2.61雙曲線性質

1、2.61 雙曲線的性質【學習目標】1.理解雙曲線的對稱性、范圍、定點、離心率、漸近線等簡單性質.2.能利用雙曲線的簡單性質求雙曲線的方程.3.能用雙曲線的簡單性質分析解決一些簡單的問題.【要點梳理】要點一、雙曲線的簡單幾何性質雙曲線 x2y21（ a 0， b 0）的簡單幾何性質a2b2范圍雙曲線的焦點總在實軸上。實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。離心率雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e 表示，記作 e2cc2a。ca因為 c a0，所以雙曲線的離心率e1。a由 c2=a2+b2，可得 bc2a2( c) 21 e21 ，所以 b 決定雙曲線的開口大小，b 越大， e 也越a

2、a2aaa大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。等軸雙曲線 a b ，所以離心率 e2。漸近線經過點 A 2、 A 1 作 y 軸的平行線 x=±a，經過點 B 1、B 2 作 x 軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個矩形（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是yb x 。ax21即 x2a2a2xa或 xa雙曲線上所有的點都在兩條平行直線 x=-a 和 x=a 的兩側， 是無限延伸的。 因此雙曲線上點的橫坐標滿足x-a 或 xa.對稱性對于雙曲線標準方程x2y21（ a 0， b 0），把 x 換成 -x，或把 y 換成 -y，或把 x、

3、y 同時換成 -x、 -y，a2b2方程都不變，所以雙曲線x2y21（ a 0， b 0）是以 x 軸、 y 軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對a2b2稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心。頂點雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點。雙曲線 x2y21（ a 0，b 0）與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為a2b2A1（ -a， 0）， A 2（ a， 0），頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點。兩個頂點間的線段 A1A 2叫作雙曲線的實軸；設B（ 0， -b）， B（ 0， b）為 y 軸上的兩個點，則線段 B1B 212叫做雙曲線的虛軸。實軸和虛軸的長度分

4、別為|A 1A 2|=2a，|B1B2|=2b。 a 叫做雙曲線的實半軸長，b 叫做雙曲線的虛半軸長。雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。1 / 8我們把直線 yb x 叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。a|MN |bx2a2b xaabx2a2xaab0xx2a2要點二、雙曲線兩個標準方程幾何性質的比較標準方程x2y2y2x21 (a 0,b 0)a2b21 ( a 0, b 0)2b2a圖形焦點F1(c,0) ， F2 (c,0)F1 (0,c) ， F2 (0,c)焦距| F1F2 | 2c (ca2b2 )| F1F2 |

5、 2c (ca2b2 )范圍 x xa或 xa ， y R y y a或ya ， x R對稱關于 x 軸、 y 軸和原點對稱性性質頂點( a,0)(0,a)軸實軸長 = 2a ，虛軸長 = 2b離心ec (e1)率a漸近ybya xx線方程ab要點詮釋： 雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、 y2 的系數，如果 x2 項的系數是正的，那么焦點在x 軸上；如果 y2 項的系數是正的，那么焦點在y 軸上。對于雙曲線， a 不一定大于 b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上。要點三、雙曲線的漸近線（ 1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙

6、曲線方程為x 2y 21，則其漸近線方程為x 2y 20x y0yba 2b 2a 2b 2a bxa已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數 ”換成 “0，”然后因式分解即得漸近線方程。（ 2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為mxny0 ，則可設雙曲線方程為m2 x2n2 y2，根據已知條件，求出即可。（ 3）與雙曲線 x 2y 21有公共漸近線的雙曲線a 2b 2與雙曲線 x2y21有公共漸近線的雙曲線方程可設為x2y2(0) （0，焦點在 x 軸上，a2b2a2b20 ，焦點在 y 軸上）（ 4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為yx ，因此等軸雙曲線可設

7、為x2y2(0) .要點四、雙曲線中a,b,c 的幾何意義及有關線段的幾何特征：雙曲線標準方程中，a、 b、 c 三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：c b 0 ， c a 0，且222c =b +a 。x2y21 (a 0, b 0) ，如圖：雙曲線b2a2（ 1）實軸長| 2a,| F1 F2 | 2c| A1A2，虛軸長2b，焦距（ 2）離心率： e|PF1| PF2| A1F1 | A2 F2 | c1b2e1；| PM 1 | | PM 2 | | A1 K1 | | A2 K2 |

8、 aa2（ 3）頂點到焦點的距離：A1 F1A2 F2ca ， A1F2A2 F1ac ；（ 4） PF1 F2 中結合定義PF1PF 22a 與余弦定理，將有關線段PF1、 PF2 、 F1F2和角結合起來 .（ 5）與焦點三角形PF1F2 有關的計算問題時，常考慮到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式S PF1F21PF1 PF2 sinF1 PF 相結合的方法進行計算與解題，將有關線段PF1 、 PF2、2F1 F2 ，有關角F1 PF2 結合起來，建立PF1 PF2 、 PF1 PF2 之間的關系 .【典型例題】類型一：雙曲線的簡單幾何性質例 1 求雙曲線 16x29

9、 y2144 的實軸長和虛軸長、頂點坐標、焦點坐標、漸近線方程與離心率.【解析】 把方程化為標準方程y2x2a 3 ，虛半軸長 b4 ， ca2b2591，由此可知實半軸長162 / 8雙曲線的實軸長 2a 6 ，虛軸長 2b8 ，頂點坐標 (0, 3) , (0,3) ，焦點坐標 (0, 5) ,(0,5) ，離心率 ec5 ，漸近線方程為y3xa34【總結升華】在幾何性質的討論中要注意a 和 2a，b 和 2b 的區(qū)別，另外也要注意焦點所在軸的不同，幾何量也有不同的表示 .舉一反三：【變式 1】雙曲線 mx2 y2 1 的虛軸長是實軸長的2 倍，則 m 等于 ()1B 4C4D.1A 44

10、【答案】 A【變式 2】已知雙曲線8kx 2 ky 2=2 的一個焦點為 (0,3) ，則 k 的值等于（）2A 2B 1C 1D 32【答案】 C類型二：雙曲線的漸近線例 2.已知雙曲線方程，求漸近線方程。（ 1） x2y21 ；（ 2） x2y2-1916916【解析】（ 1）雙曲線 x2y21的漸近線方程為：x2y20916916即 y4 x3（ 2）雙曲線 x2y2-1 的漸近線方程為：x2y 20916916即 y4 x3【總結升華】雙曲線x2y21( a0, b0) 的漸近線方程為yb x ，雙曲線 y2x21 的漸近線方a2b2aa2b2程為 xbax ；若雙曲線的方程為x2y2

11、（ m、 n0，0 ，焦點在 x 軸上，0 ，y ，即 ybm2n2a焦點在 y 軸上），則其漸近線方程為x2y20xy0yn x .m2n2mnm舉一反三：【變式 1】求下列雙曲線方程的漸近線方程（ 1） x2y21；（ 2） x22 y28 ；（ 3） y22x2721636【答案】（ 1） y3x ；（2） y2x ；（ 3） y2x22【變式 2】 (2015北京 )已知雙曲線 x2y21(a0)的一條漸近線為3xy0 ，則 a _a2【答案】33【解析】 漸進線為3xy 0，有b3 ，由雙曲線的方程x2y21得 b=1 ，且 a 0所以aa2a33【變式】（ 2016北京文）已知雙曲

12、線x2y21 （ a 0， b 0）的一條漸近線為2x+y=0，一個焦 點a2b2為（5 ,0），則 a=_ ； b=_.c5，結合 c2=a2+b2，解得 a=1， b=2?！敬鸢浮恳李}意有b2a例 3. 根據下列條件，求雙曲線方程。22（ 1) 與雙曲線xy1有共同的漸近線，且過點( 3,23) ；916（ 2）一漸近線方程為3x2 y0 ，且雙曲線過點M (8,6 3)【解析】（ 1）解法一：當焦點在x 軸上時，設雙曲線的方程為x2y21a2b2b4由題意，得a3(23)，解得 a29， b24(3)224a2b21所以雙曲線的方程為4 x2y29143 / 8當焦點在y 軸上時，設雙曲

13、線的方程為y2x21a2b2a4由題意，得b3(3)2，解得 a24 ， b29（舍去）(23) 24a2b21綜上所得，雙曲線的方程為4x2y2914【答案】 D【變式 2】過點 (2， -2) 且與雙曲線x2y21 有公共漸近線的雙曲線是 ()2y 2x 2B.x2y 21A.14224y 2x 2D.x2y 21C.12442【答案】 Ax2y2解法二： 設所求雙曲線方程為9161將點 ( 3,2 3) 代入得，4（ 0 ），【變式 3】設雙曲線x2y21(a 0) 的漸近線方程為 3x 2 y0 ，則 a 的值為a29A 4B 3C 2D 1【答案】 C所以雙曲線方程為x2y21916

14、44x2y2即194【變式 4】雙曲線 x2y21 與 x2y2(0) 有相同的（）a2b2a2b2（ 2）依題意知雙曲線兩漸近線的方程是xy230 .A 實軸B 焦點C漸近線D 以上都不對故設雙曲線方程為x2y 24，9點 M (8,6 3) 在雙曲線上， 82(6 3)2，解得4 ，49所求雙曲線方程為x2y21 .1636【總結升華】求雙曲線的方程，關鍵是求a 、 b ，在解題過程中應熟悉各元素（a 、 b 、 c 、 e 及準線）之間 的 關 系 ， 并 注 意 方 程 思 想 的 應 用 。 若 已 知 雙 曲 線 的 漸 近 線 方 程 ax by0，可設雙曲線方程為a2 x2b2

15、 y2（0 ） .舉一反三：【變式 1】中心在原點，一個焦點在(0,3)，一條漸近線為 y2 x 的雙曲線方程是（）3A.5x25 y21B.5x25y 2136543654C.13x213 y21D.13x213y2813681361【答案】 C類型三：求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍例 4. 已知 F1 , F2 是雙曲線x2y21(ab0) 的左、右焦點 ,過 F1 且垂直于 x 軸的直線與雙曲線的左支a22b交于 A、B 兩點,若ABF2 是正三角形 ,求雙曲線的離心率?！窘馕觥?| F1F2 | 2c ，ABF2 是正三角形，|AF |2c tan3023 c ， | AF2|2c

16、 tan 302c4 3 c13cos303432323|AF2| |AF1|cc3c 2a ，33c3 ea【總結升華】雙曲線的離心率是雙曲線幾何性質的一個重要參數，求雙曲線離心率的關鍵是由條件尋求a、c 滿足的關系式，從而求出eca舉一反三：【變式 1】x2y21(a 0, b 0) 的離心率 e2 3(1) 已知雙曲線b2，a234 / 8過點 A(0,-b) 和 B(a,0) 的直線與原點間的距離為3 ，求雙曲線的方程 .2x2y2(2) 求過點 (-1,3) ，且和雙曲線1 有共同漸近線的雙曲線方程 .【答案】（ 1） x249y 213（ 2） 4 y2x21273【變式 2】(2

17、015x2y21 (a 0,b 0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交山東文 )過雙曲線 C：a2a2C于點 P. 若點 P 的橫坐標為 2a, 則 C的離心率為.【答案】 23【解析】 雙曲線 x2y21的右焦點為（ c，0）.不妨設所作直線與雙曲線的漸近線yb x 平行，其方程a2a2a為 yb ( xc) ，代入 x2y21求得點 P 的橫坐標為 xa2c2，由 a2c22a ，得 ( c) 24 c10 ，aa2a22c2caa解之得 c23, c23（舍去，因為離心率c1），故雙曲線的離心率為23 .aaaax2 bx c0 無實根，則【變式 3】已知 a、b、 c 分別為雙曲線

18、的實半軸長、虛半軸長、半焦距，且方程雙曲線離心率的取值范圍是()A 1<e<5 2B 1<e<2C 1<e<3D 1< e<2 5【答案】 D類型五：雙曲線的焦點三角形例 5已知雙曲線實軸長6，過左焦點 F 的弦交左半支于A、B 兩點，且| AB |8 ，設右焦點 F ，求ABF122的周長 .【解析】由雙曲線的定義有: | AF2| |AF1|6， | BF2|BF1 | 6，(|AF2| BF2 |)(| AF1 | BF1 |)12 .即(|AF2| BF2 |)| AB| 12| AF2 |BF2 |12 |AB|20 .故ABF2的周長

19、L|AF2|BF2| AB|28.【總結升華】雙曲線的焦點三角形中涉及了雙曲線的特征幾何量，在雙曲線的焦點三角形中，經常運用正弦定理、余弦定理、雙曲線定義來解題，解題過程中，常對定義式兩邊平方探求關系5 / 8舉一反三：【變式1】已知雙曲線的方程x2y21 ，點 A 、B 在雙曲線的右支上，且線段AB 經過雙曲線的右焦點a2b2F2， |AB|=m ， F1 為另一焦點，則ABF 1 的周長為（）A 2a+2mB 4a+2mC a+mD 2a+4m【答案】 B【變式2】已知 F1、 F2 是雙曲線x2y2的兩個焦點，P 在雙曲線上且滿足| PF1 | | PF2 | 32，則9116F1 PF

20、2_【答案】 90【鞏固練習】一、 選擇題x2y21 的離心率 e5F2（ 5， 0），則雙曲線C 的方1 (2015 廣東 )已知雙曲線 C :2b2，且其右焦點為a4程為（）x2y2B x2y21x2y21x2y21A 1916C9D4431632設 F 、 F 分別為雙曲線x2y21(a 0, b0) 的左右焦點，雙曲線上存在一點P 使得 |PF |+|PF |=3b,12a2b212|PF | · |PF |=9ab ，則該雙曲線的離心率為（）124A. 4B.5C.9D.33343. 雙曲線與橢圓x2y21有相同的焦點 , 它的一條漸近線方程為yx , 則雙曲線的離心率為

21、()1664A. x2y296B.y2x2160C.x2y280D.y2x2244過雙曲線x 2y 2=1 的右焦點 F2 作垂直于實軸的弦PQ， F1 是左焦點，若PF1Q=90 ，則雙曲線的離22ab心率是（）A.2B.1+2C.2+2D. 325.x2y21( a>0， b>0) 的焦點到漸近線的距離是其頂點到漸近線距離的3 倍，則雙曲線的已知雙曲線2b2a漸近線方程為 ()A y ± 2 xB y ±2 2 x2D y ±3xC y ±x46 （ 2016天津文）已知雙曲線x2y21(a0,b0) 的焦距為 2 5，且雙曲線的一條漸近

22、線與直線a2b22xy 0垂直，則雙曲線的方程為（）A x2y21B x2y21443x23y21D3x23y21C552020二、填空題7已知雙曲線x2y21 (a 0 ， b 0) 的實軸長為 2，離心率為2，則雙曲線 C 的焦點坐標是C：b2a2_8橢圓 x2y21 與雙曲線 x2y21焦點相同，則 a _.4a2a29（ 2015 春黑龍江期末改編）與雙曲線x2y 21有共同的漸近線，且過點（2,2）的雙曲線方程為410（ 2016浙江文）設雙曲線x2 y21的左、右焦點分別為 F1，F2若點 P 在雙曲線上，且 F1PF 23為銳角三角形，則|PF1|+|PF 2|的取值范圍是 _三

23、、解答題11.設 F1，F2分別為雙曲線x2y21(a 0， b 0)的左、右焦點若在雙曲線右支上存在點P，滿足a2b2PF2F1F2 ，且 F 2 到直線 PF1 的距離等于雙曲線的實軸長，求該雙曲線的漸近線方程12設雙曲線x 2y 2c，直線 l 過 (a,0)， (0,b) 兩點 . 已知原點到直線l 的距離為a2b2 =1 （ 0<a<b）的半焦距為3c，求雙曲線的離心率 .413已知雙曲線 x2y21 (a>0， b>0)過點 A(14,5) ，且點 A 到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為4.a2b23求此雙曲線方程14已知雙曲線 x2y21的兩個焦點分別為F1

24、、F2 ，點 P 在雙曲線上且滿足F1PF2 90，求 F1PF24的面積 .15如下圖，已知F 1， F2 是雙曲線x2y21 ( a>0 ， b>0) 的兩焦點，以線段F 1F2 為邊作正三角形a2b2MF 1 F2 ，若邊 MF 1 的中點在雙曲線上，求雙曲線的離心率【答案與解析】1【答案】： C【解析】由雙曲線右焦點為F2（5， 0），則 c=5， ec5 ， a=4a4222x 2y 21 b =ca =9，所以雙曲線方程為1692【答案】： B【解析】：由雙曲線的定義得：|PF1|-|PF2|=2a,(不妨設該點在右支上 )|PF1|+|PF2|=3b,所以 |PF1|

25、=2a3b ,| PF2 |3b2a ，22兩式相乘得 9b24a29 ab 。結合 c2a2b2 得 c5，44a3故e5,故選 B。33【答案】：D【解析】：設雙曲線方程為y2x2(0)焦點 (0, 43),0,又 2(4 3)2 ,244. 【答案】： B【解析】：因為c 2y2=1， yb2a2|PF2|=|F2F1|， P 點滿足2b2c,aa 2cbc2a2,即 2ac=b2=c2-a2,a12ee=1+2.故,e5. 【答案】：B【解析】：如圖，6 / 8分別過雙曲線的右頂點A，右焦點F 作它的漸近線的垂線，B、C 分別為垂足，則OBA OCF ， OA AB 1， OFFC3

26、a1，b2 2 ，c3a故漸近線方程為：y2 2x .6. 【答案】： A【解析】由題意得 c5 ， b1a 2 ， b 1x2y21，選 Aa2417. 【答案】： ( ±2,0)【解析】：由題意得：a 1， e c 2，所以c2，又由標準方程可得焦點在x 軸上，所以焦點坐標為a( ±2,0)68【答案】：2【解析】；由題意得4 a2 a2 1， 2a2 3， a6.29【答案】：x2y21312【解析】設雙曲線方程為x2y2k ，4因為雙曲線過點（x2y22,2），所以 k=3,所以雙曲線的方程為1 。31210. 【答案】 (27,8)【解析】由已知a=1， b3 ， c=2，則 ec2 ，設 P（ x， y）是雙曲線上任一點，由對稱性不妨設aP 在右支上，則1x 2，|PF1|=2x+1 ， |PF2 |=2x 1， F1 PF2為 銳 角 ， 則 |PF1|2+|PF2|2 |F1F2|2 ， 即 (2x+1) 2+(2x 1)2 42 ， 解 得 x7， 所 以7x 2 ，22|PF1| PF2 | 4x (2 7,8)11. 【解析】：過 F2 作 F 2APF 1 于 A，由題意知 F 2A 2a， F1F2 2c，則 AF1 2b， PF1 4b，而