全等三角形常用輔助線做法

1、五種輔助線助你證全等姚全剛在證明三角形全等時(shí)有時(shí)需添加輔助線，對(duì)學(xué)習(xí)幾何證明不久的學(xué)生而言往往是難 點(diǎn).下面介紹證明全等時(shí)常見的五種輔助線，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.一、截長補(bǔ)短一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時(shí)，通?？?以考慮用截長補(bǔ)短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長 使其與長線段相等.例1.如圖1,在ABC中，Z ABC=60 , AD、CE分別平分/BAC、Z ACB .求證:AC=AE+CD .A分析：要證AC=AE+CD , AE、CD不在同一直線上.故在AC上截取AF=AE ,則只要 證明CF=CD .證明：在AC上截取AF=

2、AE，連接OF. AD、CE分別平分Z BAC、Z ACB , Z ABC=60 Z 1 + Z 2=60 , Z 4=Z 6= Z 1 + Z 2=60 .顯然，AEOA AFO,.5= Z 4=60 ,.二Z 7=180 (Z 4+ Z 5) =60在DOC與FOC中，Z 6= / 7=60 , Z 2= / 3, OC=OC. DOCA FOC, CF=CDAC=AF+CF=AE+CD .截長法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等, 或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加 以說明。這種作法，適合丁證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例2

3、:如圖甲，AD/ BQ點(diǎn)E在線段AB上，Z AD&ZCD / DCEZ ECB求證：CEAEBG思路分析：1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：截長法或補(bǔ)短法。2）解題思路：結(jié)論是CABBC,可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”， 即在CD上截取CEC耳只要再證D巳DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問 題，從而達(dá)到簡化問題的目的。解答過程：證明：在CD上截取CEBG如圖乙在、FCEBCE 中CF = CB，ZFCE = /8CECE=CE臉. .FC巨zBCE(SA3 , Z2=Z1oX v AD/ BQZADGZBC&18O0,. .ZDCEZCD叵90 ,AZ

4、2+Z3=90 , Z 1 + Z4=90 ,/ 3=Z 4o在/FDEA ADE中，CDCDFB圖乙FDE = ZADE2AD由圖想到：AB+BDADAC+CDAD所以有AB+AC+BD+CDAD+AD亍2AD域比要證結(jié)論多BD+CD故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去 / f /X II / /1圖5-2證明匕延長AD至E,使DE=AD,連接BE, CE、AD為ABC的中線（已知）二BD=CD中線定義）在ACE加乙幽D中BD - CDC己證）AE三角形兩邊之和大丁第三邊）AB+AC2A D6、分析：欲證AC=BR只需證AC BF所在

5、兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒有含 有AC BF的兩個(gè)全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩個(gè)含有AC BF的全等三角形也并不容易。這時(shí)我們想到在同一個(gè)三角形中等角對(duì)等邊，能夠把這兩 條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中， 只要說明轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形以后的這兩條線 段， 所對(duì)的角相等即可。思路一、以三角形AD0基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段AC使AC BF在三角形BFH中方法一：延長AD到H,使得DH=AD連結(jié)BH證明ADCffizX HDE&等，得AC=BH通過證明/H=Z BFH得到BF=BHA0Cx*證明：延長AD到H,使得DH=AD,連接BH/ D為BC中點(diǎn)/- BD-DC在AADG和HD8中AD = D

6、H!星與鼠CFD中，PE = PDv Z.PEA 二 ZPDCAE= DC全等三角形問題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是 全等變換中的“對(duì)折”.2）遇到三角形的中線， 倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” .3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5）截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利