利用圖形直觀 引導解題思路

1、利用圖形直觀 引導解題思路摘  要圖形能很好地呈現(xiàn)數(shù)學信息，能讓隱藏的一些數(shù)學結(jié)論和數(shù)學思想顯露出來，借助圖形直觀對引導解題思路有著積極的作用.關(guān)鍵詞圖形直觀;解題思路;函數(shù);數(shù)列中圖分類號  G633.6    文獻標識碼  A    文章編號  1674-6058202120-0016-03一、圖形直觀的內(nèi)涵和作用史寧中教授提出：“幾何直觀是借助于見到的或想象出來的幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學的研究對象空間形式或數(shù)量關(guān)系進行直接感知、

2、整體把握的能力.孔凡哲教授認為：“在中小學數(shù)學中，幾何直觀具體表現(xiàn)形式有四種，即實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀.從兩位教授的觀點可以看出，圖形直觀作為幾何直觀的一種形式，是一種利用圖形研究數(shù)學對象的能力.它具有直接感知和整體把握的特點.圖形直觀是幫助解決數(shù)學問題的有效手段.數(shù)學問題中的很多條件往往是隱性的、片段性的，而圖形直觀那么恰恰是利用圖形把條件顯性地、連續(xù)地表達出來，進而使解題思路直觀化.圖形直觀是利用圖形進行數(shù)學的思考和想象，圖形直觀能力在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力.二、圖形直觀在引導解題思路中的應用1.圖形直觀在函數(shù)中的應用圖像在函數(shù)中有著得天獨厚的優(yōu)勢，因為

3、圖像本身就是函數(shù)的表達方式，是最為直觀的表達方式.例1函數(shù)fx=ax+bx，假設01，函數(shù)gx=fx-2有且只有1個零點，求ab的值.我們把解析分成兩段.第一段：gx=fx-2=ax+bx-2，g'x=axlna+bxlnb=axlnbbax+lnalnb，由01可得ba>1，令g'x=0得x0=logba-lnalnb，x-，x0遞減，xx0，+遞增，gx的最小值為gx0.由g0=0，可知0是函數(shù)gx的零點.第二段：通過第一段的分析我們已經(jīng)初步掌握了這個函數(shù)的一些信息和一些不確定的信息，整理如下.函數(shù)信息：g0=0，x-，x0遞減，xx0，+遞增，gx的最小值為gx0.

4、不確定的信息：函數(shù)的極小值點在哪里和0比？圖像在除0以外的地方的零點有沒有不清楚？根據(jù)的信息，再結(jié)合需要探索的信息，我們可以畫出這樣的三種函數(shù)草圖如圖1、圖2、圖3.圖1x0=0情形   圖2x0>0情形    圖3x0圖形直觀幫助我們形成初步的感性結(jié)論：圖1符合題意，而圖2、圖3那么不符合題意.結(jié)合這樣的圖形直觀，我們得到如下的數(shù)學推理：1當x0=0時，解得ab=1，函數(shù)gx在-，0上遞減，在0，+上遞增，符合題意.2當x0>0時，在x-，x0遞減，xx0，+遞增，所以在x-，x0有一個零點0，gx00，根據(jù)零

5、點存在定理可得，在以x0和loga2為端點的正開區(qū)間內(nèi)必然存在一個零點，所以這樣gx就有兩個不同的零點，不符合題意.3當x00，根據(jù)零點存在定理可得，在以x0和logb2為端點的負開區(qū)間內(nèi)必然存在一個零點.這樣，gx就有兩個不同的零點，不符合題意.2.圖形直觀在數(shù)列中的應用數(shù)列是特殊的函數(shù)，圖形直觀在數(shù)列中的應用就顯得水到渠成.例2數(shù)列an，bn都為等差數(shù)列，數(shù)列cn滿足cn=an，n為奇數(shù)，bn，n為偶數(shù)，nN?.且對任意nN?，cn+1>cn恒成立.求證：數(shù)列an，bn的公差相等.分析：an=a1+n-1d1，bn=b1+n-1d2，cn+1>cn恒成立顯示an，bn上的點交替

6、上升.信息：an，bn是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖像是直線上的一系列點.cn+1>cn恒成立顯示an，bn上的點交替上升.不確定的和需要探索的信息：d1，d2的大小關(guān)系未定.根據(jù)上面的信息，我們可以畫出如下圖形.圖4d1=d2情形           圖5d1上面的圖形直觀幫助我們初步得到如下結(jié)論：1圖4是d1=d2情形，符合交替上升的題意.2圖5是d1an+8，不符合交替上升的題意.d1>d2情形類似.說明：這里的圖形是草圖，圖形繪制時需要結(jié)合我們的想象力，把盡可能多的情形繪

7、制出來.如圖5中bn+7>an+8，說明在無窮遠處某個區(qū)間必然會有這樣的兩個點，不符合交替上升的規(guī)律.借助這樣的圖形直觀，我們有如下的數(shù)學推理.解：設數(shù)列an的公差為d1，數(shù)列bn的公差為d2.假設d1>d2，那么當n為奇數(shù)時，cn=an=a1+n-1d1，cn+1=bn+1=b1+nd2，那么當n>-a1+d1+b1d1-d2時，cn+1-cn=d2-d1n+b1+d1-a1即cn+1假設d2>d1，那么當n為偶數(shù)時，cn=bn=b1+n-1d2，cn+1=an+1=a1+nd1，那么當n>-b1-d2+a1d2-d1時，cn+1-cn=d1-d2n+a1+d2

8、-b1綜上，d1=d2，原命題得證.3.圖形直觀在解析幾何中的應用例3橢圓x25+y2b=1和直線y=kx+1kR總有公共點，那么b的取值范圍為.分析：橢圓和直線都具有明顯的圖形特征，可用數(shù)形結(jié)合去試著解決問題.信息：x25+y2b=1與x軸的交點為5，0;y=kx+1kR過定點0，1.未知和需要探索的信息：y=kx+1kR的斜率可以任意變化.x25+y2b=1與y軸的交點為0，b，需要探求b的取值范圍.根據(jù)上面的信息，可得出如下可能的圖形.圖60圖815情形由圖形直觀我們可以知道：圖6不符合題意，圖7至圖9符合題意，所以b的取值范圍為b>1且b5.三、圖形直觀能力的培養(yǎng)認識論、邏輯學以

9、及心理學的研究都說明培養(yǎng)學生的數(shù)學圖形直觀能力有助于學生對數(shù)學知識的掌握和應用.那么如何培養(yǎng)學生的圖形直觀能力呢？1.善于利用圖形描述數(shù)學問題利用圖形描述數(shù)學問題，有助于學生對事物關(guān)系產(chǎn)生直接的感知與認識.史寧中教授認為，數(shù)學的結(jié)果是“看出來的而不是“證出來的.所謂“看是一種直覺判斷，這種直覺判斷建立在長期的有效能的觀察和思考的根底上.例1中“函數(shù)gx=fx-2有且只有1個零點用圖形描述為“函數(shù)圖像與x軸只有一個公共點;例2中“cn+1>cn恒成立用圖形描述為“an，bn上的點交替上升.這樣的圖形描述很直觀.利用圖形描述數(shù)學問題，正是為了讓學生通過“看形成直覺判斷.2.善于利用圖形理解數(shù)

10、學問題數(shù)學問題一般都是以符號的形式給出的，要想解決數(shù)學問題，我們必須很好地理解數(shù)學問題.利用圖形可以幫助我們更加直觀而有效地理解題意.如上述問題“求證：數(shù)列an，bn的公差相等即“要想an，bn上的點總是交替上升，那么必然有d1=d2.于是我們聯(lián)想到了d13.善于利用圖形解決數(shù)學問題數(shù)形結(jié)合是直觀與抽象、感知與想象的結(jié)合.圖形在解決一些不需要寫出邏輯推理過程的數(shù)學問題中具有非常獨特的魅力.如上述中的“橢圓x25+y2b=1和直線y=kx+1kR總有公共點可以理解為“直線隨便怎么畫，都要和橢圓有公共點，所以定點0，1必須在橢圓內(nèi)或在橢圓上.四、誤區(qū)及反思正確的圖形直觀可以引導學生正確的解題思路，

11、錯誤的圖形直觀必然導致錯誤的引導.例如，在分析函數(shù)fx=xex的性質(zhì)時，通過求導后發(fā)現(xiàn)函數(shù)在-，1上遞增，在1，+上遞減.圖形直觀表示如圖10所示.圖10               圖11事實上，當x>0時，fx>0，上面的圖像是有問題的.當x+， fx0+，借助數(shù)的分析我們把圖像調(diào)整為圖11所示.因為是直觀，所以我們只關(guān)注一些主要信息，漏掉了一些次要信息，導致我們對圖像的把握不準確，所以圖形直觀的精確度是值得關(guān)注的，不同

12、的問題要求圖形的精確度也不同.倘假設上面的問題關(guān)注的是函數(shù)的最大值，那么圖10的直觀圖就足夠了.但如果是函數(shù)的零點問題，那么需要用圖11的直觀圖.這就要求我們在作直觀圖時，搞清問題是什么，所以在使用圖形直觀去分析時，務必要力求圖形準確，分類全面.  參  考  文  獻  【1】 蔣海燕.中學數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)方略M.濟南：山東人民出版社，2021.責任編輯黃桂堅猜你喜歡數(shù)列解題思路函數(shù)亞純函數(shù)的正規(guī)族與例外函數(shù)華東師范大學學報自然科學版(2021年1期)2021-03-16高中數(shù)學數(shù)列有效教學方式研究教師·下(2021年5期)2021-06-19運用“構(gòu)造法，創(chuàng)新數(shù)學解題思路數(shù)學教學通訊·小學版(2021年3期)2021-04-22兩大部類再生產(chǎn)最優(yōu)平衡增長的形成路徑經(jīng)濟數(shù)學(2021年1期)2021-04-08兩種方法三條途徑中學課程輔導·教師教育中(2021年2期)2021-03-24高中數(shù)學一道數(shù)列典型題解法的探究數(shù)學學