垂直于弦的直徑教案設(shè)計(jì)

1、垂直于弦的直徑 教案設(shè)計(jì)第一課時(shí) ( 一)教學(xué)目標(biāo) ：(1) 理解圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理的推證過(guò)程 ； 能初步應(yīng)用 垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證明(2) 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力(3) 通過(guò)圓的對(duì)稱性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué) 生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛 .教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：垂徑定理及應(yīng)用；從感性到理性的學(xué)習(xí)能力 難點(diǎn)：垂徑定理的證明 教學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)：(一) 實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，提出問(wèn)題：1、實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對(duì)稱性，教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)不變性第 8 頁(yè)2、提出問(wèn)題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題通過(guò)演示實(shí)驗(yàn)觀察感性理性引出垂徑定理

2、(二) 垂徑定理及證明： 求證： AE=EB，已知：在O0中，CD是直徑，AB是弦，CDAB垂足為E.證明：連結(jié)0A OB則OA=OB又 CDAB直線CD是等腰 OAB的對(duì)稱軸，又是O0 的對(duì)稱軸.所以沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合， A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，AE和BE重合，分別和 、重合.因匕， AE=BE， =， =. 從而得到圓的一條 重要性質(zhì) .垂徑定理：平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：CD為OO 的直徑，CDAB AE=EB =,為了運(yùn)用的方便，不易出現(xiàn)錯(cuò)誤，將原定理敘述為：過(guò)圓 心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對(duì)的優(yōu)??；平分弦 所對(duì)的劣弧 .

3、 加深對(duì)定理的理解，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)，避 免學(xué)生記混 .（三）應(yīng)用和訓(xùn)練例1已知在OO中，弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心O到AB的距離為3cmT,求OO的半徑.分析：要求OO的半徑，連結(jié) OA只要求出OA的長(zhǎng)就可以了，因?yàn)橐阎獥l件點(diǎn) 0到AB的距離為3cm,所以作OEAB于E,而 AE=EB= AB=4cmt匕時(shí)解 Rt AOE即可.解：連結(jié)OA作OEAE于E.則 AE=EB.AB=8cm AE=4cm.又 OE=3cm在 Rt AOE中， (cm).OO的半徑為5 cm.說(shuō)明：學(xué)生獨(dú)立完成，老師指導(dǎo)解題步驟；應(yīng)用垂徑定理計(jì)算：涉及四條線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高 h關(guān)系： r =

4、h+d; r2 =d2 + (a/2)2例2、已知：在以0為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn).求證AC=BD.(證明略) 說(shuō)明：此題為基礎(chǔ)題目， 對(duì)各個(gè)層次的學(xué)生都要求獨(dú)立完成 練習(xí)1:教材P78中練習(xí)1, 2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開評(píng)價(jià)、交流 .指導(dǎo)學(xué)生歸納：構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾 股定理的結(jié)合是計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的常用方 法; 在圓中解決弦的有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線弦心距( 四 ) 小節(jié)與反思 教師組織學(xué)生進(jìn)行： 知識(shí)： (1) 圓的軸對(duì)稱性 ;(2) 垂徑定理及應(yīng)用 .方法： (1) 垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、 弦心距等

5、問(wèn)題的方法，構(gòu)造直角三角形 ;(2) 在因中解決與弦 有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線弦心距 ；(3) 為了更好理解垂徑定 理，一條直線只要滿足過(guò)圓心；垂直于弦；則可得平分 弦; 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 ; 平分弦所對(duì)的劣弧( 五 ) 作業(yè)教材 P84 中 11、12、13.第二課時(shí) （ 二 ）教學(xué)目標(biāo) ：（1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個(gè)推論及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用（2）通過(guò)對(duì)推論的探討，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，概括問(wèn)題的能力 . 促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展 和提高（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關(guān)系 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：垂徑定理的兩個(gè)推論；對(duì)推論的探究方法 難點(diǎn)：垂徑定理的推論 1.學(xué)習(xí)活動(dòng)

6、設(shè)計(jì)：（一）分解定理 （對(duì)定理的剖析 ） 1、復(fù)習(xí)提問(wèn)：定理：平分這條弦，并且平分弦所對(duì)應(yīng)的兩條弧 .2、剖析： （ 教師指導(dǎo) ） （二）新組合，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題： （A 層學(xué)生自己組合，小組交流，B 層學(xué)生老師引導(dǎo) ），（包括原定理，一共有 10 種）（三）探究新問(wèn)題，歸納新結(jié)論：（1） 平分弦 （ 不是直徑 ）的直徑垂直于弦，并且平分弦對(duì)應(yīng)的兩條弧 .(2) 弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦對(duì)應(yīng)的兩條弧(3) 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦 所對(duì)的另一條弧 .(4) 圓的兩條平行線所夾的弧相等(四) 鞏固練習(xí)： 練習(xí) 1、平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧這句話對(duì)嗎

7、 ?為什么 ?( 在推論 1(1) 中，為什么要附加不是直徑這一條件 .)練習(xí)2、填空：在O0中若MNABMN為直徑，則 若AC=BC MN為直徑，AB不是直徑，則則若MNAB AC=BC則 若=,MN為直徑，則 ( 此題目的：鞏固定理和推論 ) ( 五 ) 應(yīng)用、反思 例、四等分 .(A 層學(xué)生自主完成，對(duì)于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完 成) 教材P80中的第3題圖，是典型的錯(cuò)誤作.此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來(lái)平分弧的方法，通過(guò)學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力；通過(guò)與教材P80中的第 3 題圖的對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)感性知識(shí)的認(rèn)識(shí)及理性知識(shí)的 理解 . 培養(yǎng)學(xué)生的思維能力 .（六） 小結(jié)：

8、知識(shí)：垂徑定理的兩個(gè)推論 能力：推論的研究方法；平分弧的作圖（七） 作業(yè) ： 第三課時(shí) 垂徑定理及推論在解題中的應(yīng)用 教學(xué)目的： 要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論，會(huì)解決有關(guān)的證明，計(jì) 算問(wèn)題 .培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?； 提高學(xué)生方程思想、分類 討論思想的應(yīng)用意識(shí) .通過(guò)例 4（趙州橋）對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義的教育 ；并向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，又反過(guò)來(lái)服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義 思想 教學(xué)重點(diǎn)：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn) ：如何進(jìn)行輔助線的添加 教學(xué)內(nèi)容：（一）復(fù)習(xí) 1. 垂徑定理及其推論 1：對(duì)于一條直線和一個(gè)圓來(lái)說(shuō)，具備F列五個(gè)條件中的任何個(gè)，那么也具有其他三個(gè)：直線過(guò)圓心；

9、垂直于弦； 平分弦； 平分弦所對(duì)的優(yōu) ??；平分弦所對(duì)的劣弧.可簡(jiǎn)記為：知2推3 推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等 2. 應(yīng)用垂徑定理及其推論計(jì)算 （ 這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究 ）涉及四條線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距 d弓形高h(yuǎn)關(guān)系： r =h+d ； r2 =d2 + (a/2)23. 常添加的輔助線： （ 學(xué)生歸納 ） 4. 可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關(guān)系 ； 同 時(shí)為圓中的計(jì)算、作圖提供依據(jù) 作弦心距 ； 作半徑 .構(gòu)造直角三角形（二） 應(yīng)用例題： （讓學(xué)生分析，交流，解答，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納） 例 1、 1300 多年前，我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是

10、圓 弧形，它的跨度 （ 弧所對(duì)的弦的長(zhǎng) ）為 37.4 米，拱高 （弧中點(diǎn)到弦的距離，也叫弓形的高 ）為 7.2 米，求橋拱的半徑 （精確到 0.1 米 ).說(shuō)明：對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義的教育；應(yīng)用題的解題思路: 實(shí)際問(wèn)題 （轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形 ） 數(shù)學(xué)問(wèn)題 .例2、已知：O0的半徑為5，弦AB/ CD , AB=6 , CD=8 .求：AB與CD間的距離.（讓學(xué)生畫圖） 解：分兩種情況：當(dāng)弦AB CD在圓心O的兩側(cè)過(guò)點(diǎn)O作EFAB于E,連結(jié)OA OC又 AB/ CD EFCD.（作輔助線是難點(diǎn)，學(xué)生往往作OEABOFAB就得EF=OE+O,錯(cuò)誤的結(jié)論）由 EF過(guò)圓心 O, EFAB AB =6

11、，得 AE=3在Rt OEA中，由勾股定理，得同理可得： OF=3EF=OE+OF=4+3=7.當(dāng)弦AB CD在圓心O的同側(cè)同（1） 的方法可得： OE=4， OF=3.說(shuō)明：此題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維 和解題方法：確定圖形分析圖形數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題 ; 培養(yǎng) 學(xué)生作輔助線的方法和能力 例 3、已知：AB是O0 的弦，半徑 OC/ AB , AB=24 , OC=15 .求：BC的長(zhǎng).解：（略，過(guò)O作OEAE于E ,過(guò)B作BFOC于 F ,連結(jié)OB.BC=)說(shuō)明：通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，并把已知與所求 線段之間找到關(guān)系 .（ 三 ） 應(yīng)用訓(xùn)練：P8l 中 1 題.在直徑為650mm勺圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬 AB=600mm求油的最大深度.學(xué)生分析，教師適當(dāng)點(diǎn)撥 分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高 是半徑與圓心 0到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理 來(lái)解決 .（四） 小結(jié)：1. 垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件2. 應(yīng)用定理可以證明的問(wèn)題; 注重構(gòu)造思想，方程思想、分第9頁(yè)類思想在解題中的應(yīng)用（五）作業(yè)：教材P84中15、16題，P85中B組2、3題.探究活動(dòng)直線MN與O0交于點(diǎn)A B,CD是O0的直徑，CEMNF