一道不等式題的解法探討

1、一道不等式題的解法探討在上高二不等式一章時，給同學們出了這樣一道題：“ x,y R+,1x+4y=1，求x+y 的最小值?！?，有同學這樣解： Qx,yR+,1x+4y=11=1x+4y24xyxy16 又 Qx+y2xy216=8x+y的最小值為8上述解法看似正確，但同學們在應用均值不等式時忘記了必備的條件 . “一正、 二定、三取等”， 特別是忘記了“取等號”成立的條件。顯然，上述解法等號不能同時成立，此同學的解法顯然錯誤。但此題解法很多， 現(xiàn)與大家一起探討。解法（一）“ 1”的應用Qx,yR+且1x+1y=1,x+y=(x+y)(1x+4y)=5+yx+4xy5+2yx4xy=9當且僅當

2、yx+4xy 時，即 4x2=y2 即 2x=y 時等號成立。又 1x+4y=1 x=3,y=6 時等號成立 x+y 的最小值為 9解法（二）換元法Qx,yR+且 1x+4y 設 1x=cos 4y=sin2 (0, 2)x=1cos2=sec2=1+tan2y=4sin2 =4csc2=4+4cot2x+y=(1+tan2 )+(4+4cot2 )=5+tan2 +4cot2 5+2tan24cot2 =9當且僅當 tan2 =4cot2 時，等號成立同（一），當 x=3,y=6 時， x+y 有最小值 9 解法（三）反換元設 x+y=t, 令 x=tcos2 y=tsin2 (0, 2)

3、Q1x+4y=11tcos2 +4tsin2 =1t=1cos2 +4tsin2 =5+tan2+4cot2 9（以下同（二）解法（四）判別式法令 x+y=t, 則 y=t-x(t 0)Q1x+4y=1 1x+4t -x=1x2+(3 -t)x+t=0 又 QxR+ 0 =(3 -t)2- 4t 0 解得 t 9或 t 1（舍）x+y 有最小值 9解法（五）消無法Qx,yR+,且 1x+4y=1y=4xx -1(x>1)x+y=x+4xx -1=x+4x-1+4(x-1)+4x- 1+52(x -1)4x-1+5=9 當且僅當 x-1=4x-1 即 x=3,y=6 時等號成立 x+y 有

4、最小值 9解法（六）構造積為定值Q1x+4y=1 4x+y=xy xy -4x-y=0 (x -1)(y-4)=4(x>1,y>4)x+y=(x -1)+(y-4)+5 2(x -1)(y-4)+5=9當且僅當 x=3,y=6 時等號成立 x+y 有最小值9解法（七）導數(shù)法Q1x+4y=1 y=4xx -1=4x-1+4(x>1)令 x+y=t ，則 y=t-x 當直線 y=-x+t 與曲線 y=4x-1+4 相切時，截距最小Qy=(4x-1+4)=-4(x-1)2由 -4(x-1)2得 x=3將 x=3 代入 1x+4y=1 得 y=6切點坐標為（3， 6）（ x+y)min=3+6=9解法（八）定比分點坐標公式的活用Qx,yR?e,且 1x+4y=1 00)由定比分點坐標公式得： 1x=1+ x=1+1x 又 1x+4y=1y=1 - 1+y=4(1+ ) x+y=(1+1)+4(1+ )=