2024年陜西省高中學(xué)業(yè)水平合格考數(shù)學(xué)試卷試題（含答案）

第頁(yè)2024年陜西省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試模擬一數(shù)學(xué)一、單選題：本大題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)x∈R，則“|x－1|<1”是“0<x<5”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．人的心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減少．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值．若某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)=102+24sin(160πt)，其中p(t)為血壓(單位：mmHg)，t為時(shí)間(單位：min)，則下列說(shuō)法正確的是()A．收縮壓和舒張壓均高于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值B．收縮壓和舒張壓均低于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值C．收縮壓高于標(biāo)準(zhǔn)值，舒張壓低于標(biāo)準(zhǔn)值D．收縮壓低于標(biāo)準(zhǔn)值，舒張壓高于標(biāo)準(zhǔn)值3．直線eq\r(3)x＋3y－2＝0的傾斜角是()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)4．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S4＝0，a5＝5，則()A．a(chǎn)n＝2n－5B．a(chǎn)n＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝eq\f(1,2)n2－2n5．已知不重合的兩條直線m，n和兩個(gè)不重合的平面α，β，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．若m∥n，m∥α且α∥β，則n∥βB．若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則mC．若m⊥n，m⊥α且n∥β，則α∥βD．若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m6．已知函數(shù)fx=x2?mx?2m2．若不等式fxA．2B．-2C．3D．-37．已知a>b>0，給出下列命題：①若a?b=1，則a?b<1；②若a3?b3=1，則a?b<1；③若ea?A．1 B．2 C．3 D．48．已知函數(shù)f(x)=sinA．fx的最小正周期為πB．fx的0,C．fx的最小值為 D．圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=π二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得4分，部分選對(duì)得1分，有選錯(cuò)的得0分。）9．已知向量，則（

）A．，則 B．C．與的夾角正弦值為 D．向量在向量上的投影向量為10．下列結(jié)論中，正確的有（

）A． B．C． D．11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，若以O(shè)為球心，為半徑的球面與正方體的棱有四個(gè)交點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．與EH所成的角的大小為45°C．平面D．平面與平面OEF所成角夾角的余弦值為12．設(shè)函數(shù)f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者,下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)f(x)為偶函數(shù) B.當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),有f(x-2)≤f(x)C.當(dāng)x∈R時(shí),f(f(x))≤f(x) D.當(dāng)x∈[-4,4]時(shí),f(三、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分。溫馨提示：請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答，在本試卷上作答無(wú)效。）13．口袋內(nèi)裝有100個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，其中有45個(gè)紅球；從中摸出1個(gè)球，若摸出白球的概率為0.23，則摸出黑球的概率為．14．已知x>0，y>0，x+2y=6，則2x+115．已知向量a=λ,?1,b16．已知點(diǎn)O0,0,OA=?1,1,OB=3,3四、解答題(本大題共3小題,共36分)17．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+cos2x-sin2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)當(dāng)x∈[0,π218．(本小題滿分12分)如圖,在三棱錐PABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn),已知PA⊥AC,AB⊥BC,且PA=6,AB=BC=8,DF=5.(1)求證:平面DEF⊥平面ABC;(2)求直線PB與平面PAC所成角的正弦值.19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ax-q·a-x(a>0,且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且f(1)=32(1)求q的值,并判斷和證明f(x)的單調(diào)性;(2)是否存在實(shí)數(shù)m(m>2且m≠3),使函數(shù)g(x)=log(m-2)[a2x+a-2x-mf(x)+1]在[1,2]上的最大值為0?如果存在,求出實(shí)數(shù)m所有的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)是否存在正數(shù)k(k≠1),使函數(shù)(x)=ka2x+【參考答案】1．D解析：由|x－1|<1可得0<x<2，由0<x<2能推出0<x<5，由0<x<5推不出0<x<2，故“|x－1|<1”是“0<x<5”的充分而不必要條件．或由(0，2)(0，5)得出結(jié)論．故選A．2．C解析：收縮壓=p(t)max=102+24=126；舒張壓=p(t)min=102-24=78．故選C．3．D解析：直線的斜率為k＝－eq\f(\r(3),3)，設(shè)傾斜角為α，則tanα＝－eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，所以α＝eq\f(5π,6)．故選D．4．A解析：設(shè)公差為d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝0，,a1＋4d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2.))故an＝2n－5，Sn＝eq\f(（2n－5－3）·n,2)＝n2－4n．故選A．5．B解析：對(duì)于A，當(dāng)m∥n，m∥α且α∥β，則n可能在β內(nèi)，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，因?yàn)閙⊥α，故在m上可取m作為α的法向量，同理在n上可取n作為β的法向量，因?yàn)棣痢挺?，故m?n=0，即得m⊥n，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)m⊥n，m⊥α且n∥β時(shí)，α,β可能相交，也可能平行，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，當(dāng)m∥α，n⊥β且α⊥β時(shí)，m,nB．6．C解析：fx<x+k，即根據(jù)題意：?2+6=m+1?2×6=?2m2?k，解得D．7．B解析：①若a?b=1，則，，則，即①錯(cuò)誤；若a3?b3=1，則，即，因?yàn)閍>b>0，所以a即，即a?b<1，所以②正確；若ea?eb=1，則，因?yàn)閎>0，即，所以a?b<1，即③正確；④取a=e，b=1，滿足，但a?b>1，所以④錯(cuò)誤；所以真命題有②③B．8．D解析：∵f(x)=sinx+cosx對(duì)B，由x∈[0,π2]，得x+π4∈[π4,3π4]，則f(x)在[0,π2]上先增后減，故BD．9．ACD【分析】求出即可判斷A；根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示即可判斷B；求出兩向量夾角的余弦值，從而可判斷C，根據(jù)投影向量的計(jì)算公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以與不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，所以與的夾角正弦值為，故C正確；對(duì)于D，向量在向量上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.10．AD【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：AD.11．ABD【分析】首先根據(jù)球的性質(zhì)、勾股定理說(shuō)明E，F(xiàn)，G，H分別是正方體棱的中點(diǎn)，再根據(jù)線面平行的判定定理、異面直線所成角的求法、線面垂直的性質(zhì)以及二面角的定義、等腰三角形進(jìn)行判斷.【詳解】在正方體中，平面，又平面，所以，在中，，又正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，所以，又，設(shè)，所以，即H是正方體棱的中點(diǎn)，同理可證，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點(diǎn).對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)镚，H分別是棱、的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以與EH所成的角即為，因?yàn)镋，H分別是棱、的中點(diǎn)，大小為45°，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)镋，H分別是棱、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)镚，H分別是棱、的中點(diǎn)，所以面，所以，又，所以平面，又，所以不垂直于平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取EF、GH的中點(diǎn)I、Q，連接OI、QI、QO，因?yàn)镺F=OE，所以，同理可證，所以即為平面與平面OEF所成角的平面角，根據(jù)勾股定理有：，，，所以在等腰中有：.所以平面與平面OEF所成角夾角的余弦值為，故D正確.故選：ABD.12．ABC由題設(shè),f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|}=|所以其函數(shù)圖象如圖所示.由圖知,f(x)為偶函數(shù),A正確;當(dāng)x=1時(shí),f(-1)=f(1);當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f(x-2)<f(x);當(dāng)x=2時(shí),f(0)=f(2);當(dāng)x∈(2,3)時(shí),f(x-2)<f(x);當(dāng)x=3時(shí),f(1)=f(3);當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),f(x-2)<f(x),故B正確;當(dāng)x∈{0,1,2,3}時(shí),f(f(x))=f(x);當(dāng)x∈(0,1)時(shí),0<f(x)<x<1,易知f(f(x))=f2(x)<f(x);當(dāng)x∈(1,2)時(shí),0<f(x)<1<x<2,當(dāng)x∈(2,3)時(shí),0<f(x)<1<2<x<3,均有0<|x-2|<1,則f(f(x))=(x-2)2<f(x)=|x-2|;當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),1<f(x)<x,則f(f(x))=||x-2|-2|<f(x)=|x-2|;所以f(f(x))≤f(x)在x∈[0,+∞)上恒成立,根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性,在(-∞,0)上f(f(x))≤f(x)也成立,故C正確;在x∈[-4,4]上,當(dāng)x=4時(shí),|f(4)-2|=|2-2|=0<f(4)=2,故不成立,故D錯(cuò)誤.13．0．32【詳解】試題分析：因?yàn)槊霭浊虻母怕适?．23，所以由古典概型概率公式，知白球的個(gè)數(shù)為100×0．23=23，所以黑球的個(gè)數(shù)為100?23?45=32，所以摸出黑球的概率為32100考點(diǎn)：古典概型．14．4【解析】由x+2y=6，得x6+y【詳解】解：由x+2y=6，得x6所以2==23+2y3x所以2x+1故答案為：415．2【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示即可得解．【詳解】因?yàn)閍=所以2λ?1×4=0，解得λ=2．故答案為：2．16．1,2【分析】根據(jù)題意，得到OP=【詳解】由題意知，點(diǎn)O0,0，且OA因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)，可得OP=所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,2．故答案為：1,2．17．解:(1)f(x)=4cosxsin(x+π6)-1=4cosx(32sinx+23sinxcosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6所以f(x)的最小正周期T=π.由題意2x+π6=kπ,k∈Z,解得x=kπ2-π12,k∈Z,所以f(x)對(duì)稱中心為((2)因?yàn)?π6≤x≤π4,所以-π3≤2x≤π2,所以-π6所以當(dāng)2x+π6=-π即x=-π6時(shí),f(x)min=-1;當(dāng)2x+π6=π2,即x=π18．(1)證明:取AB1的中點(diǎn)K,連接A1B,因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1為長(zhǎng)方形,所以K為A1B的中點(diǎn),因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),連接KD,所以KD∥A1C,又因?yàn)镵D?平面AB1D,A1C?平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D.(2)解:在直三棱柱中,CC1⊥平面ABC,因?yàn)锳D?平面ABC,所以CC1⊥AD,又因?yàn)镃E⊥AD,CC1∩CE=C,所以AD⊥平面CC1E,所以DE⊥平面CC1E,即DC1與平面CC1E所成的角為∠DC1E,則sin∠DC1E=DEC1D,因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以CD=12BC=2,CC所以C1D2=CD2+CC12=22+(23)2=16,則C1D=4,因?yàn)锳C2+BC2=AB∠ACB=90°,在Rt△ACD中,AD2=CD2+AC2=22+32=13,所以AD=13,cos∠CDA=DCAD=213,DE=DCcos∠CDA=2×213則sin∠DC1E=4134=19．(1)解:因?yàn)閷?duì)任意的x>0,y>0,均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1),令x=y=1,則f(1+1)+f(1+1)=f(1+1),所以f(2)=0.(2)證明:?x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,則f(x1)+f(x2-1x1-1+1)=f(x1-1+1)+f(x又x2因?yàn)閷?duì)任意的x>2均有f(x)>0,所以f(x2所以f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.(3)解:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)且在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增,令x=y=2,可得f(5)=2f(3)=2,令x=2,y=4,可得f(9)=f(3)+f(5)=3,又f(8+1)+f(18+1)=f(8×1所以f(98因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-98所以由f(cos2θ+asinθ)<3,可得cos2θ+asinθ<-98或1<cos2假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使得cos2θ+asinθ<-98或1<cos2令t=sinθ,則t∈(0,1],則對(duì)于cos2θ