一道經(jīng)典例題的幾種解法

1、例題：已知橢圓例題：已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)為的左、右焦點(diǎn)為 、 ，若橢圓若橢圓 上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn) ，使，使 ，求該橢圓的離，求該橢圓的離心率的取值范圍。心率的取值范圍。 1F2F2222:1xyCab(0)abMC120FM F M Myx1F2Fo解法一：解法一：設(shè)設(shè) ，由，由 可得可得( , )M x y120FM F M 方程方程 ，與橢圓方程聯(lián)立消去，與橢圓方程聯(lián)立消去 整理得整理得222xycy222222()()0abxa bc2,1)2e由題意可知此方程要有解，即滿足：由題意可知此方程要有解，即滿足：22222204()()0ab a bc，即，即 ，故，故222ac提醒：一

2、元二次方程有解時(shí)，要注意主元的取值范圍。提醒：一元二次方程有解時(shí)，要注意主元的取值范圍。例題：已知橢圓例題：已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)為的左、右焦點(diǎn)為 、 ，若橢圓若橢圓 上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn) ，使，使 ，求該橢圓的離，求該橢圓的離心率的取值范圍。心率的取值范圍。 1F2F2222:1xyCab(0)abMC120FM F M Myx1F2Fo解法二：解法二：由解法一可知點(diǎn)由解法一可知點(diǎn) 滿足方程滿足方程( , )M x y222xyc由此可知點(diǎn)由此可知點(diǎn) 應(yīng)在以應(yīng)在以 為圓心，為圓心， 為半徑的圓上。為半徑的圓上。Mocbc因此，要存在滿足題意的點(diǎn)因此，要存在滿足題意的點(diǎn) ，由圖可知，即只要滿足

3、：，由圖可知，即只要滿足：M。故。故2,1)2e例題：已知橢圓例題：已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)為的左、右焦點(diǎn)為 、 ，若橢圓若橢圓 上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn) ，使，使 ，求該橢圓的離，求該橢圓的離心率的取值范圍。心率的取值范圍。 1F2F2222:1xyCab(0)abMC120FM F M Myx1F2Fo解法三：解法三：設(shè)設(shè) ，由橢圓定義，由橢圓定義12|,|FMr F Ms可知：可知：2rsa由已知條件由已知條件 可知：可知： 為直角三角形，即有為直角三角形，即有12FMF2222(2 )4rscc120FM F M 2,1)2e222222222(2 )()24248arsrsrscrscrs

4、c因此因此即：即： ，故，故222acrs例題：已知橢圓例題：已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)為的左、右焦點(diǎn)為 、 ，若橢圓若橢圓 上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn) ，使，使 ，求該橢圓的離，求該橢圓的離心率的取值范圍。心率的取值范圍。 1F2F2222:1xyCab(0)abMC120FM F M Myx1F2Fo而在而在 中，中， ，故有，故有1Rt FBO1,FOc BOb01tantan451cFBObB解法四：解法四：當(dāng)當(dāng) 點(diǎn)位于上頂點(diǎn)點(diǎn)位于上頂點(diǎn) 處時(shí)，處時(shí)， 是是M最大角。因此，要滿足題意，就只要滿足：最大角。因此，要滿足題意，就只要滿足：12FMF01290FBF，即：，即： 。B0145FBO即：即： ，故，故2,1)2ebc方法總結(jié)方法總結(jié)求圓錐曲線離心率的基本方法是求圓錐曲