高考一輪復(fù)習(xí)：立體幾何中的向量方法(二)(共12頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第8講立體幾何中的向量方法(二)【2015年高考會(huì)這樣考】考查用向量方法求異面直線所成的角，直線與平面所成的角、二面角的大小【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】復(fù)習(xí)中要掌握空間角的類(lèi)型及各自的范圍，掌握求空間角的向量方法，特別注意兩平面法向量的夾角與二面角的關(guān)系基礎(chǔ)梳理1空間的角(1)異面直線所成的角如圖，已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線aa，bb.則把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)(2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0&

2、#176;的角(3)二面角的平面角如圖在二面角­l­的棱上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則AOB叫做二面角的平面角2空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角滿足cos |cosm1，m2|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面的法向量分別為m，n，則直線l與平面的夾角滿足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小()如圖，AB、CD是二面角­l­的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，()如圖，n1，n2分別是二面角­l­的兩個(gè)半平面，的

3、法向量，則二面角的大小滿足cos cosn1，n2或cosn1，n2三種成角(1)異面直線所成的角的范圍是；(2)直線與平面所成角的范圍是；(3)二面角的范圍是0， 易誤警示利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面、的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ)，這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)雙基自測(cè)1如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么，這條斜線與平面所成的角是()A90° B30° C45° D60°解析cosa

4、，b，又a，b0，a，b60°.答案D2(人教A版教材習(xí)題改編)已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為() A45° B135°C45°或135° D90°解析cosm，n，即m，n45°，其補(bǔ)角為135°，兩平面所成的二面角為45°或135°.答案C3(2011·德州月考)已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，則l與所成的角為()A30° B60° C120° D150

5、76;解析設(shè)l與所成的角為，則sin |cosm，n|，30°.答案A4在如圖所示的正方體A1B1C1D1­ABCD中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為()A BC. D.解析如圖建立直角坐標(biāo)系D­xyz，設(shè)DA1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E.則(1,1,0)，若異面直線DE與AC所成的角為，cos |cos，|.答案D5如圖所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是_解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)A

6、BBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)則(0，1,1)，(2,0,2)，·2，cos，EF和BC1所成角為60°.答案60°考向一求異面直線所成的角【例1】(2011·上海高考改編)已知ABCD­A1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，高AA12，求(1)異面直線BD與AB1所成角的余弦值；(2)四面體AB1D1C的體積審題視點(diǎn) 建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量法求解，注意角的范圍解(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1­xyz，由已知條件：B(1,0,2)，D(0,1,2)，A(0,0,2)，B1(1,

7、0,0)則(1,1,0)，(1,0，2)設(shè)異面直線BD與AB1所成角為，cos |cos，|.(2)VAB1D1CVABCDA1B1C1D14VCB1C1D1. 異面直線所成角范圍是(0°，90°，若異面直線a，b的方向向量為m，n，異面直線a，b所成角為，則cos |cosm，n|.解題過(guò)程是：(1)建系；(2)求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)表示向量；(4)計(jì)算【訓(xùn)練1】 (2011·全國(guó)高考)已知正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為_(kāi)解析如圖建立直角坐標(biāo)系D­xyz，設(shè)DA1，由已知條件A(1,0,

8、0)，E，B(1,1,0)，C(0,1,0)，(1,0,0)設(shè)異面直線AE與BC所成角為.cos |cos，|.答案考向二利用向量求直線與平面所成的角【例2】如圖所示，已知點(diǎn)P在正方體ABCD­ABCD的對(duì)角線BD上，PDA60°.(1)求DP與CC所成角的大??；(2)求DP與平面AADD所成角的大小審題視點(diǎn) 轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角求解不易，故考慮用向量法求解，注意向量的夾角與直線與平面所成角的關(guān)系解如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz.則(1,0,0)，(0,0,1)連接BD，BD.在平面BBDD中，延長(zhǎng)DP交BD于H.設(shè)(m，m,1)(m

9、>0)，由已知，60°，即·|cos，可得2m.解得m，所以.(1)因?yàn)閏os，所以，45°，即DP與CC所成的角為45°.(2)平面AADD的一個(gè)法向量是(0,1,0)因?yàn)閏os，所以，60°，可得DP與平面AADD所成的角為30°. (1)異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應(yīng)注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系(2)直線與平面的夾角可以轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由于向量方向的變化，所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系【訓(xùn)練2】 (2010·遼寧)已知三棱錐P­ABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，

10、N為AB上一點(diǎn)，AB4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)(1)證明：CMSN；(2)求SN與平面CMN所成角的大小解：設(shè)PA1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.(1)證明：(1，1，)，因?yàn)?#183;00，所以CMSN.(2)，設(shè)a(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則取x2，得a(2,1，2)因?yàn)閨cosa，|，所以SN與平面CMN所成角為45°.考向三利用向量求二面角【例3】(2011·全國(guó)新課標(biāo))如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行

11、四邊形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD.(1)證明：PABD；(2)若PDAD，求二面角A­PB­C的余弦值審題視點(diǎn) 會(huì)判斷法向量的方向，找準(zhǔn)向量夾角與二面角是相等還是互補(bǔ)(1)證明因?yàn)镈AB60°，AB2AD，由余弦定理得BDAD.從而B(niǎo)D2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.又ADPDD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)解如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)(1，0)，(0，1)，

12、(1,0,0)設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，則即因此可取n(，1，)設(shè)平面PBC的法向量為m，則可取m(0，1，)，則cosm，n.故二面角A­PB­C的余弦值為. 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角【訓(xùn)練3】 如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)(1)證明：PC平面BEF；(2)求平面BEF與平面BAP夾角的大小(1)證明如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD

13、，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)PAB2，BCAD2，四邊形ABCD是矩形，A，B，C，D，P的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，E(0，0)，F(xiàn)(1，1)(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)·2420，·2020.，PCBF，PCEF.又BFEFF，PC平面BEF.(2)解由(1)知平面BEF的一個(gè)法向量n1(2,2，2)，平面BAP的一個(gè)法向量n2(0,2，0)，n1·n28.設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為，則cos |cosn1，n2|，4

14、5°.平面BEF與平面BAP的夾角為45°.閱卷報(bào)告12對(duì)法向量夾角與二面角大小關(guān)系認(rèn)識(shí)不清導(dǎo)致失誤【問(wèn)題診斷】 立體幾何是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，而求空間角是重中之重，利用空間向量求空間角的方法固定，思路簡(jiǎn)潔，但在利用平面的法向量求二面角大小時(shí)，兩個(gè)向量的夾角與二面角相等還是互補(bǔ)是這種解法的難點(diǎn)，也是學(xué)生的易錯(cuò)易誤點(diǎn)【防范措施】 正確判斷法向量的方向，同指向二面角內(nèi)或外則向量夾角與二面角互補(bǔ)，一個(gè)指向內(nèi)另一個(gè)指向外則相等【示例】 (2011·遼寧)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)證明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角Q ­BP­C的余弦值實(shí)錄如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.(1)依題意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0，2,0)則(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以·0，·0.即PQDQ，PQDC.又DQDCD，故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.錯(cuò)因如圖平面BPC，與平面BPQ的法向量分別為n(0,1,2)，m(1,1,1)，設(shè)二面角Q ­BP­C的大小為，則m，n，m，n(2)依題意有B(1,0,1)，(1,0,0)