函數(shù)中的同構(gòu)問題探究

1、函數(shù)中的同構(gòu)問題探究知識梳理1. 一個方程中岀現(xiàn)兩個變量,適當(dāng)變形后,使得兩邊結(jié)構(gòu)相同;或不等式兩邊式子也可 適當(dāng)變形,使其兩邊結(jié)構(gòu)相同,然后構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性把方程或不等式化簡.2. 為了實現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，需時時對指對式進行“改頭換面”，常用的方法有：x = e叭対=en+*、XleX =e2,nr+t = e,nx+x、InX+ln = lnv、Inx-I = In-,Xe有時也需要對兩邊同時加、乘某式等.3. 常見同構(gòu)式：Alnx 與Xe”型：xnx = nxemx 9 XeX = elnxex: “+InX 與兀+云型:x+InX=InX+etaxx + b=嚴(yán)

2、+H問題一、利用同構(gòu)解決雙參數(shù)恒成立問題例1(2020 山東21)已知函數(shù)/(X) = 1-InX+ Int/,若f(x).求的取值范圍.點評：對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)、系數(shù)升指數(shù)等，把不等式轉(zhuǎn)化為左右 兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)適輔助函數(shù)同步練習(xí)1.對于任意實數(shù)0,不等式-InX+ lnrO恒成立，求的取值范輒問題二.利用同構(gòu)解決不等式問丿點評：(1)為了實現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，需時時對指對式進行“改頭換而”，常用 的方法有：Xmlnj 脅=嚴(yán)XT=嚴(yán)W =,nv+x . nx+na = hux.XInx-I = In-,有時也需要對兩邊同時加.

3、乘某式等.e(2)XInx與卅為常見同構(gòu)式：XlnX = InX嚴(yán)，卅=嚴(yán)e； x + nx與x+e為常見同 構(gòu)式：X + Inx = In X + enx, x+ex = elnx + e 例 1(2020 新課標(biāo)卷 II 文數(shù)12)若 2v-2v 則()A. ln(y-x + l) 0 B. ln(y-x + l)v c. Inlx-yl0 D. InlX-yl0,不等式S-幾Inx0恒成立，則2的最大值是 2 關(guān)于兀的不等式xelknx + k(x + )對任意x0 (其中k0 )恒成立,貝弘的取值范圍是.3. 關(guān)于X的不等式xVu + 3)x + 21nx + l對任意x0恒成立，則k

4、的取值范圍是.4. (2020 山東21)已知函數(shù) = uet-,-lnx+ln,若/(x)l,求“的取值范圍.5. 如果 cos5 - sin5 0的解集是xx 2bB. ab2D alY用的方法有：A =”、Xex = elnx+x、JCeX =e2lnx+x、 = InA*t Inx+ln= lnr InX-I = In-,Xe有時也需要對兩邊同時加、乘某式等.3.常見同構(gòu)式：AlnX與丘型：Xlnx = InxZS XeX = XeX J x+lnx與卄疋型：+lnx = lnx+elnS + b=嚴(yán)2問題一、利用同構(gòu)解決雙參數(shù)恒成立問題例1(2020 山東21)已知函數(shù)f(x) =

5、ae-i-nx + na ,若/(x)l,求的取值范用.【解析】將/(a)1按照左右結(jié)構(gòu)相同、變量移至一邊的原則進行變形：11 f(x) = UeX -lnx + lntl 移項得:ex1 + In a In X +1即 em+,+hulnx + l ,兩邊同時加(X-I) W e,n+ vl +x + na- In + X即 J* + (x + In -1) ninx + 嚴(yán)設(shè) X) = X+ e ,則 (x) = 1+cO,所以 g(x)單增所以 Inr/+x-1 Inx 即 -lnx+ln-lO設(shè)(x) = -lnA + lnt-l ,則 Xer) = I-丄，所以/心)在(OJ)單減，

6、在(l,+)單增，X所以U)mln =(1) = 1-1O,所以1.點評：對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)、系數(shù)升指數(shù)等，把不等式轉(zhuǎn)化為左右 兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù).同步練習(xí)1.對于任意實數(shù)A-O,不等式-InX + lnt0恒成立，求“的取值范圍.解法一：將-InXlntO變形為 W1-. 2e2x 丄(說明：將參數(shù)移至一邊)aU U兩邊同時乘X得2-1-(說明：H的是湊右邊的結(jié)構(gòu))a aHP2xe2l-m- = /In-(說明：目的工；!左右兩邊的結(jié)構(gòu)相同)(二a aa設(shè) g(x) = XeX ,則 gx) = (1 + x)ex 0 , g(x)

7、單增 故由(#)得2xln- lnInx-ZvU再令(x) = 1-2,則() = -2,易知當(dāng)( =(l) = -ln2-lX2所以 In Cl -In 2 1 1!卩 CI 2w解法:將 2ae2x Inx+ In0 變形為嚴(yán)*“ -lnx+ln“ 0，即 eln2l+2x + In2a In2x嚴(yán)出 ” + IX + In Ia 2x + In 2 =嚴(yán) + In Ix設(shè)(X) = er+-,易知g(x)單增故2x+In2tln2r (以下同解法一,從貉).點評：(3) 為了實現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，需時時對指對式進行“改頭換而”，常用 的方法有：X = Mj 廊W=嚴(yán)+、2ev

8、 = 6,2!nxx、 = y十.Inx + InU = In心、XInx-I = In-,有時也需要對兩邊同時加、乘某式等.e(4) XInX與 Xe為常見同構(gòu)式：Alnx = InAlnx , XeX =elnxex: x+lnx x + ev 為常見同 構(gòu)式： + lnx = lnx + m x + ex =lnX +ex 問題二、利用同構(gòu)解決不等式問題例1(2020 新課標(biāo)卷II文數(shù)12)若2x-2v,-x + l) 0 B. ln(y-x + l)0 d. InlX-yl0-【答案】A【分析】將已知2v -2v V3- -3-V按照“左右形式形式相當(dāng),一邊一個變量”的目的變形，然后逆

9、用函數(shù)的單調(diào)性.【解析】由2-2vJ2x-3x2-v-3v設(shè) f (X) = T-Vx易知/(x)是定義在R上的增函數(shù)，故由2-3-0= y-x+1 1,從而ln(y-x + l) 0,故選 A.同步練習(xí)1.已知函數(shù) f(x) = 3x-3x , d-21og30 + (引0g3 D A IogJ ,則 的取值范圍是.【答案】t+)【分 析】這里可以發(fā)現(xiàn)IOgr=jog= (2IogJ-I)-(3IogJi),將3/(l-2 Iog31) + /(3 Iog3 r -1) log 1 r移項變形為3/(3Iog3/-1) + (3log/-1) (2log；+1)-/(1-2Iog31),易知

10、 f(x) = 3x-3x 是奇函數(shù), -/(l-21og) = (21og3, + l) , 故 進 一 步 變 形 為 /(3Iog3/-l) + (3Iog3r-l)(2Iog3/-l) + (21og3r-l),此時,得到一個“左右形式相 當(dāng)，一邊一個變呈”的不等式，令F(x) = f(x)+ x ,問題轉(zhuǎn)化為 F(31og3,-l)F(21og3,-l).只需研%F(x) = f(x) + x的單調(diào)性，逆用該函數(shù)的單調(diào)性 即可.解析J lgf =_lg( =-(1 -2log；)-(3log；-1)3. /(l-2Iog30 + /(3Iog3r-l)log1r 可變形為：3/(3

11、log-l) + (31og-l)(2 log；-1)-/(1-2 Iog)/(-) = 3-3是奇函數(shù)-(l-21og3r) = (21og-l). /(3Iog3r 1) + (31og-l)(2Iog3r一 1) + (2Iog3r-l)令 F(X) = f(x) + x = 3x-3-+t 則 F(X) = In33+ In33 + 10. F(X)單增31og-l21og-l, BPlog； 0,解之得/21所以上的取值范用是l,+s).問題三、利用同構(gòu)解決多元問題例1已知實數(shù)州，W滿足召刃=疋，x2(lnx2-2) = e則xlx2 =.【分析】由已知條件考慮將兩個等式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一結(jié)

12、構(gòu)形式，令nx2-2 = t,x2=e,+2,得到iet=e3t研究函數(shù)f(x) = xex的單調(diào)性，求出XZ關(guān)系，即可求解.解法一：實數(shù)州，勺滿足 XieXI = e3, (lnx2-2) = e5,Xl Q9x2 e2 lnx2-2 = r 0,x2 =er+2t 則 tel = e3f (x) = XeX(X O)J3 = (x+V)ex O(X 0),所以 T(X)在(0,+o)單調(diào)遞增，而/(x1) = f(t) = & ,/. Xl =t = n x2- 2,. xx2 = x2 (In x2 -2) = c5.解析二：對XleXl = e3兩邊取自然對數(shù)得：hT+召=3,對x2(

13、ln2-2) = 兩邊取自然對數(shù)得：lnx2+ln(lnx2-2) = 5 (探) 為使兩式結(jié)構(gòu)相同,將 X)進一步變形為：(InX2-2)+ln(lnx2-2)=3 設(shè) fM = hx + x 則 z(x) = - + l 0X所以/(X)在(0,-Ko)單調(diào)遞增，/(x) = 3的解只有一個. Xl = Inx2-2,X1X2 =(Inx2-2)x2 =e5點評:兩種解法實質(zhì)相同，英關(guān)鍵是對已知等式進行變形，使其“結(jié)構(gòu)相同”，然后構(gòu)造函 數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用是同一方程求解.課后作業(yè)1. 對于任意實數(shù)A0.不等式e-nx0恒成立，則兄的最大值是.【答案】e2. 關(guān)于X的不等式.xekn

14、x + k(x + )對任意x0 (其中QO)恒成立，則k的取值范圍是.【答案】(0,e3. 關(guān)于X的不等式x(R + 3)x + 21nx + l對任意x0恒成立，則R的取值范圍是.【答案】(TO,04. (2020 山東21)已知函數(shù)/U) = UeX-,-lnx+ln,若/(x)l,求“的取值范圍.【解析】將/(a)1按照左右結(jié)構(gòu)相同、變量移至一邊的原則進行變形：由 /(x) = aei -InX+ lnl 移項得:aexi +ln01nx+l即eu,*-,ln0 ,所以g(x)單增所以 lu + x-l lnx , EQJ -1 + 1iu-10設(shè)(x) = x-lnx + lu-l,

15、則X(x) = l-丄，所以力(力在(0,1)單減，在(L+)單增, 所以(x)m4n =(l) = ln-lO,所以u.點評：對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)、系數(shù)升指數(shù)等，把不等式轉(zhuǎn)化為左右 兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)5如果 cos5 - sin5 的解集是7. 已知8w0,2r),若關(guān)于的不等式0-SR(SinT-CosQ)在(-2上恒成立,則&的取值范陽為.【答案】8. 已知實數(shù)，2),且滿足宀4專-2-44則十的值為.29. (2020 新課標(biāo) I 理數(shù)12)若2+log2 = 4fe + 21og47,則(B)A. a2bB. ab1D. a

16、“滿足方程2 + log2(=5,則x1+x2=.【答案或提示】2噸4不等式可化為：() +5呂”+5X構(gòu)造函數(shù)f(x) = x3+5x ,則f(x) = 3x2+50, /在R上單增2所以 X 解之得XV2或一IVXVlA：+1所以原不等式解集是.3.【分析】本題的實質(zhì)是含參數(shù)& (這里當(dāng)然是sin8 cos& )的不等式恒成立問題,應(yīng)抓住已知條件i肓-(sin-cos3)的対伏注構(gòu).為數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性布列不等式.【解析】看到麗-(sin-cos)想“對稱結(jié)構(gòu)”，將它變形為:k sin3 - JsinG k cos3 - JCoS & 設(shè)張)“7, r=32-易知當(dāng) ke(-2 時，.廠

17、(X) = 32令0,故/(X)在O,o)單減,Sin & S cos O所以SinOnO ,解之得：044 CoSeno所以&的取值范期4. 【答案】2【分析】將a2-b2-4 = -2a-4b化為:a1+2a=(2-b)2 + 21-b,設(shè)/() = x2+2則幾x)在(0,2)上遞增，由/() = (2-Z?).得a+b的值. 4【解析】H a1-b1- = -r-r-b ,化簡為：a2+2a =22-h + (b-2)2 ,即a2 + 2a =(2-b)2+22b,設(shè)/(x) = x2+2 則f(x)在(0,2)上遞增，因為 a, b(0, 2),所以 2-/(0, 2),且f(a)

18、= /(2-Z?),所以a = 2-b,即a+b = 2.5. 【答案】B【分析】 4fe+2Iog4b = 2lh + Iog4b2=22b+ Iog2b = 22h +Iog22-1：.2 +Iog2 a = 22b + IOg2 2b設(shè)f(x)r+02x,利用作差法結(jié)合/(X)的單調(diào)性即可得到答案.【解析】舉 + 2Iog4 b = 22h + Iog4 b2 = 22h +log2Z? = 22b + Iog2 2h -1.,.2 + Iog2 a = 22b + Iog2 2方一 1 ,故 2 + Iog2 a 2lb + Iog2 2b設(shè)=T+Iog2A-,則f(x)為增函數(shù),所以 f(a) f(2b),所以 a0,此時f(a)f(b2)t 有ab2當(dāng)b = 2時,f(a)-f(b2) = -l0,此時 f(a) f(b2)t 有a=2.點評：本題的難點在于發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對稱性，對于三次函數(shù)f G)y=af+2+cx+d苴對稱中心為(Ab,