ch12離散信號頻域分析

1、10102j1e 1NmmkNNmmkNWmXNmXNkx10102j-e NkmkNNkmkNWkxkxmX 不同的周期序列不同的周期序列 對應(yīng)不同的加權(quán)系數(shù)對應(yīng)不同的加權(quán)系數(shù) ， 其計算表達式為其計算表達式為mXkx 任意周期為任意周期為N的序列的序列 ，可以由，可以由N項虛指數(shù)序列線性項虛指數(shù)序列線性表達，即表達，即kx 稱為周期序列稱為周期序列 的離散的離散Fourier級數(shù)級數(shù)(DFS)， 也稱為周期序列也稱為周期序列 的頻譜。的頻譜。mXkxkxNNW2je;周期為周期為N的任意序列的任意序列mkNkmkNNkkxkxkxmXN2jWe DFSmkNmmkNNmmXNmXNmXkx

2、-N2jW1e 1IDFSkxNNW2je :其中e10e10101102j102jkkkx系數(shù)為的可得周期序列表達式對比DFSIDFSkx，其他09 , 1 10mmXe10e10101)110(102j102jkk例：求周期序列例：求周期序列 的的DFS系數(shù)系數(shù)。) 52cos(kkx解：解： 周期序列周期序列 的周期為的周期為10。) 52cos(kkx例例: : 求如圖所示求如圖所示周期周期為為N的方波序列的方波序列的的DFS系數(shù)系數(shù)(N2M+1)。DFS :kxmX解kmNMMk2je當取當取m=0, N, 2N, 時，有時，有12 MmX當當m取其他值時，利用等比級數(shù)的求和公式有取

3、其他值時，利用等比級數(shù)的求和公式有mNMmNmMNmX2j)1(2j2je1eeNmMNmsin12sinN=30，M=2周期周期方波的方波的DFS系數(shù)系數(shù)N=30，M=12周期周期方波的方波的DFS系數(shù)系數(shù) 周期周期 N =30 的方波序列的的方波序列的DFS系數(shù)圖形顯示系數(shù)圖形顯示DFSDFSDFS2121kxbkxakxbkxa 周期序列位移后，仍為相同周期的周期序列，周期序列位移后，仍為相同周期的周期序列，因此，只需要觀察位移后序列一個周期的情況。因此，只需要觀察位移后序列一個周期的情況。周期序列的位移周期序列的位移2kxmnmnNmXmXnkxN2jWe DFSmnNmnNWmXmX

4、nkx-2je DFSWDFSe DFS-N2jlmXkxkxlklkNWDFSe DFSN2jlmXkxkxlklkNDFSmXkxDFSmXkx 若為實序列，則有若為實序列，則有mXmX | | |mmmXmX IIRRmXmXmXmX且為偶對稱為實序列，mX 若若 為偶對稱的實序列，則有為偶對稱的實序列，則有kx 若若 為奇對稱的實序列，則有為奇對稱的實序列，則有kx虛部奇對稱為純虛序列，mX 周期卷積定義：周期卷積定義：211021nkxnxkxkxNnkx0nx1 nx2nxkxkx例：例：周期周期N=3的序列的序列 如圖所示，試計算如圖所示，試計算 。kxkxkxky0 1 2k1

5、21211021nkxnxkxkxNn32 1 00 1 2330 1 2230 1 1 23011112222222222222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx32 1 00 1 23 10 1 22 10 1 32 1032 1 011112222222222222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyy例：例：N=4DFSDFSDFS2121kxkxkxkxDFSDFS1DFS2121kxkxNkxkxNmNkmXNkx22| |1| |kkkxX jje )e (de)e(-21 jjkXkx 對于某些滿足條件的非周期序列對于某些滿足條件的非周期序列xk，可

6、以表達為虛指，可以表達為虛指數(shù)序列數(shù)序列 ej k 的線性疊加的線性疊加 不同的序列不同的序列xk對應(yīng)不同的加權(quán)系數(shù)對應(yīng)不同的加權(quán)系數(shù)X(ej ) ，其計算表達式為其計算表達式為de )e (21jj2kXkxkkkxXjje )e( 試求序列試求序列 xk=a akuk 的的DTFT。akkkXj0je)e ( 當當|a a|1時，時， 求和不收斂，序列的求和不收斂，序列的DTFT不存在。不存在。 當當|a a|1時，時，ajje11)e(X 定義定義X(ej )的部分和的部分和kNNkNkxXjje )e (kxk若絕對可和絕對可和0)e ()e (limjjNNXX則一致收斂一致收斂2k

7、xk若能量有限能量有限0d)e()e(lim2jjNNXX則均方收斂均方收斂若序列滿足絕對可和，則序列存在若序列滿足絕對可和，則序列存在DTFT。若序列滿足能量有限，存在若序列滿足能量有限，存在DTFT。（充分條件）。（充分條件）ccj0 1)e(X DTFTcc)(SakN=10時N=60時)(Sacckkx序列序列 不滿足絕對可和，但能量有限。不滿足絕對可和，但能量有限。序列序列 取不同的取不同的N值時，對應(yīng)的值時，對應(yīng)的DTFT如圖所示。如圖所示。)( ),(SaccNkNkkxN例：例：試求周期為試求周期為 2 的單位沖激函數(shù)的單位沖激函數(shù) 的的 IDTFT。)(2de )(21 j2

8、kkx21xkk012122133解：解：de)(21 j2k 該例說明該例說明絕對可和絕對可和與與平方可和平方可和只是只是DTFT存在的存在的充分條件充分條件，不是必要條件。，不是必要條件。)(jjje)e()e(XX相位譜相位譜 ( ) 的主值的主值(principal value)區(qū)間為區(qū)間為 序列的序列的DTFT X(ej ) 一般為一般為 的復函數(shù)，的復函數(shù)， 可表達為可表達為幅度譜幅度譜和和相位譜相位譜的形式，的形式， 也可表達為也可表達為實部實部和和虛部虛部的形式。的形式。)e(j)e()e(jIjRjXXX)e(j1DTFT1Xkx )e(j2DTFT2Xkx 若若)e()e(

9、j2j1DTFT21bXaXkbxkax 則有則有DTFTkx證：kkkxje )e(j X)e( jDTFT Xkx)e ( jDTFTXkx 若若)e ( jDTFT Xkx則則DTFTkxkkkxje )e(j Xkkkxje 當當 xk是是時，由于時，由于xk=x*k，所以有，所以有)e()e(jj XX)(jj)(jje)e(e)e( XX)e()e(jj XX)()()e(j)e()e(j)e(jIjRjIjRXXXX)e()e(jRjR XX)e()e(jIjIXX2j)e1 (2cos4)e(2jX)(2cos4e2j求序列求序列xk=1,2,1；k=0,1,2的的幅度譜幅度譜

10、和和相位譜相位譜。2jjjee21)e(X024當當x k為實偶對稱序列時，為實偶對稱序列時，由于由于 xk=x* k =x*k ，所以所以)e()e()e(-jjjXXX)e (j)e ()e (j)e ()e (j)e (-jI-jRjIjRjIjRXXXXXX的實偶函數(shù)是 )e( ; 0)e()e(j-jIjIXXX)e ()e ()e (j-jjXXX)e (j)e ()e (j)e ()e (j)e (-jI-jRjIjRjIjRXXXXXXX(ej)是 純虛函數(shù), 且為奇對稱當當x k為實奇對稱序列時，為實奇對稱序列時，由于由于xk= x*k = x* k ，所以所以XR(ej)=

11、XR(e-j)=0;試求序列試求序列yk的的DTFT。DTFTky)e()e(jjXX)e(Im2jjX10 01 kkkkykkaaaajjDTFTe11)e(: Xkukxk解kxkxky2cos21sin2 jaaa)e (ejjDTFTXnkxn )e (e)( jDTFTj00 Xkxk)e (jDTFTXkx 若若則則2/ )ee(jjkkkxky2/)e ()e ()e ()( j)( jjXXY已知已知xk的頻譜如圖所示，試求的頻譜如圖所示，試求yk=xkcos( k)的頻譜。的頻譜。已知已知xk的頻譜如圖所示，試求的頻譜如圖所示，試求yk=xkcos( k)的頻譜。的頻譜。2

12、2221X(ej( )22221X(ej( )(e)e(jjDTFTHXkhkx d)e()e(21)( jjDTFT HXkhkxd)e(212j2Xkxk 序列時域的能量等于頻域的能量序列時域的能量等于頻域的能量*2kxkxkxkk證證:*jjde)e(21kkXkxd-e)e(21jj*kkXkxd-e )e(21jj*kkkxXd| )e(|21d)e()e(212jjj*XXX已知已知xk為一有限長序列且為一有限長序列且 不計算不計算xk的的DTFT X(ej )，試直接確定下列表達式的值。，試直接確定下列表達式的值。 4, 3, 0 , 2 , 3 , 0 , 1, 1 , 2kx

13、dd)e (d2jX)e (0 jX(1) )e (jX (2) d)e(jX (3)d)e(2jX (4) (5) 0)e(620jkxXk(1)0) 1()e(62jkxXkk(2)202d)e(jxX(3)882d)e(2622jkxXk(4)17802dd)e(d22622jkxkXk(5)nNkxkxnN 是周期為是周期為N的序列的序列:nNNkxNkxnN證) 1(NnkxnkxN, )e( DTFT:j的函數(shù)為連續(xù)變量是序列的問題，X可否利用其樣點序列表達X(ej)? xk+3-4 -3 -2 -1012345671221 x k -4 -3 -2 -1012345671221-

14、4 -3 -2 -10123456721122112214kx xk-3-4 -3 -2 -1012345671221-4 -3 -2 -1012345672222222222223kx 當序列長度不超過當序列長度不超過N時時,周周期化后的序列和原序列一個周期化后的序列和原序列一個周期內(nèi)的值相同。期內(nèi)的值相同。 當序列長度超過當序列長度超過N時，周時，周期化后的序列會出現(xiàn)混疊期化后的序列會出現(xiàn)混疊(aliasing)。mnNnmNnxmXX2j2je )e (ZrNkrNkn, 1, 1 , 0, 令)(10rNkmNrNkWrNkxmXmkNNNkWkx10)(DFS)e (2jkxmXXN

15、mN)(DFS)e(2jkxXNmNX(ej )在頻域的離散化導致對在頻域的離散化導致對應(yīng)的時域序列應(yīng)的時域序列xk的周期化。的周期化。x(t)在時域的離散化導致對應(yīng)在時域的離散化導致對應(yīng)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)X(jw w)的周期化。的周期化。 和和為利用數(shù)字化方式為利用數(shù)字化方式分析和處理信號奠定了理論基礎(chǔ)。分析和處理信號奠定了理論基礎(chǔ)。)(kxtx時域抽樣 nTnXTX)2j (1)j (w周期化CTFTDTFT)e (jmXX頻域抽樣 nnNkxkx周期化IDTFTIDFS已知有限序列已知有限序列xk= 1, 1, 4, 3； k= 0,1,2,3，序列，序列xk的的DTFT為為X(ej )。記。記X(ej )在在 =2 m/3;m=0,1,2的取的取樣值為樣值為Xm，求，求IDFTXm 。IDFTXm =xk+xk+3 =2, 1, 4; k=0,1,2 X(ej )在頻域的離散在頻域的離散化導致對應(yīng)的時域序列化導致對應(yīng)的時域序列xk的周期化。的周期化。NNMMaaabbbABXjj10jj10jjjeeee)e()e()e(b 分子的系數(shù)矩陣分子的系數(shù)矩陣 a 分母系數(shù)矩陣分母系數(shù)矩陣w 在一個周期在一個周期0,2 )上的抽樣頻率點上的抽樣頻率點(至少至少2點點)計算計算DTFT的有關(guān)函數(shù)的有關(guān)函數(shù): 的幅度頻譜。畫出例：ajje11)e