必修4第二章平面向量導(dǎo)學(xué)案

1、第二章平面向量向量的概念及表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量；2. 通過對向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別；3. 通過學(xué)生對向量與數(shù)量的識別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力?！緦W(xué)習(xí)重難點】重點：平行向量的概念和向量的幾何表示；難點：區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量；基礎(chǔ)梳理1. 向量的定義： _;2. 向量的表示：（ 1）圖形表示：（ 2）字母表示：3. 向量的相關(guān)概念：（ 1）向量的長度（向量的模） ：

2、_ 記作： _（ 2）零向量： _ ，記作： _（ 3）單位向量： _（ 4）平行向量： _（ 5）共線向量： _（6）相等向量與相反向量：_思考：（1）平面直角坐標(biāo)系中，起點是原點的單位向量，它們的終點的軌跡是什么圖形_（ 2）平行向量與共線向量的關(guān)系：_（ 3）向量“共線”與幾何中“共線”有何區(qū)別：_【典型例題】例 1. 判斷下例說法是否正確，若不正確請改正：（1）零向量是唯一沒有方向的向量；（2）平面內(nèi)的向量單位只有一個；（3）方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是相反向量；rrrrrr（ 4）向量 a 和 b 是共線向量， b / /c ，則 a 和 c 是方向相同的向量；（ 5）

3、相等向量一定是共線向量；例 2. 已知 O 是正六邊形ABCDEF 的中心，在圖中標(biāo)出的向量中：uuur（1）試找出與 EF 共線的向量；EDuuur（2）確定與 EF 相等的向量；uuur uuurFO（3） OA 與 BC 相等嗎CAB例 3. 如圖所示的為34 的方格紙（每個小方格都是邊長為1 的正方形），試問：起點和終uuuruuur2 的向點都在小方格的頂點處且與向量AB 相等的向量共有幾個與向量AB 平行且模為uuur3 2 的向量共有多少個量共有幾個與向量AB 的方向相同且模為BA課后鞏固訓(xùn)練1. 判斷下列說法是否正確，若不正確請改正：uuuruuur（ 1）向量 AB 和 CD

4、 是共線向量，則 A、B、C、D 四點必在一直線上；（ 2）單位向量都相等；（ 3）任意一向量與它的相反向量都不想等；uuuruuur（4）四邊形ABCD 是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)ABCD ；（5）共線向量，若起點不同，則終點一定不同；uuur2. 平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知 | OA|2 ，則 A點構(gòu)成的圖形是 _uuur1uuur uuuruuurABCD 的形狀是 _3. 四邊形 ABCD 中， ABDC ,| AD | | BC |，則四邊形2rrr4. 設(shè) a0 ，則與 a 方向相同的單位向量是 _5. 若 E、F、M 、N 分別是四邊形 ABCD 的邊 AB、BC、CD、DA 的中

5、點。uuuruuuur求證： EF / /NM6. 已知飛機(jī)從甲地北偏東 30o 的方向飛行 2000km到達(dá)乙地，再從乙地按南偏東 30o 的方向飛行 2000km到達(dá)丙地，再從丙地按西南方向飛行 1000 2km到達(dá)丁地，問：丁地在甲地的什么方向丁地距甲地多遠(yuǎn)向量的加法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握向量加法的定義；2. 會用向量加法的三角法則和向量的平行四邊形法則作兩個向量的和向量；3. 掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會用它們進(jìn)行向量計算【學(xué)習(xí)重難點】重點：向量加法的三角法則、平行四邊形則和加法運(yùn)算律；難點：向量加法的三角法則、平行四邊形則和加法運(yùn)算律；基礎(chǔ)梳理1. 向量的和、向量的加法：r r

6、已知向量 a 和 b ， _uuurrr則向量 OB 叫做 a 與 b 的和，記作： _ 叫做向量的加法rBbrrbaOr Aa注意：兩個向量的和向量還是一個向量；2. 向量加法的幾何作法：（1）三角形法則的步驟：rrOB 就是所做的 ab（ 2）平行四邊形法則的步驟：uuurrrOC 就是所做的 ab注意： 向量加法的平行四邊形法則，只適用于對兩個不共線的向量相加，而向量加法的三角形法則對于任何兩個向量都適用。3. 向量加法的運(yùn)算律：（1）向量加法的交換律：_（2）向量加法的結(jié)合律：_思考：如果平面內(nèi)有n 個向量依次首尾相接組成一條封閉折線，那么這n 條向量的和是什么_【典型例題】例 1.

7、如圖，已知O 為正六邊形 ABCDEF 的中心，作出下列向量：uuuruuuruuuruuuruuuruuur（1） OAOC（2） BCEF（3） OAFEEDF?OCAB例 2. 化簡下列各式uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuur（1） ABBCCDDAEA（ 2） ABMBBOOMuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（3） ABDFCDBCFA（4） ABCD(BCDB)BC例 3. 在長江南岸某處， 江水以 12.5km / h 的速度向東流， 渡船的速度為 25km / h ，渡船要垂直地渡過長江，其航向

8、應(yīng)如何確定課后鞏固訓(xùn)練r rrr1. 已知 a,b ，求作： a b（ 1）rarb（ 2）rarb2. 已知 O 是平行四邊形ABCD 的交點，下列結(jié)論正確的有_（ 1）（ 3）uuuruuuruuuruuuruuuruuurABCBAC（2） ABADACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrADCDBD（4） AOCOOBOD03.設(shè)點 O是uuuruuuruuurrABC 的 _心；ABC 內(nèi)一點，若 OAOBOC0，則點 O為r rrr rr rr4. 對于任意的 a,b ，不等式 | a |b | | ab | | a | b |成立嗎請說明理由。向量的減法【學(xué)

9、習(xí)目標(biāo)】1.理解向量減法的概念；2.會做兩個向量的差；3.會進(jìn)行向量加、減得混合運(yùn)算4.培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力和認(rèn)識問題的能力【學(xué)習(xí)重難點】重點：三角形法則難點：三角形法則，向量加、減混合運(yùn)算基礎(chǔ)梳理1.向量的減法：r rrr r a 與 b 的差：若 _，則向量x 叫做 a 與 b 的差，記為 _r r向量 a 與 b 的減法：求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法；注意：向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算。r r2. 向量 a b 的減法的作圖方法：作法： _ _ _uuurrr則 BA a b3. 減去一個向量等于加上這個向量的相反向量rrrraba( b)4. 關(guān)于向量減法需要注意一下幾點：在用三

10、角形法則做向量減法時，只要記住連接兩向量的終點，箭頭指向被減向量即可.uuurruuurr以向量ABa, ADb 為 鄰 邊 作平 行四 邊 形 ABCD ， 則 兩條 對角 線的 向 量為uuurrruuurrr uuurrrACab,BDba ， DBab 這一結(jié)論在以后應(yīng)用還是非常廣泛，應(yīng)加強(qiáng)理解；uuuruuuruuur對于任意一點 O ， ABOBOA ，簡記“終減起” ，在解題中經(jīng)常用到，必須記住.【典型例題】r r r urrr rur例 1. 已知向量 a,b,c, d ，求作向量：ab,cd ；rbrrcaurdrrrr思考：如果 a / / b ，怎么做出 ab例 2. 已

11、知 O 是平行四邊形ABCD 的對角線的交點，若uuurr uuurr uuurrABa, DAb,OCc, 試證rrruuur明： bcaOADCrOrbcArB思考uuuruuuruuuruuuruuuruuur1.（1）OAOCCAOCCBCDrruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（ 2） caOCABOCDCODOAAD2. 任意一個非零向量都可以表示為兩個不共線的向量和例 3. 化簡下列各式（ 1）（ 2）uuuruuuruuuruuurABBC( BDAD)uuuruuuruuuruuuruuurABDABDBCCAuuuruuuruuuruuur（3） (

12、ABDC )( ACBD)課后鞏固訓(xùn)練1. 在ABC 中，C90o ， ACBC ，下列等式成立的有_uuuruuuruuuruuur（1） | CACB| |CACB |uuuruuuruuuruuur（2） | ABAC | |BABC |uuuruuuruuuruuur（3） | CABA| |CBAB |uuuruuuruuuruuuruuuruuur（4） | CACB |2| ABAC |2| BACA |2uuuruuur uuuruuur2. 已知四邊形ABCD 的對角線 AC 與 BD 相交與 O 點，且 AOOC, BOOD ，求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形。3. 如

13、圖， ABCD 是一個梯形，AB / /CD,AB2CD ， M ,N 分別是 DC,AB 的中uuurr uuurrr ruuuruuuur點，已知 ABa, ADb, 試用 a,b 表示 BC 和 MNMDCABN向量的數(shù)乘（ 1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握向量數(shù)乘的定義，會確定向量數(shù)乘后的方向和模；2. 掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，并會用它進(jìn)行計算；3. 通過本課的學(xué)習(xí)，滲透類比思想和化歸思想【學(xué)習(xí)重難點】重點：向量的數(shù)乘及運(yùn)算律；難點：向量的數(shù)乘及運(yùn)算律；基礎(chǔ)梳理1. 向量的數(shù)乘的定義：r一般地，實數(shù)與向量a 的積是一個向量，記作：_；它的長度和方向規(guī)定如下：（1） |ra | |r|a |（2

14、）當(dāng)0 時， _ ；當(dāng) 0 時， _ ；當(dāng) 0 時， _ ；_叫做向量的數(shù)乘2. 向量的線性運(yùn)算定義：_ 統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算；3. 向量的數(shù)乘的作圖：rrr已知 a,作 bar當(dāng)0 時，把 a 按原來的方向變?yōu)樵瓉淼谋?；r當(dāng)0 時，把 a 按原來的相反方向變?yōu)樵瓉淼谋叮?. 向量的數(shù)乘滿足的運(yùn)算律：r r設(shè) , 為任意實數(shù)， a,b 為任意向量，則（1）結(jié)合律_（2）分配律_注意：（ 1）向量本身具有“形”和“數(shù)”的雙重特點，而在實數(shù)與向量的積得運(yùn)算過程中，既要考慮模的大小， 又要考慮方向， 因此它是數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用， 這一點提示我們研究向量不能脫離它的幾何意義；（2）向量的數(shù)乘及運(yùn)算性質(zhì)

15、可類比整式的乘法來理解和記憶。【典型例題】r r例 1. 已知向量 a,b ，求作：rarbr（ 1）向量 2.5ar r（ 2） 2a 3b例2.計算r（ 1） ( 5)g4arrrrr（2） 5(ab)4(ab)3arrr3(rrr（3） 2(2a6b3c)3a4b2c)注意：（ 1）向量的數(shù)乘與實數(shù)的數(shù)乘的區(qū)別：相同點：這兩種運(yùn)算都滿足結(jié)合律和分配律。不同點：實數(shù)的數(shù)乘的結(jié)果（積）是一個實數(shù)，而向量的數(shù)乘的結(jié)果是一個向量。（2）向量的線性運(yùn)算的結(jié)果是一個向量，運(yùn)算法則與多項式運(yùn)算類似。uuur uuuruuuruuuruuur uuuruuur例 3. 已知 OA, OB 是不共線的向量

16、，APt AB,(tR) ，試用 OA,OB 表示 OP例 4. 已知： ABC 中， D 為 BC 的中點，交于 O 點，求證：APBOE, F 為 AC,BA的中點， AD, BE,CF 相uuur1 uuuruuur（1） AD( ABAC)2uuuruuuruuurr（2） ADBECF0uuuruuuruuurr（3） OAOBOC0AFOBDEC課后鞏固訓(xùn)練1. 計算：rrrr（1） 3(5a3b)2(6ab)rrrrrr（2） 4(a3b5c) 2(3a6b8c)r rrrrrrrrr r2. 已知向量 a, b且 3(xa)2( x2a)4( xab)0,求 xuuurr uu

17、urr uuuruuurr r3. 在平行四邊形ABCD 中， ABa, ADb, AN3NC, M 為 BC 的中點，用 a, buuuur來表示 MNuuurr uuurrABC 的重心，4. 如圖，在ABC 中， ABa, BCb, AD 為邊 BC 的中線， G 為uuur求向量 AGAra?GBrDCb向量的數(shù)乘（ 2）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解并掌握向量的共線定理；2. 能運(yùn)用向量共線定理證明簡單的幾何問題；3. 培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力【學(xué)習(xí)重難點】重點：向量的共線定理；難點：向量的共線定理；基礎(chǔ)梳理1. 向量的線性表示：rr rrrr若果 ba,( a0) ，則稱向量b 可以用非零向

18、量a 線性表示；2. 向量共線定理：rr思考：向量共線定理中有a0 這個限制條件，若無此條件，會有什么結(jié)果【典型例題】例 1. 如圖， D, E 分別是ABC 的邊 AB, AC 的中點，CEuuuruuur（1）將 DE 用 BC 線性表示；uuuruuur（2）求證： BC 與 DE 共線；ur uur例2.設(shè)e , e是兩個 不共線的 向量，已知uuururuur 1uuur2uruuruuururuurk 的值。AB2e1ke2 , CBe13e2 ,CD2e1e2 ，若 A, B, D 三點共線，求uruur變式：設(shè) e , e是兩個不共線的向量 , 已知12uuururuur uu

19、ururuur uuururuurAB2e18e2 , CBe13e2 ,CD2e1e2 , 求證： A, B, D 三點共線。例 3. 如圖，OAB 中， C 為直線 AB上一點， AC CB,1,uuuruuuruuurOAOB求證： OC1思考：（1）當(dāng)1時，你能得到什么結(jié)論uuuruuuruuurOAOB 表明：起點為 O ，終點為直線AB上一點 C 的（2）上面所證的結(jié)論： OC1向量uuur OCuuur uuur可以用 OA,OB 表示，那么兩個不共線的向量uuur uuur OA, OB可以表示平面上任意一個向量嗎課后鞏固訓(xùn)練1. 已知向量raur2e1uur r2e2 ,bu

20、ur3(e2ure1 ), 求證：r r a, b為共線向量；ur uurruruur ruruur r r2. 設(shè) e1 ,e2 是兩個不共線的向量，a2e1e2 ,bke1e2 ,若 a, b 是共線向量， 求 k 的值。3. 已知向量否存在實數(shù)ruruur ruruururuurruruura2e3e ,b2e3e , 其中 e , e不共線，向量c2e9e，是12121212,urrr r，使得 dab 與 c共線4. 平面直角坐標(biāo)系中，已知A(3,1), B(uuuruuuruuur1,3), 若點 C 滿足 OCOAOB, 其中,R, A, B,C 三點共線，求的值；231 平面向

21、量基本原理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 了解平面向量的基本定理及其意義；2 掌握三點（或三點以上）的共線的證明方法：3 提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力?；A(chǔ)梳理1、平面向量的基本定理如果 e ， e 是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a ，有且12只有一對實數(shù)1 ，2 使 a = 1 e1 + 2 e22. 、基底：平面向量的基本定理中的不共線的向量e1 ,e2 ，稱為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。思考：（ 1） 向量作為基底必須具備什么條件（ 2） 一個平面的基底唯一嗎答：（ 1） _（ 2） _3、向量的分解、向量的正交分解：一個平面向量用一組基底e1 ,e2表示成 a =1

22、e1 + 2 e2 的形式，我們稱它為向量的分解，當(dāng) e1 ,e2 互相垂直時，就稱為向量的正交分解。4、 點共線的證明方法：_【典型例題】例 1：如圖：平行四邊形ABCD的對角線AC 和BD 交于一點M ，AB= a,AD= b 試用a,b ，表示MC,MA,MB和 MD。DCMbABa例 2： 設(shè) e1， e2是平面的一組基底，如果AB =3 e1 2 e2， BC =4 e1 +e2 ，CD =8 e1 9 e2 ，求證： A、 B、 D三點共線。1例 3： 如圖，在平行四邊形ABCD中，點 M 在 AB 的延長線上， 且 BM=2AB，點 N 在 BC 上，且 BN=1 BC ，用向量

23、法證明：M、 N、 D 三點共線。3DCNABM課后鞏固訓(xùn)練1、若 e1 ， e2 是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中不能作為一組基底的（）A、 e 2 e和 e +2 eB 、 e 與 3 e121212C、 2 e1 +3 e2 和 - 4e1 6 e2D、 e1 + e2 與 e12、若 e1 ， e2 是平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么下列結(jié)論成立的是（）A、若實數(shù)1 ，2 使 1 e1 + 2 e2 =0，則1 = 2 =0B、空間任意向量都可以表示為a = 1 e1 +2 e2 ， 1 ，2RC、1 e1 + 2 e2 ，1 ，2R 不一定表示平面內(nèi)一個向量D、對于這一平

24、面內(nèi)的任一向量a ，使 a = 1 e1 +2 e2 的實數(shù)對1 ，2 有無數(shù)對3、三角形ABC 中，若 D， E， F 依次是AB四等分點，則以CB = e1 ， CA = e2為基底時，用 e1 ， e2 表示 CFBFE·D·AC4、若 a = - e +3e ,b = 4 e +2e , c = - 3e+12 e , 寫出用1 b +2 c 的形式121212表示 a232 向量的坐標(biāo)表示 (1)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 能正確的用坐標(biāo)來表示向量；2、 能區(qū)分向量的坐標(biāo)與點的坐標(biāo)的不同；3、 掌握平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算；4、 提高分析問題的能力。基礎(chǔ)梳理1、一般地，對于向

25、量a，當(dāng)它的起點移至_時，其終點的坐標(biāo)( x, y) 稱為向量 a的（直角）坐標(biāo)，記作_ 。2 、 有 向 線 段 AB 的 端 點 坐 標(biāo) 為 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ， 則 向 量 AB的坐標(biāo)為_ 。3、若 a = ( x1 , y1 ) ， b(x2 , y2)a + b =_ 。ab_ ?！镜湫屠}】例 1：如圖，已知 O是坐標(biāo)原點， 點 A 在第一象限，OA4 3,xOA600，求向量 OA的坐標(biāo)。例 2：已知 A（ -1 ， 3）， B（ 1， -3 ）， C (4 ,1), D(3 ,4),求向量OA,OB, AO, CD 的坐標(biāo)。例 3：平面上三

26、點 A（ -2,1 ），B（ -1,3 ），C（ 3，4）, 求 D 點坐標(biāo)，使 A,B,C,D 這四個點構(gòu)成平行四邊形的四個頂點。例 4：已知 P1（x1, y121 2上一點， 且 P1 PPP2 (1) ，），P（x2 , y2 ），P 是直線 PP求 P 的坐標(biāo)。課后鞏固訓(xùn)練1、與向量a(12,5) 平行的單位向量為_2、若 O（ 0,0 ） ,B(-1,3)且 OB/=3 OB ，則B / 坐標(biāo)是： _3、已知 O是坐標(biāo)原點，點A 在第二象限，OA =2 ,xOA1500 求向量OA 的坐標(biāo)。4、已知邊長為2 的正三角形ABC，頂點 A 在坐標(biāo)原點，AB邊在 x 軸上，點C 在第一象

27、限，D為 AC的中點，分別求AB, AC, BC, BD 的坐標(biāo)。232 向量的坐標(biāo)表示（ 2）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 進(jìn)一步掌握向量的坐標(biāo)表示；2、 理解向量平行坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過程；3、 提高運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示解決問題的能力。基礎(chǔ)梳理1、 向量平行的線性表示是_2、向量平行的坐標(biāo)表示是：設(shè)a( x1 , y1 ) ， b ( x2 , y2 )(a0) ，如果 a b，那么_，反之也成立。3、已知 A ， B ， C ， O四點滿足條件：OAOBOC ，當(dāng)1 ，則能得到_【典型例題】11例 1：已知 A （1,0) ， B(3, 1) , C(1,2) , 并且 AEAC, BFBC, 求證： EF33 AB 。例 2：已知 a(1,0) ,b(2,1) ，當(dāng)實數(shù) k 為何值時， 向量 k ab 與 a3b 平行并確定此時它們是同向還是反向。例 3：已知點O, A, B,C,的坐標(biāo)分別為（0， 0），（ 3， 4），（ 1， 2），（ 1， 1），是否存在常數(shù)t ， OAtOBOC成立解釋你所得結(jié)論的幾何意義。課后鞏固訓(xùn)練1.已知 a(2,3),b(6, y), 且 a b ，求實數(shù) y 的值。2. 已知，平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別為A (2, 1) ，B ( 1,3)， C (3,4)，求第四個頂點的D 坐標(biāo)。3.已知 A (0, 2) ， B (2