幾何代數(shù)：5-5二次型

1、5.5 二次型321321321321323121232221321234331414226433214682234,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf。的矩陣實(shí)二次型叫做唯一決定，實(shí)二次型由實(shí)對(duì)稱矩陣。于是是實(shí)數(shù)，這里，齊次多項(xiàng)式的二次實(shí)二次型是一個(gè)實(shí)系數(shù) 11ffAAxxfaaxxafTjiijjininjij。則且同階實(shí)對(duì)稱矩陣，是兩個(gè)和若命題： , BAxBxxAxxfBATT有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。階實(shí)對(duì)稱矩陣之間和個(gè)變量的實(shí)二次型在 nn標(biāo)準(zhǔn)實(shí)二次型次型。實(shí)二次型叫做標(biāo)準(zhǔn)實(shí)二項(xiàng)的只有平方項(xiàng)而沒有交叉合同。還是實(shí)對(duì)稱矩陣這里，在新變量下，則是可逆矩陣。這里，引入新變量由。

2、是實(shí)對(duì)稱矩陣這里，給定實(shí)二次型 ACCACyCyfCCyxAAxxfTTTT。合同于則稱，使得若存在可逆矩陣，和給定兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣定義： BAACCBCBAT合同是等價(jià)關(guān)系。命題：)2 , 4 , 3( ) 3, 2 , 4(diagdiag合同于例如，)0 , 1, 1 , 1 ( )0 ,10, 9 , 4(diagdiag合同于再例如，利用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)實(shí)二次型得，引入新變量由；對(duì)角化把用正交矩陣；的矩陣求實(shí)二次型 (3) )2( ) 1 (1yyfQyxAQQAQQAQAxxfAfTTT利用可逆變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的負(fù)慣性指數(shù)。叫做的正慣性指數(shù)，叫做唯一決定，由，這

3、里，合同于如下矩陣定理：任一實(shí)對(duì)稱矩陣 )( AprAApArrOEEAprp2222122221 :rpppTyyyyyyfCyxAxxf化成唯一的規(guī)范型都可以由可逆變換任一實(shí)二次型推論典型例題。試求，的秩為若，：令例題tfxtxxxxxf 2 221323121005 . 0015 . 010tAttA解答：面？是一張什么樣的二次曲求參數(shù)，的秩為若令：例題166255 (2); (1) 2 .66255 2323121232221323121232221xxxxxxcxxxcfxxxxxxcxxxf30722433351315 ccAcAAxxfT解答：943333510443333513

4、15AE1949 , 4 , 023221yyyyfQyxdiagAQQAQQTT正定二次型和正定矩陣 為正定矩陣。稱正定二次型，相應(yīng)地為，則稱若是實(shí)對(duì)稱矩陣，這里，給定實(shí)二次型 00 Afx,f(x)AAxxfT負(fù)定矩陣。為相應(yīng)地稱負(fù)定二次型，為則稱，若 00 Afx,f(x)正定矩陣的刻畫特征值都是正數(shù)。的充要條件是它的實(shí)對(duì)稱矩陣正定：命題1 是可逆矩陣。這里，即，當(dāng)且僅當(dāng)它合同于正定實(shí)對(duì)稱矩陣：命題 2 CCCAEAT。，即其順序主子式都大于零正定當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)對(duì)稱矩陣：命題 )1( , 0 3 1111,n,raaaaArrrrnn典型例題是否正定？：實(shí)二次型例題32312322214683 1 xxxxxxxf。其中都是正的，三個(gè)順序主子式解答： 3 823210303 AAAxxfT?42244 2 323121232221正定什么時(shí)候?qū)嵍涡停豪}xxxxxxxxxf) 1 , 2(8444212411:2AAAxxfT解答正定。，足夠大時(shí)當(dāng)證明：，給定實(shí)對(duì)稱矩陣：例題 3 tEAtA的最小特征值。是）（的最大特征值；是）（證明：，是實(shí)對(duì)稱的這里，給定實(shí)二次型：例題 min 2 max 1 4 11Af(x)Af