電磁場與電磁波公式總結(jié)

1、電磁場與電磁波復(fù)習第一局部知識點歸納第一章欠量分析微分線元：d Ra* dx a dyxyazdz面積元:dSydxdz，體積元：ddSzdxdy(2)柱坐標系dlrdrdSrdl dlzrd dz長、dlrd,面積元dS dlrdlzdrdz，體積元：d rdrddlzdzdSzdl dlzrdrdz(3)球坐標系dlrdrdSrdl dl r2sin d d長度元：dl rd,面積元：dS dlrdl r sin drddlr sin ddS dlrdl rdrd1、三種常用的坐標系(1)直角坐標系dSxdydzdxdydzdz體積元：d r2sin drd d2、三種坐標系的坐標變量之間

2、的關(guān)系(1)直角坐標系與柱坐標系的關(guān)系22x r cosr x yy r sin , arctan xz zz z(2)直角坐標系與球坐標系的關(guān)系x r sin cosy r sin sinz r cosarccos-222x y z, yarctanz(3)柱坐標系與球坐標系的關(guān)系r r sinz r cos22r、r zz arccos22.r zgradaxayazxyz(2)柱坐標系中：gradar1 a-az3、梯度(1)直角坐標系中:rr(3)球坐標系中:gradarrsin4.散度(1)直角坐標系中：AXAydiv A - x y(2)柱坐標系中：1div A-(rAr)r r(

3、3)球坐標系中：12div A (r Ar)r rAzAz5、高斯散度定理:rsinSA dS1 A(sin A )-r sinAd div Ad ,意義為：任意矢量場A的散度在場中任意體積內(nèi)的體積分等于矢量場A在限定該體積的閉合面上的通量。6,旋度(1)axayazxyzAxAyAz直角坐標系中:A柱坐標系中:(2)(3)arraazrArrAzAz球坐標系中:arr sin a12 r sinrArrAr sin A兩個重要性質(zhì)：矢量場旋度的散度恒為零,7、斯托克斯公式：A 0標量場梯度的旋度恒為零,第二章 靜電場和包定電場1、靜電場是由空間靜止電荷產(chǎn)生的一種發(fā)散場。描述靜電場的根本變量是

4、電場強度2、電場分布有點電荷分布、體電荷分布、面電荷分布和線電荷分布。其電場強度和電位的 計算公式如下：140vr1r340vr1r(3)面電荷分布4 線電荷分布3、介質(zhì)中和真空中靜電場的根本方程分別為r微分形式0微分形式在線性、各向同性介質(zhì)中，本構(gòu)方程為:4、電介質(zhì)的極化2介質(zhì)外表的極化面電荷密度為：pSpJ5、在均勻介質(zhì)中，電位滿足的微分方程為泊松方程和拉普拉斯方程，即位移矢量D和電位 。電場強度與電位的關(guān)系為：E08.854 1012F/m點電荷分布(2)1NqkRk -340 k 1Rk體電荷分布qk11(Rk1Nqk廣C0 k 1Rk(r )(r)dv(r )dvE工S(r )(r

5、r )dS,3,40Sr rr rE二l(r )(r r )dli(r )dl3,4l 0r rr rSD d Sq,積分形式表示意義介質(zhì)中的高斯定理q為S面內(nèi)的總源電荷和S面內(nèi)的總極化電荷之和CEdl0,積分形式表示意義安培環(huán)路定理，說明靜電場是一種發(fā)散 場，也是保守場。SE積分形式dS qi.0 i 1E一 微分形式， 為體電荷密度0表示意義真空中的高斯定理1極化介質(zhì)體積內(nèi)的極化體電荷密度為:PP極化強度矢量。P nn為外表的單位法向量矢量 _1S(r )dS6、介質(zhì)分界面上的邊界條件(1)分界面上Dn的邊界條件DinD2n S或n(DiD2)S(S為分界面上的自由電荷面密度)，當分界面上

6、沒有 自由電荷時，那么有：DinD2n即n Din D2,它給出了D的法向分量在介質(zhì)分界面兩側(cè)的關(guān)系：(I)如果介質(zhì)分界面上無自由電荷，那么分界面兩側(cè)D的法向分量連續(xù)；(II)如果介質(zhì)分界面上分布電荷密度s, D的法向分量從介質(zhì)1跨過分界面進入介質(zhì)2時將有一增量，這個增量等于分界面上的面電荷密度用電位表示：一12一2S和一12一(S0)n nn n(2)分界面上Et的邊界條件(切向分量)n E n E或EitE2t,電場強度的切向分量在不同的分界面上總是連續(xù)的。由于電場的切向分量在分界面上總連續(xù)，法向分量有限，故在分界面上的電位函數(shù)連續(xù)，即12。電力線折射定律： - -。tan227、靜電場能

7、量(1)靜電荷系統(tǒng)的總能量11體電荷：We d；212面電何：We $Sds;13線電荷：W- ! | dl 1-(有源區(qū)域),0(無源區(qū)域)(3)能量密度靜電能是以電場的形式存在于空間,而不是以電荷或電位的形式存在于空間中的O場中任意11c 0一點的能量密度為：eD EE2J/m3221在任何情況下，總靜電能可由We1E2d來計算。8、恒定電場存在于導電媒質(zhì)中由外加電源維持。描述恒定電場特性的根本變量為電場強度E和電流密度J ,且J E。為媒質(zhì)的電導率。(1)恒定電場的根本方程分界面上D的邊界條件n分界面上Et的邊界條件(2)導體系統(tǒng)的總能量為：We12 k出法、宏#沖擊鏟積分形式：oJdS

8、 *電流連續(xù)性萬程：St微分形式：J-一或J一0tt恒定電流場中的電荷分布和電流分布是恒定的。場中任一點和任一閉合面內(nèi)都不能有電荷的增減，即 。和0。因此，電流連續(xù)性方程變?yōu)椋篴 J d S 0和J 0,再加上t tS Edl。和E 0，這變分別是恒定電場根本方程的積分形式和微分形式。C(2)恒定電場的邊界條件(1)JinJ2n或n (JiJ2)0,(2) Eit2、恒定磁場的根本方程(1)真空中恒定磁場的根本方程為:積分形式:B d l0I(2)磁介質(zhì)中恒定磁場的根本方程為:微分形式:E2t或n (EitE2t)0應(yīng)用歐姆定律可得：Ein2E2n和JitJ2tO2此外，恒定電場的焦耳損耗功率

9、密度為E2,儲能密度為e-E2。2第四章包定磁場i、磁場的特性由磁感應(yīng)強度B和磁場強度(真空磁導率：04 i07H/m,)H來描述，真空中磁感應(yīng)強度的計算公式為:(1)線電流:0Id l aR廠1R20Id l (r r )-白-X-41(2)面電流:0JSaR- -odS4SR2JS(r r)dS(3)體電流:0J aR-廣d0J (r r ) O. *、帛十*沖十工口積分形式：A、磁通連續(xù)性萬程：微分形式:SBdS0B、真空中安培環(huán)路定理：A、磁通連續(xù)性方程仍然滿足:積分形式:sBdS0B、磁介質(zhì)中安培環(huán)路定理：積分形式：*H d 1微分形式：0恒定磁場是一種漩渦場，因此一般不能用一個標量

10、函數(shù)的梯度來描述。3、磁介質(zhì)的磁化磁介質(zhì)在磁場中被磁化， 其結(jié)果是磁介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)凈磁矩或宏觀磁化電流。磁介質(zhì)的磁化6、電感的計算(1)磁介質(zhì)中的束縛體電流密度為：JmM ;(2)磁介質(zhì)外表上的束縛面電流密度為:JmSM n(其中，n為外表的單位法向量矢量)4、恒定磁場的矢量磁位為：BA,矢量A為矢量磁位。程度用磁化強度M表示。0(無源區(qū))2AJ(有源區(qū))2AC、磁性媒質(zhì)的本構(gòu)方程:B0rH H(HM ,其中M為磁化強度矢量)。在庫侖標準條件(A 0)下，場與源的關(guān)系方程為對于分布型的矢量磁位計算公式：(1)線電流：A巴(2)面電流：A5、恒定磁場的邊界條件(1)分界面上Bn的邊界條件在兩種磁介

11、質(zhì)的分界面上，取一個跨過分界面兩側(cè)的小扁狀閉合柱面(高h 0為無窮小量)， 如右圖所示，應(yīng)用磁通連續(xù)性方程可得：JsdS(3)體電流：A%B d SB1n dS B2ndS 0于是有:(2)n(HIn (B2BI)0或B1nB2n分界面上Ht(切向分量)的邊界條件:H2)JS,如果分界面上無源外表電流(即JS0 )，那么n(HI磁力線折射定律：tan2用矢量磁位表示的邊界條件為:H2)0即H1tH2t或H1sinA2, (1A)t1(2AJtJS(1)外自感:.00L0一一0I4l ldl0d l0,(2)互感:R(3)內(nèi)自感：單位長度的圓截面導線的內(nèi)自感為:M12M21(長度為0皿24ll的

12、一段圓截面導線的內(nèi)0l2dl1dl2自感為L)。87、磁場的能量和能量密度(1)磁場的總能量磁介質(zhì)中，載流回路系統(tǒng)的總磁場能量為:WmNMkjIjIkk 1(3)磁場能量密度A、任意磁介質(zhì)中:1. . ,H B,此時磁場總能量可以由2Wm1B H d計算出；B、2B t而且這種感應(yīng)電場是一種旋渦場，即感應(yīng)電場不再是保守場，感應(yīng)電場E在時變磁場中的閉合曲線上的線積分等于閉合曲線圍成的面上磁通 的負變化率。2、麥克斯韋位移電流假說按照麥克斯韋提出的位移電流假說，電位移矢量對時間的變化率可視為一種廣義的電流微分形式:3、麥克斯韋方程組(3)SB(4)SD(3)非限定形式的麥克斯韋方程組在線性和各向同

13、性的介質(zhì)中，有媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系:E,B H0 rH,JCE，由此可得非限定形式的麥克斯韋方程組:(1)(4)(4)麥克斯韋方程組的實質(zhì)A、第二方程一時變更磁場.屯的安培環(huán)路定律。物理意義一磁場是由出流和肘變的電場 鼓勵的。在各向同性，線性磁介質(zhì)中:1H B - H，此時磁場總能量可以由22Wm12H2d2第五章時變電磁場1、法拉第電磁感應(yīng)定律(1)感應(yīng)電動勢為:(2)法拉第電磁感應(yīng)定律積分形式：iEd微分形式:它說明時變的磁場將鼓勵電場,密度，稱為位移電流密度，即Jd-。位移電流一樣可以鼓勵磁場,t從而可以得出時變場中的安培環(huán)路定律積分形式：FS(J-f)dS(1) I H d ls(JD) d

14、S t(1)微分形式(2)B(2)積分形式(2)盧d-dS t(3)(4)B、第二方程：法拉第電磁感應(yīng)定律。物理意義：說明了時變既磁場鼓勵電場的這一事 實。C、第三方程：時變電場的磁通連續(xù)性方程。物理意義：說明了磁場是一個旋渦場。D、第四方程：高斯定律。物理意義：時變電磁場中的發(fā)散電場分量是由電荷鼓勵的。 - - - - . - - - - - - - . - - - . - - - . - - - - - - - - - - - - - . - - - - - - - - - - - - - - 思考題：麥克斯韋方程中為什么沒有寫進電流連續(xù)性方程？答：因為它可以由微分形式的方程組中、式兩式導

15、出。把式兩邊同時取散度得D(H) (J)胃t由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得即得j 0 ,這便是電流連續(xù)性方程。t4、分界面上的邊界條件(1)法向分量的邊界條件B、B的邊界條件n (B1B2)(2)切向分量的邊界條件(1) n HJSHtJS(2)n E0Et0(3) n B0Bn0(4)n E -SE建n00式中n是導體外表法線方向的單位矢量。上述邊界條件說明：體外表上分布有電荷，那么在導體外表上有電場的法向分量，那么由上式中的式?jīng)Q定，導體外表上電場 的切向分量總為零；導體外表上磁場的法向分量總為零，如果導體外表上分布有電流，那么在導體外表 上有磁場的切向分量，那么由上式中的決定。5、波動

16、方程6、坡印廷定理和坡印廷矢量數(shù)學表達式：E1212H d S ( HE )dE2dSt 22由于四12-Ed為體積內(nèi)的總電場儲能，Wn1 2 ,一H d為體積內(nèi)的總磁場22儲能，PE2d為體積內(nèi)的總焦耳損耗功率。于是上式可以改寫成：:E H dSSWWn) P,叫的S為限定體積的閉合面。0,再把式代入上式,A、D的邊界條件n (DiD2)S，假設(shè)分界面上SSS(DiD2)A、E的邊界條件n (E1E2)B、H的邊界條件(3)理想導體n (HiH2)外表的邊界條件JS，假設(shè)分界面上JS(HiH2)在理想導體與空氣的分界面上,如果導箜0；t2此兩式為三維空間中的矢量齊次波動方程。由此可以看出：時

17、變電磁場在無源空間中是以波動的方式1廠無源區(qū)域內(nèi)，E、H的波動方程分別為：2H2E在運動，故稱時變電磁場為電磁波，且電磁波的傳播速度為物理意義：對空間中任意閉合面S限定的體積，S矢量流入該體積邊界面的流量等于該體積內(nèi)電 磁能量的增加率和焦耳損耗功率，它給出了電磁波在空間中的能量守恒和能量轉(zhuǎn)換關(guān)系。坡印廷矢量(能流矢量)S E H表示沿能量流動方向單位面積上傳過的功率。7、動態(tài)矢量磁位A和動態(tài)標量為與電磁場的關(guān)系為:A, E達朗貝爾方程(或稱的非齊次波動方程)為J,t2第六章正弦平面電磁波歐拉公式:ejxcosx j sin x1、正弦電磁場(1)正弦電場、磁場強度的復(fù)數(shù)表示方法(以電場強度為例

18、) 在直角坐標系中，正弦電磁場的電場分量可以寫成：E(x, y,z,t)axExm(x, y,z) cos tx(x,y,z)ayEym(x, y,z) cos t運用歐拉公式將其表示成復(fù)數(shù)矢量形式y(tǒng)(x, y,z) azEzm(x, y,z) cos tz(x,y, z)ExExmcosEyEymcosEzEzmcostx(x, y,z)ReExmej(tx)Re(Exmejty(x,y,z)ReEymej(ty)Re(Eymejtz(x,y,z)ReEzmej(z)Re(Ezmejejxmex,EymEymejy,EzmEzmejz分另t)t)t)其中，ExmE它的模和相位角都是空間坐標的

19、函數(shù)，因此E(x,y,z,t) Re(axExmayEymazEzm)ej tRe(Eej t)其中，E axExmayEymazEzm，稱為電場強度復(fù)矢量*它含有各分量的振幅和初相兩大要 素。電場強度復(fù)矢量是一個為簡化正弦場計算的表示符號，一般不能用三維空間中一個矢量來表示， 也不能寫成指數(shù)形式。例題(1)1將以下場矢量的瞬時值改寫為復(fù)數(shù)；將場得復(fù)矢量寫為瞬時值.a . . x . x.HaxHk( )sin()sin(kz t) azH0cos()cos(kz t)aExm(2)解：(1)因為2jE0sincos(kzcos(kxcos )ejkzsint)是偶函數(shù)，那么cos(kzt)

20、cos(kz)而sin(kz t) cos(kzt -) cos( tkz )2HmaxH0k(a)sin(g)e ajkzj 2xjkz2azH0cos( )eaaxHxmazHzm(2)因為Exm2 jE0sin cos(kxcos )ejkzsin2E()sin cos(kxcosj (kzsin)e-)2故Ex2E0sin cos(kxcos ) cos( t kzsin)(2)麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式H J j DE j B,此方程組沒有時間因子，注意：式中的場量仍代表復(fù)矢量，標量仍代表復(fù)數(shù)。B 0D對于正弦電磁場的求解，我們可根據(jù)給出的源寫出其復(fù)矢量和復(fù)數(shù)，然后利用麥克斯韋方程組的

21、復(fù)數(shù) 形式求出場得復(fù)矢量，再由電磁場的復(fù)矢量寫出電磁場的正弦表達式。在波陣面內(nèi)E和H的方向、振幅和相位不變的平面波。一般說來，大多數(shù)源輻射的電磁波為球面波。dzVpdt(2)均勻平面波的傳播特性例題2在真空中，正弦電磁波的電場分量為E(z,t)ay103sin( t z)，求波的磁場分量H(z,t)解：先將波的電場分量寫出復(fù)矢量，即Ey3 j( tj10 ez),將其代入矢量的麥克斯韋方程組:E j0H可得:Hax-L103ej(t0(3)正弦場中的坡印廷定理1j0將上式展開取實部得:Ey，將EyH(z,t)j103ej(t z)代入上式可得ax- 103sin( t z)0SSd S(PmPe PTRj2(Wm 平均w坪均)d14量E、H分別為正弦電場和磁場的幅值。正弦電磁場的坡印廷定理說明：流進閉合面S內(nèi)的有功功率供閉合面包圍的區(qū)域內(nèi)媒質(zhì)的各種功率損 耗；而流進(或流出)的無功功率代表著電磁波與該區(qū)域功率交換的尺度。(4)苴中 八丁Wm平均H2為磁場能量密度的平均值,1We平均4E2為電場能量密度的平均值。這里場亥姆霍茲方程(正弦電磁場波動方程的復(fù)數(shù)形式)2 _k E0,式中 k2k2H022H2、理想介質(zhì)中的均勻平面波(1)均勻平面波的波動方程及其解平面波是指波陣面為平面的電磁波。2稱為正弦電磁波的波數(shù)。均勻平面波是指波的電場E和磁場H只沿波的傳播方向變化， 而,v p