高斯函數(shù)的定義和基本性質(zhì)

1、第五講【知試掃描】（一）定義設(shè)是實(shí)數(shù)，不超過的最大整數(shù)曰為稱|：|為高斯函數(shù).將Dd叫做H的整數(shù) 部分，了一注1叫做的小數(shù)部分，記為ML（二）基本性質(zhì)1 ）j=j+ j *0工 VI ；（幻工一1+1 ：川+二 =川+河n+工 = 1e wz?（4）若 jcy,則M$當(dāng)時(shí). jG= - x + 當(dāng) &,更 Z 時(shí).一 1= 一 1 ；若打WNnWH,則三=囪 打n打十GU+以三高斯函數(shù)的圖象對(duì)手函數(shù)=|入其定義域是全體實(shí)數(shù)，值域是整數(shù)集L.對(duì)任意整數(shù)明函數(shù)y = 在,也+ 1）上的圖形是一段平行于工軸的線段（不含右端點(diǎn)），因此可以說(shuō)高斯函數(shù) 的圖象是成階梯狀分布的，且在每個(gè)整點(diǎn)上都有一個(gè)跳躍型

2、的間斷.-2-1 O I 2OO圖5-L【例題講解】眄I-彳1 1 M r例1計(jì)算和式5= Z瑞 的值.吁| uvy例2求盛贏一倡器這2006個(gè)數(shù)中不同的值的個(gè)數(shù)例3求函數(shù)/() = + 3/+句+ 3-在0100上所取的不同 的整數(shù)值的個(gè)數(shù).例4求正整數(shù)瑞的末兩位數(shù)字. 1U T o列5 (2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)定義函數(shù)0次為完全平方數(shù)f（k） = Jr 1240（#決不為完全平方數(shù)求左”A例6證明由% =成I定義的序列七中有無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)是2的整數(shù)扉.【能力訓(xùn)練】一、選擇題L條件是條件1工一團(tuán)VI的（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要的條件2.（

3、用+疹產(chǎn)脆的個(gè)位數(shù)字是（）D. 9工。，1。0，貝!的值域的元A. 734B, 733C. 701D. 7004.每一個(gè)大于2的正整教程都可以表示成若干個(gè)兩兩不等的正整數(shù)的和，這個(gè)數(shù)的 最大值為八,用燈表示A（理）為（）4 - V8?j+ 1 - 1C.，二+3-1 以.，Snh3 + l25.6,A. -1B. 1C. 0定義數(shù)列必= lg = 2,a“* =* +%十eE N+ ,則廠幺.J包| . |3 睡的值為（2 _K0C+1D.二、填空題7.設(shè)都是給定的大于1的正整數(shù)，共有個(gè)正整數(shù)AV也使得巾節(jié)+ 1.汕城.1J求與 （二二+2）（，+行。喬；5）的值，得到，）EM4 18.9 .

4、和式S=Z韶的值為 10 .前1000個(gè)正整數(shù)中可以表示成2+ 4口 + 6工 +18工的正整數(shù)有 J 個(gè).1L設(shè) AO.則函數(shù)/二司丁戶占了工刃用的值域是.12 .設(shè)a是方程/一312+1=0的最大正根，則叮（l&n2006）這2006個(gè)數(shù)中共 有 個(gè)可以被17整除.三,解答題13 .數(shù)列5.定義如下；% = 7%，口 = 0,1,2,，證明；此數(shù)列中含有無(wú)窮多個(gè)完全 平方數(shù).14.若燈歷遍所有正整數(shù)，證明了。）一歷遍所有正整數(shù)，但數(shù)列明= 3rr 2n的項(xiàng)除外.15.對(duì)任意的網(wǎng)EN+,計(jì)算和5=Jt-o也+ 2”2*+i503ft o-t-y,則Va+,音然和n一yfVH 反 之r,取 二

5、=一.二y = J；9則 by I VI,但CrWy. J2. D (73 +72)2006 = (5 + 2 5/6)1003.設(shè) f ()= (5 + 2 石尸 + (5-2 的)乂 N),則 /( + 2) = 10/(+1) /()三一/()(01。2,，因此 1 十2 + + A()=(A() + 1),從而正整數(shù) A(曾)4N為整數(shù)且由又 =1 + 2 + +(/8弓1 1_1)+(12=2+,，其中+ 2+ + A()知 x0,所以 A()，8+1 1 .2綜上所述，A ()=/8w+T-112.5. D 當(dāng) = 1 時(shí)，一J1 4 = 4- = 0，(i+2)(i+3)力(i

6、+ 5)1 /12 狀 11* 升11111 .1寸 / 4 J*j ,111 I In .1-I lin aH(i+2)(i+3)%(i+5) /20 710 212當(dāng) i = 3 或 i = 4 時(shí).廠二t=z = 4r - 4-= 0;，(i + 2)(i + 3) / (i + 5)122當(dāng)時(shí)， + 2)2江2 + 5)(，+ 2)(： + 3)(3 + 3)2,此時(shí)彳較5 時(shí) 必 有= - , .i + 2)(/ + 3) 力(i + 5)綜上所述，原式=0+(一 得)+0X2+0X2002= 3.6. C 由 = 19 a2 = 2, a1t+2 =冊(cè) +冊(cè)+】9 GN.易知對(duì)任意

7、 )均有 a.GN 一且 aa2 -a .從而 %+2=% 卜。 V。1+。11 =21，即巴士V2,所以 IV4t二 V 呢+ia“+i2 .于是%+】，+.所以原式喟凰言也=3 l = 2 跑/8 Ll9812由/ =+ 廠得2=(皆+ l)A-(A-r) 而由遞推式=冊(cè)+%+1及。=1 , 知8備=2易通過數(shù)學(xué)歸納法知巴什2為偶數(shù)，火什1與a3H3為奇數(shù)/GN),所以為偶數(shù)，原* _ o 9811式=2 f =1.乙 。987. 1設(shè)產(chǎn)=詈A+r,0YA,顯然A#，因?yàn)槿羧?.就由/( + 得| ,+ 1 = +1,=1,但矛盾！故需分0VAV與VAV兩種情況討論.(1)當(dāng)0VAV時(shí)，由

8、及+ 1知一廠.而OVA一rV .所以不存在滿足 條件的A.(2)當(dāng) nA2 時(shí)，有；-1 ,A不為整數(shù)，若廠，則-71,結(jié)合A = +1 - - n1n1即將八/，7,與An相矛盾.所以只有尸=1,即A =，?+L綜上可知存在唯一的A = ”+l滿足要求.1 Q978. 黃 由 442 = 193620062025 = 452 知對(duì)任意 RG 1,2，2006,存在某個(gè)e 1,2,，44使得 n2O(n+D2.此時(shí)=工. L# 20061111故. 1 = -p 、t-h + Z 1 .1工 K*z222A3232*4r+ Z4?iC2i!OO6_-/k 0k1 時(shí)，令 H=+a,其中 N+

9、 ,0&aVL 則1 = 0，* = ,注意到函數(shù)y=z+，在憶1時(shí)為增函數(shù). OC4-考慮函數(shù)，由于Y- 1,則吊V+1 +1記an =1+去則 4+1 =小+ 1 + 1(+1)2 + 1(+1) ( + 1)(+2)+ 2)于是當(dāng)1時(shí)，有。1。29( + 1產(chǎn) + 1 (+2尸 + 1。2 =。3 9。3 V4 5 (+1)2( + 20.于是當(dāng)心1時(shí)，有仇仇仇64，即最大.所以當(dāng)Z1時(shí)JQ）的值域?yàn)橄?）= ）.于是f（N）的值域?yàn)?） U W），12.251設(shè)方程x3-3x2 + l=0的三根依次為a，B，a,則由八一 1） V0,/（一 ：） 一HVK1,2慮VaV3,由于八一=一

10、203 +/3 - 21 + 1） = 2/0,于是一0 dial VR另一方面,由韋達(dá)定理知a2+，= （a+” -2邛=（3 。）2.+ ! = 9 +匕等起=9 + 一直+,=1 +（8 2）.又因?yàn)?/（2晚=8,故 a定義分=a+產(chǎn)+a”（ = O,l ,2,）$ 則 o = 3,i =2十戶+。= 3.2 =1 +/ = 9. 開3 = 3 1t+2 “（0）又因?yàn)?OVl+gVl,故=/一（a+F）= ”一 1 一 口一（?！?g）1 所以1. （ = 192,）9 故 171a叮171t L現(xiàn)在考察4在模17意義下的情況：o三33i三3%2三9.分三7,“三1三11，分三 9,

11、小三 9,8 三 16,9 = 5,兇。 三 6” =21/2|2 = 1，i3 三 14 9八 三 6.1$ 三 0邛6 三 3.?三3, 川8三9可見在模17下，是16為周期的模周期數(shù)列，即分+16三外（mod*）,故可知 17|/=三 4 或 12（modl6）.而在 1（2006 時(shí)，有 黃 X 2+1 =251 個(gè)滿足三 , 4 或 12（modl6）.13.證：設(shè)mGN一切為奇數(shù)，并記（畬+1F=9十%,其中0，GN.由二項(xiàng)式定理知（-D-mHe一九.將上述二式相乘得2A一4, = 1.從而2二=解+ 1,蝙21二于是有WV2/比=/（/+ 1）（j + 1汽因此乂y/2xinyt

12、99yl +1,故門=乂.令 = %，則冊(cè)=氏2門=，.顯然，這樣的恁有無(wú)窮多個(gè)，命題得證.則14.證：令k =/（）=+居+同=叫居+同=+人 正整數(shù)女滿足力 宿+*+1.于是4+ 2/（zi+i）=r+4 + 1 ,若/ + /0+1,V+萬(wàn)+ 2.若亭:+ 卷+ 1 V 人+1則/()跳過一個(gè)自然數(shù)+歸+1由于的芋十/2+lJ?+/+123（4 + ） Q0+1）3公 +34 +=0 =3/ +3丸4所以/()跳過的數(shù)為 +無(wú)+ 1 = 3公+34+ 4 + 1 = 3筮+ 1)22& + 1)=4+|. 又因?yàn)?(1) = 2.故/()歷遍除數(shù)列a, = 3n2-2n的項(xiàng)之外的所有正整數(shù).15.首先證明一個(gè)等式：L 1 -1對(duì)一切實(shí)數(shù)力，有7 +3 =2x x, 設(shè)n=與+。，則O&aVl,于是有 1+羽=尸+a+ =+。+撲M-x = 2W4-2a-W+a = x+2a-a, 由與知式 Qa + = 2a-a,0aV