平面內(nèi)到兩定點的距離關(guān)系恒定的動點軌跡問題

1、平面內(nèi)到兩定點的距離關(guān)系恒定的動點軌跡問題四川省高中數(shù)學(xué)骨干教師省級培訓(xùn)班四班學(xué)員四川省眉山車城中學(xué)蔣國軍人教版平面解析幾何課本中研究的平面內(nèi)到兩定點的距離關(guān)系恒定的動點軌跡有三類：1、 到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a (2a>0)(1) 、當(dāng) 2aF1 F2 時，動點軌跡是橢圓；（2）、當(dāng) 2aF1 F2時，動點軌跡是線段F1F2 ；（3）、當(dāng) 2aF1F2 時，動點軌跡不存在。2、 到兩定點F1、F2的距離之差等于常數(shù)2a (2a>0)（1）、當(dāng) 2aF1F2時，動點軌跡是雙曲線；（2）、當(dāng) 2aF1 F2時，動點軌跡是以 F1、 F2 為端點的兩條射線；（3）、當(dāng)

2、2aF1 F2時，動點軌跡不存在。3、 到兩定點F1、F2的距離之比（商）等于常數(shù)m (m>0)(1) 、當(dāng) m=1時，動點軌跡是線段 F1 F2 的垂直平分線；（ 2）、當(dāng) m 1 時，動點軌跡是圓。 （這也可稱之為圓的第二定義）那么平面內(nèi)到兩定點F1、 F2 的距離之積等于常數(shù)m (m>0) 的動點軌跡是什么呢？以 F1F2所在直線為x 軸，以線段 F1 F2 的垂直平分線為y 軸建立平面直角坐標(biāo)系；設(shè)F1 F2 2c, c 0 ，則 F1c,0 , F2 c,0，又設(shè)動點 M的坐標(biāo)為 x, yMF1MF2,2y2x c22mmx cy兩邊平方，化簡得：x 4y42x 2 y

3、22c2 x22c 2 y 2c 4m20（1）由對稱性知識可得，方程所表示的曲線關(guān)于x 軸、 y 軸成軸對稱，且關(guān)于原點成中心對稱；（ 2）令 x=0, 得：y42 2y2c4m20,cy2c 2m y 2c2m0則：y 2mc 2或y2c 2m （ <0, 舍去）當(dāng) mc 2 時，方程所表示的曲線與y 軸交于兩點 (0,m c2 ) ；當(dāng) mc2 時，方程所表示的曲線與y 軸交于一點（ 0， 0）；當(dāng) mc2 時，方程所表示的曲線與y 軸沒有交點。（3）令 y=0，得： x 42c 2 x 2c 4m 20x 2c 2m x 2c 2m0則：x 2c2m或 x 2c 2m當(dāng) mc 2

4、 時，方程所表示的曲線與x 軸交于兩點(c 2m,0) ；當(dāng) mc2 時，方程所表示的曲線與x 軸交于三點（ 0，0）， (c2m,0) ；當(dāng) mc2 時，方程所表示的曲線與x 軸交于四點(c2m,0)， (c 2m,0) 。由以上（ 1）、（ 2）、（ 3）綜合分析可得：Y當(dāng) mc 2 時，方程所表示的圖形為XY當(dāng) mc 2 時，方程所表示的圖形為XY當(dāng) mc 2 時，方程所表示的圖形為X利用幾何畫板軟件作為平臺容易作出上述曲線，曲線的形狀別致、有趣，不妨可以命名為“幻形線” ， F1、 F2 也可稱為“幻形線”的焦點。這樣，平面內(nèi)到兩定點的距離之和、之差、之比（商）、之積為正常數(shù)的動點軌跡問題就得到系統(tǒng)、圓滿的解決，特別是最后一個軌跡，雖然是一個四次曲線，但仍可運用研究圓錐曲線的方法及知識加以妥善解決， 并可用課件加以直觀驗證， 在課外引導(dǎo)學(xué)生去探究， 不僅可以解決學(xué)生在學(xué)完“平面