北師大版二次函數(shù)經(jīng)典總結(jié)及典型題[精品]

1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如y ax2bx c（ a，b ，c是常數(shù)， a 0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)： 和一元二次方程類(lèi)似， 二次項(xiàng)系數(shù) a0 ，而 b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù) y ax2bx c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a ，b ，c是常數(shù)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)， b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：yax2 的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)x0 時(shí)， y 隨 x

2、的增大而增大；x0 時(shí)， y 隨a0向上0 ，0y 軸x 的增大而減?。粁0 時(shí)， y 有最小值 0 x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。粁0 時(shí)， y 隨a0向下0 ，0y 軸x 的增大而增大；x0 時(shí)， y 有最大值 0 2. y ax2 c 的性質(zhì)：上加下減。a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；x0 時(shí)， y 隨a0向上0 ，cy 軸x 的增大而減小；x0 時(shí)， y 有最小值 c x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小；x0 時(shí)， y 隨a0向下0 ，cy 軸x 的增大而增大；x0 時(shí)， y 有最大值 c 23. y a x h 的性質(zhì)：左加右減。a

3、 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)xh 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；xh 時(shí)， ya0向上h ，0X=h隨 x 的增大而減小；x h 時(shí)， y 有最小值 0 xh 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小；xh 時(shí)， ya0向下h ，0X=h隨 x 的增大而增大；x h 時(shí)， y 有最大值 0 4. ya x2hk 的性質(zhì)：a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)xh 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；xh 時(shí)， ya0向上h ，kX=h隨 x 的增大而減小；x h 時(shí)， y 有最小值 k xh 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；xh 時(shí)， ya0向下h ，kX=h隨 x 的增大而增大；x h 時(shí)， y 有

4、最大值 k 三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一： 將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) a x h2h ，k ；k ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) 保持拋物線(xiàn) y ax 2 的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h ，k處，具體平移方法如下：y=ax2向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k |個(gè)單位y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 ( h<0)】向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|個(gè)單位平移 |k|個(gè)單位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|個(gè)單位平移 |k|個(gè)單位y=a(x-

5、h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|個(gè)單位y=a(x-h)2+k2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ h 值正右移，負(fù)左移；k 值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”方法二： yax2bxc 沿 y 軸平移 :向上（下）平移m 個(gè)單位， yax2bxc 變成yax2bx cm （或 yax2bxcm ） yax2bxc 沿軸平移：向左（右）平移m 個(gè)單位， yax 2bxc 變成ya( xm)2b(xm)c （或 y a(xm) 2b( x m)c ）四、二次函數(shù) yax2k 與 yax2bxc 的比較h從解析式上看，yax2k 與 y2bxc是兩種

6、不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配hax2b2b ，k4acb2方可以得到前者，即yaxb4ac，其中 h2a4a2a4a五、二次函數(shù) y2bxc 圖象的畫(huà)法ax五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc 化為頂點(diǎn)式 ya(xh) 2k ，確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y 軸的交點(diǎn)0 ，c、以及0 ，c 關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)2h ，c、與 x 軸的交點(diǎn)x1 ，0 ， x2 ，0（若與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)）.畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與x 軸的交點(diǎn)，與 y 軸的交點(diǎn) .六、二次函數(shù) y

7、2bxc 的性質(zhì)ax1.當(dāng) a0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為xb ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4acb22a2a4a當(dāng) xb 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。划?dāng) xb時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； 當(dāng) xb2a2a2a時(shí)， y 有最小值 4acb24a2.當(dāng) a 0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為xb，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4acb2當(dāng)2a2a4axb 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) xb 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；當(dāng)xb時(shí)， y2a2a2a有最大值 4acb24a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：y2bxc （ a， b ， c 為常數(shù)， a0 ）；ax2.頂點(diǎn)式：ya( x2k （ a

8、， h ，k 為常數(shù)， a 0 ）；h )3.兩根式：ya( xx1 )( xx2 ) （ a 0， x1 ， x2 是拋物線(xiàn)與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式， 但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線(xiàn)與 x 軸有交點(diǎn)，即 b 2 4ac 0 時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù) a二次函數(shù)yax2bxc 中， a 作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，a 的值越大，開(kāi)口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開(kāi)口越大； 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向

9、下，a 的值越小，開(kāi)口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開(kāi)口越大總結(jié)起來(lái)，a 決定了拋物線(xiàn)開(kāi)口的大小和方向，a 的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a 的大小決定開(kāi)口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù) b在二次項(xiàng)系數(shù)a 確定的前提下，b 決定了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸 在 a0 的前提下，當(dāng) b0 時(shí)，b，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y 軸左側(cè)；02a當(dāng) b0 時(shí)，b，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是y 軸；02a當(dāng) b0 時(shí)，b，即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y 軸的右側(cè)02a 在 a0 的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng) b0 時(shí)，b，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y 軸右側(cè)；02a當(dāng) b0 時(shí)，b，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是y 軸；02a當(dāng) b0 時(shí)，b，即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y 軸的左側(cè)02

10、a總結(jié)起來(lái)，在a 確定的前提下，b 決定了拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置ab 的符號(hào)的判定：對(duì)稱(chēng)軸xb在 y 軸左邊則 ab 0 ，在 y 軸的右側(cè)則 ab 0 ，2a概括的說(shuō)就是“左同右異”總結(jié)：3. 常數(shù)項(xiàng) c 當(dāng) c0 時(shí)，拋物線(xiàn)與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方，即拋物線(xiàn)與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng) c0 時(shí)，拋物線(xiàn)與y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線(xiàn)與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0 ； 當(dāng) c0 時(shí)，拋物線(xiàn)與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸下方，即拋物線(xiàn)與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來(lái)， c 決定了拋物線(xiàn)與y 軸交點(diǎn)的位置總之，只要a ，b ，c 都確定，那么這條拋物線(xiàn)就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件

11、確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1. 已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線(xiàn)與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1. 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)y2bxc 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y2bxc ；axaxya xh2y a xh2k 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是k ；

12、2. 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)yax2bxc 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yax2bxc ；yaxh2ya xh2k 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是k ；3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)yax2bxc 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2yaxh2k ；k 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（即：拋物線(xiàn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180 °）2ax2b2ybxc 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是ybxc；ax2aya xh2yaxh2k k 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是5.關(guān)于點(diǎn)m，n 對(duì)稱(chēng)ya xh2ya xh22n kk 關(guān)于點(diǎn) m，n 對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是2m根據(jù)對(duì)稱(chēng)的

13、性質(zhì)， 顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換， 拋物線(xiàn)的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此 a永遠(yuǎn)不變 求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(xiàn)（或表達(dá)式已知的拋物線(xiàn)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程2bx c 0 是二次函數(shù) y2bxc 當(dāng)函數(shù)值 y0 時(shí)的特殊情況 .axax圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)b24ac0 時(shí)，圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) Ax1 ，0，B x2 ，0 ( x1x2 )

14、 ，其中的 x1 ，x2是一元二次方程ax2bxc0 a0 的兩根這兩點(diǎn)間的距離2ABx2 x1b4ac .a當(dāng)0時(shí)，圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，圖象與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn) .1'當(dāng) a0 時(shí)，圖象落在x 軸的上方，無(wú)論x 為任何實(shí)數(shù)，都有y0 ；2'當(dāng) a0 時(shí)，圖象落在x 軸的下方，無(wú)論x 為任何實(shí)數(shù)，都有y0 2. 拋物線(xiàn) yax2bxc 的圖象與y 軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0 ， c) ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位

15、置判斷二次函數(shù)yax2bxc 中 a ，b ， c 的符號(hào)， 或由二次函數(shù)中a ，b ， c 的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).0拋物線(xiàn)與x 軸有二次三項(xiàng)式的值可正、一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根兩個(gè)交點(diǎn)可零、可負(fù)0x 軸只二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拋物線(xiàn)與有一個(gè)交點(diǎn)0x 軸無(wú)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根 .拋物線(xiàn)與交點(diǎn) 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0) 本身就是所含字母x 的二次函數(shù)；下面以a0

16、 時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：十一、函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用剎車(chē)距離何時(shí)獲得最大利潤(rùn)最大面積是多少二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣: 二次函數(shù)拋物線(xiàn)，圖象對(duì)稱(chēng)是關(guān)鍵；開(kāi)口、頂點(diǎn)和交點(diǎn),它們確定圖象現(xiàn)；開(kāi)口、大小由a 斷 ,c與Y 軸來(lái)相見(jiàn),b的符號(hào)較特別，符號(hào)與a 相關(guān)聯(lián)；頂點(diǎn)位置先找見(jiàn)，Y 軸作為參考線(xiàn)，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點(diǎn)坐標(biāo)最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對(duì)稱(chēng)軸,縱標(biāo)函數(shù)最值見(jiàn)。若求對(duì)稱(chēng)軸位置,符號(hào)反 , 一般、頂點(diǎn)、交點(diǎn)式，不同表達(dá)能互換。二次函數(shù)拋物線(xiàn)，選定需要三個(gè)點(diǎn)，a 的正負(fù)開(kāi)口判，c 的大小 y 軸看，的符號(hào)最簡(jiǎn)便，x 軸上數(shù)交點(diǎn)， a、

17、 b 同號(hào)軸左邊拋物線(xiàn)平移a 不變，頂點(diǎn)牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。一、二次函數(shù)的定義例 1、已知函數(shù) y=(m 1)x m2 +1 +5x 3 是二次函數(shù)，求 m 的值。練習(xí)、若函數(shù) y=(m 2+2m 7)x 2+4x+5是關(guān)于 x 的二次函數(shù)，則 m 的取值范圍為。二、五點(diǎn)作圖法的應(yīng)用例 2. 已知拋物線(xiàn) y1 x2x5 ，232（ 1 ）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸并用五點(diǎn)法作圖（ 2 ）若該拋物線(xiàn)與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 A、 B，求線(xiàn)段 AB 的長(zhǎng)1、（ 2009泰安）拋物線(xiàn) y2 x28x1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（A）（ -2， 7） （B）（ -2，-25 ） （C）（

18、 2，7） （D）（ 2，-9）2、 (2009 年南充 )拋物線(xiàn) ya(x1)(x 3)(a0) 的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)（）A x 1B x1C x3D x 33、（ 2009年遂寧）把二次函數(shù)y1 x 2x3 用配方法化成ya x h2的形式k4三、 a， b， c 及 b 24ac 的符號(hào)確定例 3. 已知拋物線(xiàn) yax 2bxc 如圖，試確定：（ 1） a， b， c 及 b24ac 的符號(hào)；（ 2 ） a bc 與 abc 的符號(hào)。1、（2009 年南寧市）已知二次函數(shù)yax2bxc （ a 0 ）的圖象如圖所示，有下列四個(gè)結(jié)論： b0c0b24ac0 abc 0 ，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A1

19、 個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D4 個(gè)2 、（ 2009年黃石市）已知二次函數(shù)yax2bxc 的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：abc0 ； abc1； abc0 ； 4a2bc0 ； ca1 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）AB CDy111Ox3、 （ 2009年 棗 莊 市 ） 二次函數(shù)yax2bxc 的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式中錯(cuò)y誤的是（）A a 0 1O1 xB c0C b24ac 0D abc 04、（ 2009年甘肅慶陽(yáng)）圖12 為二次函數(shù) yax2bxc 的圖象，給出下列說(shuō)法： ab0 ；方程 ax2bxc 0 的根為 x11，x23； a b c0 ；當(dāng) x1 時(shí)，y 隨 x 值的增大而增大

20、；當(dāng)y 0時(shí)， 1 x 3 其中，正確的說(shuō)法有（請(qǐng)寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）5、(2009年鄂州 )已知 =次函數(shù) y ax2個(gè)代數(shù)式： ac ，a+b+c ，+bx+c 的圖象如圖 則下列 54a 2b+c ，2a+b ， 2a b 中，其值大于0 的個(gè)數(shù)為（）A 2B 3C、 4D 、5四、二次函數(shù)解析式的確定例 4. 求二次函數(shù)解析式：（ 1）拋物線(xiàn)過(guò)（ 0， 2），（ 1，1），（ 3， 5）；（ 2）頂點(diǎn) M（ -1， 2），且過(guò) N （2， 1）；（ 3）已知拋物線(xiàn)過(guò) A（ 1，0 ）和 B（ 4 ，0）兩點(diǎn)，交 y 軸于 C 點(diǎn)且 BC 5 ，求該二次函數(shù)的解析式。練習(xí)：根據(jù)下列條

21、件求關(guān)于x 的二次函數(shù)的解析式（1 ）當(dāng) x=3 時(shí)， y 最小值 = 1，且圖象過(guò)（ 0 ， 7）3（2 ）圖象過(guò)點(diǎn)（ 0， 2）（ 1 ，2 ）且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x=2（3 ）圖象經(jīng)過(guò)（ 0， 1）（ 1， 0）（ 3，0）五、二次函數(shù)與x 軸、 y 軸的交點(diǎn)（二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系）例5 、 已知拋物線(xiàn) y x2-2x-8 ，（ 1）求證：該拋物線(xiàn)與 x 軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（ 2）若該拋物線(xiàn)與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 A、 B ，且它的頂點(diǎn)為 P，求ABP 的面積。1、二次函數(shù)y x2-2x-3 圖象與 x 軸交點(diǎn)之間的距離為2、 如圖所示，二次函數(shù)yx2 4x 3 的圖象交x 軸于 A

22、 、 B 兩點(diǎn)，交y 軸于點(diǎn) C，則ABC 的面積為 ()A.6B.4C.3D.13、若二次函數(shù)y (m+5)x 2 +2(m+1)x+m的圖象全部在x 軸的上方，則m 的取值范圍是六、直線(xiàn)與二次函數(shù)的問(wèn)題例 6已知：二次函數(shù)為y=x 2 x+m ，（ 1）寫(xiě)出它的圖像的開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2 ）m 為何值時(shí)，頂點(diǎn)在x 軸上方， （3 ）若拋物線(xiàn)與y 軸交于 A ，過(guò) A 作 AB x 軸交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)B ，當(dāng) SAOB =4 時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式1、拋物線(xiàn)y=x 2+7x+3 與直線(xiàn) y=2x+9 的交點(diǎn)坐標(biāo)為。2、直線(xiàn) y=7x+1 與拋物線(xiàn)y=x 2 +3x+5 的圖象有

23、個(gè)交點(diǎn)。m21m22例 7 （ 2006 ，山東棗莊）已知關(guān)于 x 的二次函數(shù)y=x 2 mx+與 y=x 2 mx ，22這兩個(gè)二次函數(shù)的圖像中的一條與x 軸交于 A， B 兩個(gè)不同的點(diǎn)（ 1）試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A， B 兩點(diǎn)；（ 2）若 A 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1 ， 0），試求 B 點(diǎn)坐標(biāo)；（ 3）在（ 2）的條件下， 對(duì)于經(jīng)過(guò) A，B 兩點(diǎn)的二次函數(shù)， 當(dāng) x 取何值時(shí)， y 的值隨 x?值的增大而減??？練習(xí) (2009 年陜西省 ) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OB OA ，且 OB 2OA ，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是(1， 2)（ 1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（ 2）求過(guò)點(diǎn) A 、 O、 B 的

24、拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（ 3）連接 AB ，在（ 2 ）中的拋物線(xiàn)上求出點(diǎn)P ，使得 S ABP SABO 例 8（ 2006 ，重慶市）已知：m， n 是方程 x2 6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m<n ，拋物線(xiàn) y= x2+bx+c 的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ m， 0）， B（ 0，n ），如圖所示（ 1）求這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式；（ 2）設(shè)（ 1）中的拋物線(xiàn)與 x 軸的另一交點(diǎn)為 C ，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為 D ，試求出點(diǎn) C， D 的坐標(biāo)和 BCD 的面積；（ 3）P 是線(xiàn)段 OC 上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PH x 軸，與拋物線(xiàn)交于 H 點(diǎn)，若直線(xiàn)BC ? 把PCH 分成面積之比為2： 3 的兩部分，請(qǐng)

25、求出P 點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】（ 1 ）解方程求出m， n 的值用待定系數(shù)法求出b ， c 的值（ 2 ）過(guò) D 作 x 軸的垂線(xiàn)交x 軸于點(diǎn) M ，可求出 DMC ，梯形 BDBO ，BOC 的面積，? 用割補(bǔ)法可求出 BCD 的面積（ 3 ）PH 與 BC 的交點(diǎn)設(shè)為E 點(diǎn)，則點(diǎn)E 有兩種可能：32 EH=EP ， EH= EP 23【解答】（ 1 ）解方程x2 6x+5=0 ，得 x1=5 ， x2=1 由 m<n ，有 m=1 ， n=5 所以點(diǎn)A， B 的坐標(biāo)分別為 A（ 1，0）， B（ 0，5）將 A（ 1， 0）， B（ 0， 5）的坐標(biāo)分別代入y= x2 +bx+c ，1b

26、c 0,b4,得解這個(gè)方程組，得5c5c所以?huà)佄锞€(xiàn)的解析式為y= x2 4x+5 （ 2）由 y= x24x+5 ，令 y=0 ，得 x2 4x+5=0 解這個(gè)方程，得 x1 = 5， x2=1 所以點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 5 ， 0），由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算，得點(diǎn)D（ 2， 9）過(guò) D 作 x 軸的垂線(xiàn)交 x 軸于 M，如圖所示127則 SDMC =×9×（5 2） =22S 梯形 MDBO =1 ×2 ×（9+5 ） =14 ，2SBDC =1 ×5 ×5=25 222725所以 S BCD =S 梯形 MDBO +SDMC S BOC

27、=14+=15 22（ 3）設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ a ， 0）因?yàn)榫€(xiàn)段 BC 過(guò) B， C 兩點(diǎn)，所以 BC 所在的直線(xiàn)方程為y=x+5 那么， PH 與直線(xiàn) BC 的交點(diǎn)坐標(biāo)為E （a， a+5 ）， PH 與拋物線(xiàn) y= x2+4x+5 ? 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 H （ a， a 24a+5 ）由題意，得 EH=3EP ，即23 （ a+5 ）（ a2 4a+5 ）（ a+5 ） =32解這個(gè)方程，得 a= 或 a= 5（舍去）22 EH= EP ，得33 （ a+5 ）（ a2 4a+5 ）（ a+5 ） =2解這個(gè)方程，得 a= 2 或 a= 5（舍去）3P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（3 ， 0）或（2 ，

28、0）23七、用二次函數(shù)解決最值問(wèn)題例 9 某產(chǎn)品每件成本10 元，試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)x（元） ? 與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量 y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）15 20 30y（件） 25 20 10若日銷(xiāo)售量 y 是銷(xiāo)售價(jià) x 的一次函數(shù)（ 1）求出日銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）要使每日的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？? 此時(shí)每日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少元？【解析】（ 1 ）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b 則15kb25,2kb解得 k=-1 ， b=40 ，20? 即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40 （ 2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為x 元，所獲銷(xiāo)售利潤(rùn)為w 元w=

29、 （ x-10 ）（ 40-x ）=-x 2+50x-400=- （ x-25 ） 2 +225 產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為25 元，此時(shí)每日獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為225 元【點(diǎn)評(píng)】解決最值問(wèn)題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類(lèi)似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（ 1 ）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最省）”的設(shè)問(wèn)中，? “某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（ 2） ? 問(wèn)的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 3.你知道嗎 ? 平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)， 繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線(xiàn)如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m ，距地面均為1m ，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平

30、距離1m、 2 5 m 處繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)他們的頭頂已知學(xué)生丙的身高是15 m ，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)()A 1 5 mB 1 625 mC 1 66 mD 1 67 m分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案： B八、二次函數(shù)應(yīng)用(一）經(jīng)濟(jì)策略性1.某商店購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為16 元的日用品，銷(xiāo)售一段時(shí)間后，為了獲得更多的利潤(rùn)，商店決定提高銷(xiāo)售價(jià)格。經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每件20 元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，每月能賣(mài)360 件若按每件25 元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，每月能賣(mài)210 件。假定每月銷(xiāo)售件數(shù)y(件）是價(jià)格X 的一次函數(shù) .(1)試求 y 與 x 的之間的關(guān)系式.(2) 在商品不積壓，

31、且不考慮其他因素的條件下，問(wèn)銷(xiāo)售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月獲得最大利潤(rùn)，每月的最大利潤(rùn)是多少？（總利潤(rùn)=總收入總成本）2.有一種螃蟹， 從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)， 可以延長(zhǎng)存活時(shí)間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體重量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷(xiāo)商，按市場(chǎng)價(jià)收購(gòu)了這種活蟹1000 千克放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為每千克30 元，據(jù)測(cè)算，以后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升1 元，但是放養(yǎng)一天需各種費(fèi)用支出400 元，且平均每天還有 10 千克蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價(jià)都是每千克20 元。（1 ）設(shè) X 天后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)為P 元，寫(xiě)出P 關(guān)于 X 的

32、函數(shù)關(guān)系式。（2 ）如果放養(yǎng)X 天后將活蟹一次性出售，并記1000 千克蟹的銷(xiāo)售額為Q 元，寫(xiě)出Q 關(guān)于 X 的函數(shù)關(guān)系式。（ 2）該經(jīng)銷(xiāo)商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤(rùn)（利潤(rùn)=銷(xiāo)售總額收購(gòu)成本費(fèi)用），最大利潤(rùn)是多少？自我檢測(cè)（ 30 分鐘）一. 選擇題。1.用配方法將1x 23x2 化成 a xb 2c 的形式（）2A.1 x35B.1 x322522224C.1322D.127xx3222.對(duì)于函數(shù) yax2(a0) ，下面說(shuō)法正確的是（）A. 在定義域內(nèi)， y 隨 x 增大而增大B. 在定義域內(nèi)， y 隨 x 增大而減小C. 在D. 在， 00，內(nèi)， y 隨 x 增大而增大內(nèi)，

33、y 隨 x 增大而增大3. 已知 a0， b0， c0 ，那么 yax 2bxc 的圖象（）4.已知點(diǎn)（ -1 ， 3）（ 3，3 ）在拋物線(xiàn) yax2bx c 上，則拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是（）aB. x 2C. x 3D. x 1A. xb5.一次函數(shù) yax b 和二次函數(shù) yax 2bxc 在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象（）6. 函數(shù) y3x23x3 的最大值為（）2933A.B.C.D. 不存在422二. 填空題。7.y m1 x m2 1m 1 x 3 是二次函數(shù)，則 m _ 。8.拋物線(xiàn) y5 x22 x2 的開(kāi)口向 _，對(duì)稱(chēng)軸是 _，頂點(diǎn)坐標(biāo)是2_。9.拋物線(xiàn) yax2bxc 的頂點(diǎn)是（ 2 ，

34、3），且過(guò)點(diǎn)（ 3， 1 ），則 a_， b_，c _ 。10.函數(shù) y1 x23x5 圖象沿 y 軸向下平移2 個(gè)單位，再沿 x 軸向右平移 3 個(gè)單22位，得到函數(shù) _ 的圖象。三. 解答題。12.拋物線(xiàn) yx 22m2 x m24m 3，m 為非負(fù)整數(shù)， 它的圖象與 x 軸交于A 和 B， A 在原點(diǎn)左邊，B 在原點(diǎn)右邊。（ 1）求這個(gè)拋物線(xiàn)解析式。（ 2）一次函數(shù)ykxb 的圖象過(guò) A 點(diǎn)與這個(gè)拋物線(xiàn)交于C ，且 S ABC10 ，求一次函數(shù)解析式。參考答案 一. 選擇題。1.A2.C3.C4.D5.C6.C二. 填空題。7. 18.下； x5；5 ，399. 2， 8， 5 10.3

35、，3，3，8832大， 11.y1 x22三. 解答題。12. （ 1）0m2m24m3072m72又m 為非負(fù)整數(shù)m0拋物線(xiàn)為 yx 22x3（2）又 A（-1，0）， B（3， 0）AB4設(shè) C 點(diǎn)縱坐標(biāo)為a1 a · 4 102a5當(dāng) a5 時(shí)，方程 x22 x20 無(wú)解當(dāng) a5時(shí)，方程 x 22x80C 4，5，A，01yx1C22，5，A，10y5x5強(qiáng)化訓(xùn)練一、填空題1（ 2006 ，大連）右圖是二次函數(shù)y1=ax 2 +bx+c 和一次函數(shù)y2=mx+n 的圖像， ? 觀察圖像寫(xiě)出y2y1 時(shí)，x 的取值范圍_2（ 2005 ，山東省）已知拋物線(xiàn)y=a 2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn) A （ 2， 7）， B（ 6 ， 7）， C（ 3 ，8 ）， ? 則該拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)為8 的另一點(diǎn)的坐標(biāo)是_3已知二次函數(shù) y= x2 +2x+c 2 的對(duì)稱(chēng)軸和 x軸相交于點(diǎn)（ m， 0），則 m 的值為 _4（ 2005 ，溫州市）若二次函數(shù)y=x 2 4x+c的圖像與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)，其中c 為整數(shù)， ?則 c=_ （只要求寫(xiě)出一個(gè)）5（ 2005 ，黑龍江?。┮阎獟佄锞€(xiàn)y=ax 2+bx+c 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 1，2 ）與（ 1，4 ），則 a+c ?的值是 _ 6甲，乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，甲發(fā)出一十分關(guān)鍵的球，出手點(diǎn)為P，羽毛球飛行的水平距離 s（ m）與