與平面 ABCD垂直，G, H分別是DF, BE的中點(diǎn).(1 )求證：GH /平面CDE;(2)若CD 2, DB 4J2,求四棱錐F-ABCD的體積.練習(xí)：1、如下圖所示：在直三棱柱 ABC-ABC中，AC=3BC=4 AB=5AA=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。求證：AC/平面CDB;2.如圖，ABCD A1B1cl D1是正四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為 1,底面邊長(zhǎng)為2, E是棱BC的中點(diǎn)。(1)求證：BD1 /平面C1DE ;(2)求三棱錐 D D1BC的體積.3、如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱 PD

2、底面ABCD , PD 4, DC 3, E是PC的中點(diǎn)。(1)證明：PA平面BDE;(2)求 PAD以PA為軸旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體體積。例2、如圖，在矩形ABCD中，AB 2BC , P,Q分別為線段 AB,CD的中點(diǎn)，EP，平面ABCD .求證：AQ / 平面CEP ;（利用平行四邊形）練習(xí)：如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面,E、F分別是 AB、PD的中點(diǎn)。求證： AF /平面PCE ;如圖，已知 P是矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PD 平面ABCD , M, N分別是AB, PC中點(diǎn)。求證:MN /平面 PADC 如圖，已知 AB 平面ACD , DE/AB , ACD是正三角形， A

3、D = DE = 2AB ,且F是CD的中點(diǎn).求證：AF平 面 BCE ;AB、已知正方體ABCD- A1B1C1D1 , 0是底ABCD對(duì)角線的交點(diǎn).求證：C1O 面AB1D1.比例關(guān)系例題3、P是平行四邊形ABCD平面外一點(diǎn),用比例關(guān)系)M、N分別是PB、BC上的點(diǎn)，且BM BN，求證:MN平面PCD(利PM NC練習(xí)：如圖，四邊形ABCD為正方形，EA 平面ABCD ,1 一 一 一. 上，且滿足CM -CA ,求證：EM平面FBC ;4EF/AB , AB = 4,AE = 2, EF =1 . ( n )若點(diǎn) M 在線段 AC面面平行一線面平行例題4、如圖，矩形ABCD和梯形BEFC

4、所在平面互相垂直,證：平面ABE平面CDF(II)求證：AE平面DCF;(利用面面平行-線面平行)BE/CF , BCF= CEF= 90 ,AD= 4r3 ,EF=2。( I )求練習(xí)：1、如圖所示，四棱錐 P ABCD中，底面ABCD為正方形,PD 平面 ABCD, PD AB 2, E, F ,G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn).(1)求證：；PA/ 面 EFG ；(2)求三棱錐P EFG的體積.2、如圖，在直三棱柱ABC ABg 中，ACB900E,F,G分別是AA1, AC,BB1的中點(diǎn)，且CGC1G(I)求證：CG平面BEF;3、如圖所示，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直

5、，AD CD,AB/CD,CD 2AB 2AD .在EC上找一點(diǎn)M，使得BM 平面ADEF，請(qǐng)確定M點(diǎn)的位置，并給出證明.4、(2012山東文)如圖，幾何體 E ABCD是四棱錐， ABD為正三角形， CB CD,EC BD .(I )求證：BE DE ；(n)若/ BCD 120 , M為線段AE的中點(diǎn), 求證：DM /平面BEC.例題：如圖，已知四棱錐P ABCD。若底面ABCD為平行四邊形，E為PC的中點(diǎn)，在DE上取點(diǎn)F ,過(guò)AP和點(diǎn)F的平面與 平面BDE的交線為FG ,求證：AP/FG 。證明：連AC與BD,設(shè)交點(diǎn)為O,連OE練習(xí)：1、如圖，在四錐P ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，

6、且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形, BAD 60 , N是PB中點(diǎn)，過(guò) A、N、D三點(diǎn)的平面交 PC于M ,求證： ADMN;2、（2012浙江高考）如圖，在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A iBiCiDi中，AD / BC , AD ±AB, AB= J2。AD=2 , BC=4,AA i=2, E是DDi的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面 BiCiE與直線 AA i的交點(diǎn)。（1）證明：EF/ AiDi;3.如圖，四邊形 ABCD是矩形，平面 ABCD 平面BCE , BE EC.（1） 求證：平面 AEC 平面ABE;（面面垂直性質(zhì)）BFi（2） 點(diǎn)F在BE上，若DE平面ACF

7、 ,求 的值。（線面平仃的性質(zhì)一）BE2例、如圖，在正方體 ABCD AB1clD1中，E、F、G分別是AB、AD、CR的中點(diǎn).求證：平面DiEF /平面BDG .練習(xí)：如圖所示，在正方體ABCD- ABiCiDi 中，E、F、G H 分別是 BC CC、CiDi、A1A 的中點(diǎn).求證:(1) EG/平面 BBDD; (2)平面 BDF/平面 BDH例題：已知在正方體abcd- A1B1C1D1中，E,F分別是CD和D1Al上的點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體外，平面PEF與正方體相交于AC,求證：EF/平面ABCDEF交AC于M , GC垂菱形的對(duì)角線互相垂直：例題。已知E, F分別是正方形 ABCD邊AD

8、, AB的中點(diǎn), 直于ABCD所在平面。 求證：EFL平面 GMC . BD AC1等腰三角形底邊的中線垂直底邊例1、 如圖，在三棱錐P ABC中，AC BC 2,AP BP AB, PC AC.求證：PC AB;ACB練習(xí)：1、在三棱錐A-BCD中，AB=AC,BD=DC,求證:BC AD練習(xí)：如圖ABCD- A1B1c1D1是底面為正方形的長(zhǎng)方體，求證： （1） BD平面ACC1ABC圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角例題3、如圖AB是圓O的直徑，C是圓周上異于 A、B的任意一點(diǎn)， PA 平面ABC , （ 1）圖中共有多少個(gè)直角三角形？ （2）若AH PC，且AH與PC交于AH,求證：AH 平面

9、PBC.利用勾股定理例4、在長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi中，底面 ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱 AAi 2, E是側(cè)棱BBi的中點(diǎn)。求證：AE 平面A,DE ；證明： ABCD A1B1C1D1為長(zhǎng)方體,練習(xí)：如圖，四棱錐P-ABCD 的底面是邊長(zhǎng)為1PA CD, PA 1, PD J2,求證：（1） PA 平面 ABCD（2）求四棱錐P-ABCD的體積.間接法，用線面垂直的性質(zhì)定理（l b,b lb）例題：如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB 60 ,AB 2AD, PD 底面 ABCD,證明：PA BD ;練習(xí)1:如圖，在直三棱柱 ABC ABG中，AC

10、=3, BC=4,AB=5,AA 4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。（I）求證：AC BG；練習(xí)2：如圖，四邊形 ABCD為矩形，BC 平面ABE, 點(diǎn)，且BF 平面ACE.求證：AE BE ；F為CE上的證明：因?yàn)锽C平面ABE , AE 平面ABE ,EAiC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BiCi上，AiDBiC0C例1如圖，AB是。的直徑，PA垂直。O所在的平面，C是圓上不同于A,B的任意一點(diǎn)，求證：平面PACL平面PBC練習(xí)1：如圖，棱柱 ABC AB1cl的側(cè)面BCC1B1是菱形，BC A1B2、如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，E、F分別是AiB、 求證：（1） EF/平面 ABC （2）平面 A1F

11、D 平面 BB1C1C .3、如圖， ABCD正方形，S平面ABCD BKSC于K,連結(jié)DR 求證（1）平面SBCL平面KBD例1:如圖，在四棱錐 P-ABCD中，側(cè)面 PAD,底面 ABCD ,側(cè)棱PA=PD,。為AD中點(diǎn).，求證：POL平面 ABCD ;例2：如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是 DAB 600且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面 PAD是等邊三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD .(1)若G為AD的中點(diǎn)，求證：BG 平面PAD ;(2)求證：AD PB;練習(xí)：1、如圖AB是圓。的直徑，C是圓周上異于 A、B的任意一點(diǎn)， PA 平面ABC, (1)圖中共有多少個(gè)直角三角形？

12、 ( 2)若AHPC，且AH與PC交于H ,求證：平面 PAC 平面PBC.(3) AH平面PBC2、在四棱錐P ABCD中，平面PAD，平面ABCD , AB=AD , / BAD=60 ° , E、F 分別是 AP、AD 的中點(diǎn).求證：平面 BEF1平面 PAD3、如圖，正方形 ABC所在平面與以 AB為直徑的半圓 O所在平面 ABEE相垂直,點(diǎn)，求證：O 直線 AP1平面 PBG 平面 PBCL平面 APC24、如圖，二角形 ABC中，AC=BC=AB , ABED是 2ABED，底面 ABC,且，若 G、F分別是EC、BD的中ABC ;邊長(zhǎng)為a的正方形，平面(I )求證：GF

13、/底面(H)求幾何體ADEBC的體積V。5、如圖，A B, C, D為空間四點(diǎn).在 ABC中,AB 2, AC BC 板.等邊三角形 ADB以AB為軸運(yùn)動(dòng).(I)當(dāng)平面 ADB 平面ABC時(shí)，求CD ;五、體積問(wèn)題1.如圖，ABCD A1B1C1D1是正四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為1,底面邊長(zhǎng)為2, E是棱BC的中點(diǎn)(1)求證：BDi / 平面 Ci DE ;(2)求三棱錐D D1BC的體積.練習(xí)1：三棱錐P ABC中，PAC和PBC都是邊長(zhǎng)為行的等邊三角形，AB 2,0、D分別是AR PB的中點(diǎn).(1)求證：0D/平面PAC (2)求證：平面 PAB，平面ABC;(3)求三棱錐A PBC的體積.2、如圖，

14、長(zhǎng)方體ABCD AiBiCiDi中，AB AA11, AD 2,E是BC的中點(diǎn).（I）求證：平面AiAE 平面DiDE ; （II）求三棱錐A ADE的體積.AiDi.已知D是這個(gè)3、如圖，在四棱錐P-ABCDt, PD垂直于底面ABCD ,底面ABCM直角卞$形，DC/AB, BAD 90o,且 AB 2AD 2DC 2PD 4 （單位：cm）, E為PA的中點(diǎn)。（1）如圖，若主視方向與AD平行，請(qǐng) 作出該幾何體的左視圖并求出左視圖面積;（2 ）證明：DE /平面PBC ;4、已知某幾何體的直觀圖（圖i）與它的三視圖（圖2）,其中俯視圖為正三角形，其它兩個(gè)視圖是矩形幾何體的棱AG上的中點(diǎn)。（

15、I）求出該幾何體的體積；（3<3 ）（n ）求證：直線 BCi / /平面ABi D ；（出）求證：平面ABD 平面AAi D .5、已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖（主視圖的弧線是半圓），根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù),（I）求這個(gè)組合體的體積；（n）若組合體的底部幾何體記為ABCD A1 B1C1D1 ,其中A1B1BA為正方形.（i）求證：A1B 平面AB1cl D； （ii）求證：P為棱AB1上一點(diǎn)，求AP PC1的最小值.A*D六：等體積法求高（距離）：h如：三棱錐 V f bec = Vb efcF BEC iB EFC 11 u 1-S BEC 1 h = 3 S EFC1 BE例題（201

16、0廣東文數(shù)）如圖，弧 AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑， 點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，平面AEC外一點(diǎn)F滿足FC 平面BED,FB=J5a（1）證明：EB FD（2）求點(diǎn)B到平面FED的距離.練習(xí)1:已知ABC-A1B1cl是正三棱柱，長(zhǎng)均為 J5, E、F分別是AG A1G的中點(diǎn),(1)求證：平面 AB1F/平面BEC(2)求點(diǎn)A到平面BEC1間的距離2、如圖，在四棱錐 P ABCD中,PD 平面ABCD；四邊形ABCD是菱形,作與PD平行的平面交 PB與點(diǎn)E, ABCD的兩對(duì)角線交點(diǎn)為 F . (I)求證:點(diǎn)D到平面PBC的距離.3、如圖4,在四棱錐 P ABCD

17、中，平面PAD 平面ABCD, AB/ DC , PAD是等邊三角形，已知 BD 2AD 4 , AB 2DC 2J5 .(1)求證：BD 平面PAD ;(2)求三棱錐A PCD的體積.4.如圖，己知 BCD中,BCD 900, BC CD 1,AB 平面 BCD ,邊長(zhǎng)為2, BCD 60 ,經(jīng)過(guò)ACAC DE ; ( )若 EF V3 ,求BADB 600,E,F分別是AC,AD上的動(dòng)點(diǎn)，且生二"二,(0< <1)AC AD(1)求證：不論為何值，總有EF 平面ABC;1(2)若 二，求三棱錐A-BEF的體積.25、(2012廣東文數(shù))如圖5所示，在四棱錐 P ABCD中，AB 平面PAD , AB/CD,PD AD, E是PB中點(diǎn),1F是DC上的點(diǎn)，且 DF AB, PH為 PAD中AD邊上的高。2(1)證明：PH 平面ABCD;(2)若PH 1,AD 2,FC 1,求三棱錐E BCF的體積;(3)證明：EF 平面PAB.6、(2012佛山一模)如圖，三棱錐BCA 90°, PB BC CAM為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PA上 (1)求證：BE 平面PAC ;(2)求證：CM /平面BEF ；(3)求三棱錐F ABE的體積.P ABC中，PB 底面 ABC,4, E為PC的中點(diǎn)，且 AF 2FP.7、